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Formule du binôme de Newton - coefficients binomiaux

Conseils
Formule du binôme de Newton - coefficients binomiaux
Cours

Comprendre la formule du binôme de Newton - Savoir l'utiliser avec le triangle de Pascal pour développer

Démonstration de la formule du binôme de newton

comprendre la méthode pour savoir refaire la démonstration
Exercice 1:

Formule du binôme de Newton - Savoir l'appliquer pour développer

Développer avec la formule du binôme et le triangle de Pascal:
$ \color{red}{\textbf{a. }} (z+1)^6$ $\color{red}{\textbf{b. }} \left(\dfrac 12z+2\right)^4$ $\color{red}{\textbf{c. }} (z-3)^8$
Exercice 2: Formule du binôme de Newton - pour développer avec nombres complexes
Utiliser la formule du binôme pour obtenir la forme algébrique:
$ \color{red}{\textbf{a. }} (1+i)^5$ $\color{red}{\textbf{b. }} (i-1)^4$ $\color{red}{\textbf{c. }} (3+2i)^6$
Exercice 3:

Démontrer une somme avec coefficient binomiaux - formule du binôme de Newton - prépa MPSI PCSI ECS

En développant $(1+x)^{2n}$ pour $x\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$ de deux façons différentes, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k}}^2=\binom {2n}n$.
Exercice 4

Démontrer une somme avec coefficient binomiaux • Méthode combinatoire • prépa MPSI PCSI ECS

Démontrer à l'aide du nombre de parties d'un ensemble que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k}}^2=\binom {2n}n$.
Exercice 5: Binôme de Newton - montrer que (3+√5)^n + (3-√5)^n est un entier pair - prépa MPSI PCSI ECS
Soit $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n$ est un entier pair.
Exercice 6: formule du binôme du Newton - Trouver un coefficient dans un développement - prépa MPSI PCSI ECS
Déterminer les coefficients de $a^2bc^4$ et $ab^3c^4$ dans le développement de $(a-b+2c)^7$.
Exercice 7: Nombre complexe • somme de cosinus • binôme de Newton • angle moitié
Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel non nul, montrer que: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k}} \cos(kx)=2^n \cos ^n\left(\dfrac x2\right)\cos\left(\dfrac{nx}{2}\right)$.


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