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Dénombrement

Dénombrement - Arrangement & Combinaison

Conseils
Arrangement & Combinaison
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$k$-uplet - Arrangement - permutation

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Combinaison

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Comment faire en exercice

?
Cours

Démonstration: Formule du triangle de Pascal

par le Dénombrement et par le calcul
Cours

Démonstration: Parties d'un ensemble

Exercice 1:

Dénombrement - tiercé - Mot - Arrangement Combinaison

  1. Déterminer le nombre de tiercés possibles dans une course avec $15$ chevaux et pas d'ex-aequo.
  2. Déterminer le nombre de mots de quatre lettres, formés avec les $26$ lettres de l'alphabet.
  3. De combien de façons peut-on garer $4$ voitures distinctes dans un parking à $6$ places?
  4. On place $10$ points distincts sur un cercle. Dénombrer le nombre de droites passant par deux de ces points.
Exercice 2:

Dénombrement - Arrangement - Combinaison

  1. On dispose de 8 souris, quatre mâles et quatre femelles. Combien de couples peut-on former afin qu'ils se reproduisent?
  2. On choisit deux villes parmi 7 pour une course cycliste entre ces 2 villes. Combien y-a-t-il de choix si on ne distingue pas ville de départ et d'arrivée?
  3. Même question mais en distinguant ville de départ et d'arrivée?
  4. Dix nageurs participent à une course. Combien y-a-t-il de podiums possibles? Il n'y a pas d'ex-æquo. .
Exercice 3:

Dénombrement - Tirage avec et sans remise et simultané

On tire 4 boules dans une urne contenant 10 boules de couleurs différentes. Déterminer le nombre de tirages possibles lorsque:
  1. on tire les 4 boules successivement et avec remise.
  2. on tire les 4 boules successivement et sans remise.
  3. on tire les 4 boules simultanément.
Exercice 4

Dénombrement - Arrangement Combinaison

Huit nageurs dont un français participent à une compétition. Un podium est constitué du premier, du deuxième et du troisième. Il n'y a pas d'ex-æquo.
  1. Combien y-a-t-il de podiums possibles?
  2. Déterminer le nombre de podiums possibles avec le nageur français de deux façons différentes.
Exercice 5:

Dénombrement - digicode

Un digicode à l'entrée d'un immeuble est constitué d'un clavier avec 13 touches marquées des trois lettres U, V et X et des 10 chiffres de 0 à 9. Un code est formé d'une lettre suivie d'une liste de 3 chiffres non nécessairement distincts. Rose a oublié le code.
  1. Parmi combien de code différents Rose doit faire son choix?
  2. Rose se souvient de la lettre du code. Parmi combien de code différents Rose fait-elle son choix?
  3. Rose maintenant se souvient en plus de la lettre que les trois chiffres du code sont 6, 2 et 9, mais ne se souvient plus de l'ordre. Quelle est la probabilité que Rose trouve le bon code dès le premier essai?
Exercice 6: Dénombrement - Plaque d'immatriculation
La plaque d'immatriculation d'une voiture comporte deux lettres, distinctes de O, I et U pour éviter la confusion avec 0, 1 et V. Puis trois chiffres entre 0 et 9 inclus puis encore deux lettres distinctes de O, I et U. Déterminer le nombre de plaques d'immatriculation différentes possibles.
Exercice 7: Dénombrement - Arrangement Combinaison
On dispose de 6 cages sans limite de capacité. 3 cochons d'Inde discernables se précipitent dans les cages. De combien de façon peuvent-ils occuper les cages?
Exercice 8:

Dénombrement - Cartes

On tire au hasard et simultanément 5 cartes d'un jeu de 32. On constitue ainsi une main.
  1. Matthias affirme que le nombre de mains possibles est égal à $32\times 31\times 30\times 29\times 28$. Qu'en pensez-vous? Corriger si nécessaire.
  2. Zoé affirme que le probabilité que la main ne contienne aucun cœur est égale à $\dfrac {24}{32}$. Qu'en pensez-vous? Corriger si nécessaire.
Exercice 9: Dénombrement - rangement
Sur une étagère se trouvent 12 livres différents : 5 de mathématiques, 4 de physique-chimie et 3 de SVT.
  1. De combien de manières différentes peut-on ranger ces livres sur l'étagère.
  2. De combien de manières différentes peut-on ranger ces livres sur l'étagère en ayant les livres de mathématiques côte à côte ?
Exercice 10

Dénombrement - Loto Joker Quinté

Un joueur se demande ce qu'il en coûte de jouer tous les résultats possibles d'un jeu de hasard afin d'être sûr de gagner. Il s'intéresse au loto, au Joker et au Quinté.
  1. Au Loto, il s'agit d'un tirage au hasard de 6 nombres parmi 49. Un même nombre ne peut être tiré plusieurs fois et l'ordre n'est pas pris en compte. Le prix d'une grille de loto est de 2 euros.
  2. Au Joker, il s'agit d'un tirage successifs de 7 chiffres au hasard parmi les chiffres de 0 à 9. Un même chiffre peut être tiré plusieurs fois. Un jeu coûte 1 euro.
  3. Au Quinté, on s'intéresse à l'arrivée dans l'ordre des 5 premiers chevaux d'une course comportant 18 partants. Le prix d'un pari est de 1,5 euro.
Exercice 11: Dénombrement et géométrie
Dans la figure ci-dessous, les droites $\mathscr{D_1}$, $\mathscr{D_2}$, $\mathscr{D_3}$ et $\mathscr{D_4}$ sont parallèles. De plus, les droites $\mathscr{D'_1}$, $\mathscr{D '_2}$, $\mathscr{D'_3}$, $\mathscr{D '_4}$, et $\mathscr{D'_5}$ sont parallèles.

Combien cette figure contient-elle de parallélogramme non aplatis?
Exercice 12:

Dénombrement et déplacement sur une grille

Une araignée en A se déplace sur une toile quadrillée représentée ci-dessous. Elle veut atteindre la mouche en M et se déplace uniquement de gauche à droite et de bas en haut.
  1. Dénombrer tous les chemins possibles.
  2. Dénombrer tous les chemins passant par P.
  3. Dénombrer tous les chemins passant par P et Q.
  4. Dénombrer tous les chemins passant par P ou Q.
Exercice 13:

Dénombrement et Python

Écrire un programme en Python qui génère les permutations d'une liste par 2 méthodes
Exercice 14: Dénombrement et Python
Écrire un programme en Python qui affiche pour un entier $n$ donné la liste des coefficients $\displaystyle\binom{n}{k}$ à l'aide de la relation de Pascal.
Exercice 15: Dénombrement et rangement
On dispose de trois tiroirs pour ranger cinq pulls différents. Chaque tiroir peut contenir les cinq pulls.
  1. De combien de façons peut-on réaliser le rangement?
  2. Combien y-a-t-il de rangements possibles pour lesquels aucun tiroir ne reste vide?
Exercice 16:

Dénombrement et anagramme - Nathan Hyperbole exercice 31 chapitre 2

Lorsqu'on permute les lettres d'un mot, on obtient une anagramme de ce mot.
On s'intéresse aux anagrammes du mot DIJON sans tenir compte de la signification ou non.
  1. Combien y-a-t-il de telles anagrammes ?
  2. Combien de ces anagrammes commencent par la lettre D ?
  3. Combien de ces anagrammes commencent par une consonne ?
  4. Combien de ces anagrammes commencent par une voyelle et finissent par une consomme ?
Exercice 17:

Dénombrement et anagramme

Lorsqu'on permute les lettres d'un mot, on obtient une anagramme de ce mot.
Dénombrer les anagrammes de SOPHIE, GASPARD puis ANANAS.
Exercice 18: Dénombrement et Poker Nathan hyperbole 45 chapitre 2 Terminale spécialité maths
Au poker, on utilise un jeu de $52$ cartes : $13$ valeurs (de l'as au $10$, puis valet, dame, roi) en quatre familles (cœur, carreau, pique, trèfle). Une main est un ensemble de $5$ cartes différentes.
  1. Combien de mains différentes peut recevoir un joueur ?
  2. Une couleur est une main constituée de $5$ cartes de la même famille.
    1. Combien y a-t-il de mains de ce type en coeur ?
    2. Combien y a-t-il de mains de ce type en tout ?
  3. Un carré est une main composée de $4$ cartes de la même valeur et d'une cinquième carte quelconque.
    1. En considérant la cinquième carte, déterminer combien de carrés présentent le numéro $10$ répété $4$ fois ?
    2. Combien y a-t-il de carrés en tout ?
Exercice 19:

Dénombrement et Poker

Au poker, on utilise un jeu de $52$ cartes : $13$ valeurs (de l'as au $10$, puis valet, dame, roi) en quatre familles (cœur, carreau, pique, trèfle). Une main est un ensemble de $5$ cartes différentes. À l'aide de la calculatrice, retrouver les résultats présentés dans le tableau ci-contre.
Main Combinaisons
Quinte flush 40
Carré 624
Full 3 744
Couleur 5 108
Quinte 10 200
Brelan 54 912
Deux paires 123 552
Paire 1 098 240
Carte haute 1 302 540
Total 2 598 960
Exercice 20: Dénombrement et jeton sur une grille
Sur un damier carré de cinq cases sur cinq, on pose au hasard cinq jetons indiscernables sur cinq cases différentes. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants:
  1. un jeton exactement est placé par ligne et par colonne
  2. Aucun jeton n'est sur une diagonale
  3. Une colonne est vide