Nombre complexe - Module Argument

Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ du plan complexe d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z^2}{z+i}$ soit imaginaire pur.

Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ du plan complexe d'affixe $z$ tels que $|z|=2|z-i|$.

Soit $a\!\in ]0;\pi[$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants:
$ \color{red}{\textbf{a. }} \ 1+e^{ia}$ $ \color{red}{\textbf{b. }} \ e^{ia}-e^{2ia}$

Soit $a\!\in ]0;\pi[$. Écrire sous forme exponentielle $\dfrac{1-e^{ia}}{1+e^{-ia}}$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes de module $1$ tels que $ab\ne -1$.
Démontrer que $\dfrac {a+b}{1+ab}$ est réel par deux méthodes.

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^n=\bar{z}$.

Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel non nul, montrer que:
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos(kx)=2^n \cos ^n \left(\frac x2\right)\cos\left(\frac{nx}2 \right)$

Déterminer $z$ tel que les points d'affixe $z$, $z^2$ et $z^4$ soient alignés.

Calculer $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 x) \cos ^3 (x) \, \mathrm{d}x$.

Soit $x$ un réel avec $x \notin \{2k\pi,\, k \in \mathbb{Z} \}$ et $n$ un entier naturel non nul, montrer que : $\displaystyle \sum_{k=0}^n \sin(kx) = \sin\left(\dfrac{nx}2\right)\dfrac{\sin\left(\dfrac{(n+1)x}2\right)}{\sin\left(\dfrac x2\right)}$

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tous deux non nuls d'arguments respectifs $\theta$ et $\theta'$.

1. Montrer par deux méthodes différentes que : $|z+z'| = |z-z'|$ $\Leftrightarrow$ $\theta' - \theta = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$
2. Interpréter géométriquement.