Fonction affine et linéaire - coefficient directeur

Fonction affine et linéaire

♦ Fonction affine et linéaire

Définition d'une affine

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $\boldsymbol{f(x)=ax+b}$

$\boldsymbol{a}$ s'appelle le coefficient directeur ou la pente.
$\boldsymbol{b}$ l'ordonnée à l'origine.

Souvent la fonction affine n'est pas écrite sous la forme ${ax+b}$
c'est à vous de le faire!

Exemple:
$f(x)=\dfrac {5-x}2$

$f(x)=\dfrac {5-x}2=\dfrac 52 -\dfrac x2=-\dfrac 12 x+\dfrac 52$
La fonction $f$ est affine car elle peut s'écrire $f(x)=ax+b$
avec $a=-\dfrac 12$ et $b=\dfrac 52$
Définition d'une fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $\boldsymbol{f(x)=ax}$.
Autrement dit une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine

lorsque $\boldsymbol{b=0}$
Courbe d'une fonction affine

La courbe d'une fonction affine est une droite

qui n'est jamais parallèle à l'axe des ordonnées

Si $\boldsymbol{a=0}$, la fonction est constante et la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
Si $\boldsymbol{b=0}$, la fonction est linéaire et la droite passe par l'origine du repère.
Variation d'une fonction affine

Si $\boldsymbol{a>0}$ la fonction est strictement croissante.
Si $\boldsymbol{a <0}$ la fonction est strictement décroissante.

Les variations ne dépendent que du coefficient directeur (pente) $a$.
Les variations ne dépendent pas de l'ordonnée à l'origine $b$.

♦ Tracer la droite représentative d'une fonction affine

♦ Lire le coefficient directeur

♦ Déterminer l'expression d'une fonction affine

3 exercices en ligne avec la correction pour s'entrainer!!!!

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Exercices 1:

reconnaitre une fonction affine

Dans chaque cas, écrire $f(x)$ sous la forme $ax+b$ et préciser les valeurs de $a$ et $b$:
a) $f(x)=x$ b) $f(x)=1-x$ c) $f(x)=4$ d) $f(x)=\dfrac x2 -1$

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Exercices 2:

Fonction affine

Justifier que les fonctions suivantes sont affines:
a) $f:x\to -1$ b) $g:x\to \dfrac{40-7x}5$ c) $h:x\to 3(7-x)-2(5-x)$

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Exercices 3:

Fonction affine

Justifier que les fonctions suivantes sont affines:
a) $f:x\to 3x-2$ b) $g:x\to 5-x$ c) $h:x\to \dfrac x4$ d) $h:x\to (x-2)^2-x^2$

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Exercices 4:

Tracer la droite représentant une foncion affine

Représenter graphiquement les fonctions affines définies par:
a) $f(x)=x$ b) $g(x)=6-2x$ c) $g(x)=-\dfrac 45 x+1$

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Exercices 5:

Droite représentative d'une fonction affine

Représenter graphiquement les fonctions affines définies par:
a) $f:x\to -x+5$ b) $g:x\to \dfrac 35 x-1$ c) $h:x\to -\dfrac 13 x$ d) $h:x\to 2$

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Exercices 6:

Lire le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$

Les droites $\rm D_1$ et $\rm D_2$ représentent respectivement les fonctions affines $f$ et $g$.
À l'aide du graphique, déterminer les expressions de $f(x)$ et $g(x)$.

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Exercices 7:

Lire le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$

Déterminer graphiquement les fonctions affines représentées par les droite $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$:

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Exercices 8:

fonction affine

Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ vérifiant $f(-1)=1$ et $f(3)=4$.

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Exercices 9:

Fonction affine

Déterminer l'expression des fonctions affines $f$ et $g$ sachant que: $\left\{ \begin{array}{l} f(2) = 3 \\ f(4)= 7 \end{array} \right.$ et $\left\{ \begin{array}{l} g(1) = 2 \\ g(6)= -3 \end{array} \right.$.

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Exercices 10:

sens de variation d'une fonction affine

Déterminer le sens de variation de la fonction affine $f$ dans chacun des cas suivants:
a) $f(x)=x)$ b) $f(x)=6-8x$ c) $f(x)=-6-8x$

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Exercices 11:

sens de variation d'une fonction affine

Déterminer le sens de variation des fonctions affines suivantes:
a) $f:x\to 5x-3$ b) $g:x\to 3-4x$ c) $i:x\to \dfrac 23 x$ d) $j:x\to 2$

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Exercices 12:

fonction affine

Parmi les tableaux de valeurs suivants, lesquels peuvent correspondre à des fonctions affines?

$x$	2	5	11
$f(x)$	5	7	11

$x$	1	5	3
$f(x)$	3	11	6

$x$	2	4	0
$f(x)$	3	2	4

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Exercices 13:

fonction affine et proportionnalité

Dans chaque cas, $f$ est une fonction affine. Compléter les tableaux suivants:

$x$	2	6	18
$f(x)$	-1	1

$x$	6	12
$f(x)$	8	4	10

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Exercices 14:

Problème - fonction affine

Un fournisseur d'accès à internet proposait au début des années 2000 trois formules d'abonnement mensuel:
• Formule A: 2 euros par heure de connexion.
• Formule B: 20 euros plus 0,50 euro par heure de connexion.
• Formule C: connexion illimitée pour 30 euros.

Modéliser chaque formule d'abonnement par une fonction affine qui au temps de connexion en heure dans un mois associe le prix à payer.
Représenter ces trois fonctions dans un repère bien choisi.
Expliquer en fonction du temps de connexion quelle est la formule la plus économique.

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Exercices 15:

Conversion degré Celsius Fahrenheit - fonction affine

Les français utilisent le degré Celsius (°C) comme unité de mesure de température alors que les américains utilisent le degré Fahrenheit (°F). La température en degré Celsius $T_C$ et la température en degré Fahrenheit $T_F$ sont reliées par la relation: $T_F=1,8T_C+32$.

Que dirait un américain en visite à Paris où le thermomètre affiche $20$°C?
Que dirait un français en visite à New-York où le thermomètre affiche $77$°F?
Deux canadiens constatent un jour que les deux thermomètres, gradués l'un en Celsius et l'autre en Fahrenheit affichent la même valeur. Quelle est la température?

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Exercices 16:

Taille d'un homme - fonction affine

La formule de Lorentz est une formule donnant le poids idéal (théorique) en kg noté $p(t)$ d'un homme de taille $t$ (en cm) avec $t\geqslant 130$. Elle est donnée par $p(t)=t-100-\dfrac {t-150}4$.

D'après cette formule, quel est le poids idéal d'un homme mesurant $170$ cm?
D'après cette formule, quel est le poids idéal d'un homme mesurant $2$ m?
Montrer que $p$ est une fonction affine. Représenter $p$ sur l'intervalle $[130;210]$.
Un homme a un poids idéal de $74$ kg. Combien mesure-t-il? (On déterminera d'abord une valeur approchée graphiquement puis la valeur exacte par le calcul.)

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Exercices 17:

fonction affine ou pas

Montrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-1$ n'est pas affine.

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Exercices 18:

fonction affine avec paramètre - Exercice de révision

Soit $m$ un réel quelconque.
On appelle $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(m-2)x+2m$.
Déterminer la ou les valeurs de $m$ dans chaque cas:
1) $f$ est une fonction linéaire.
2) $f$ est une fonction constante.
3) $f(3)=1$.
4) $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
5) $f$ est strictement négative uniquement sur $]3;+\infty[$.
6) $f(-2)=4$.

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Exercices 19:

fonction affine Algorithme Python

Ecrire un algorithme qui détermine le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une droite représentant une fonction affine lorsqu'on connait deux points de cette droite.

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Exercices 20:

fonction affine - variation - Démonstration du cours

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a\ne 0$.
On considère la fonction affine $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax+b$.
1) Montrer que si $a>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
2) Montrer que si $a\lt 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.