factoriser - facteur commun - Quatrième

Factoriser

Factoriser
signifie
transformer une somme en produit.

$\boldsymbol{...+...=....\times ....}$

♦ Cours en vidéo - : Factoriser à l'aide du facteur commun

$ka+kb=$

$ka+kb=k(a+b)$

On dit que $k$ est le facteur commun
$3x+12=$

$\phantom{=}3x+12$
$=3x+3\times 4$
$=3(x+4)$

Pour vérifier que tu ne t'es pas trompé
pense à développer.
$3x+5x=$

$\phantom{=}3x+5x$
$=x(3+5)$
$=x\times 8$
$=8x$
$3x^2+2x=$

$\phantom{=}3x^2+2x$
$=3\times x\times x+2\times x$
$=x(3x+2)$

Pour vérifier que tu ne t'es pas trompé
pense à développer.
$3x^2+x=$

$\phantom{=}3x^2+x$
$=3\times x\times x+ x\times 1$

Il est très important de penser
à rajouter $\boldsymbol{\times 1}$.

$=x(3x+1)$

Pour vérifier que tu ne t'es pas trompé
pense à développer.
$(4x-1)(5x+4)+(4x-1)(3x+1)=$

$\phantom{=}(4x-1)(5x+4)+(4x-1)(3x+1)$
$=(4x-1)[(5x+4)+(3x+1)]$

$(4x-1)$ est le facteur commun

$=(4x-1)[5x+4+3x+1]$
$=(4x-1)(8x+5)$

Pour vérifier que tu ne t'es pas trompé
pense à développer.
$(4x-1)(5x+4)-(4x-1)(3x+1)=$

$\phantom{=}(4x-1)(5x+4)-(4x-1)(3x+1)$
$=(4x-1)[(5x+4)-(3x+1)]$

$(4x-1)$ est le facteur commun

$=(4x-1)[5x+4-3x-1]$

Penser à changer les signes
quand on enlève les parenthèses
lorsqu'il y a un $\boldsymbol{-}$ devant.

$=(4x-1)(2x+3)$

Pour vérifier que tu ne t'es pas trompé
pense à développer.
$(4x-1)(5x+4)-4x+1=$

$\phantom{=}(4x-1)(5x+4)-4x+1$
$=(4x-1)(5x+4)-(4x-1)$

Etape très importante
où on fait apparaitre le facteur commun!

$=(4x-1)(5x+4)-(4x-1)\times 1$

Il est très important de penser
à rajouter $\boldsymbol{\times 1}$.

$=(4x-1)[(5x+4)-1]$

$(4x-1)$ est le facteur commun

$=(4x-1)[5x+4-1]$
$=(4x-1)(5x+3)$

Pour vérifier que tu ne t'es pas trompé
pense à développer.

Tape ton expression + clique sur 15

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Exercices 1:

Factoriser à l'aide d'un facteur commun - Transmath

On considère l'expression $x^2 + 7x$.

Rappeler ce que désigne la notation $x^2$.
Recopier et compléter : $x^2 + 7x ={\color{orange}{. . .}} \times {\color{orange}{. . .}} + 7 \times {\color{orange}{. . .}}$
En déduire une factorisation de $x^2 + 7x$.

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Exercices 2:

Factoriser à l'aide d'un facteur commun pour aider au calcul mental - Transmath

Calculer astucieusement:

$ \color{red}{\textbf{a. }} 57\times 73+57\times 27$ $\color{red}{\textbf{b. }} 25,4\times 3,8-15,4\times 3,8$ $\color{red}{\textbf{c. }} 3,6\times 41-3,6\times 40$ $\color{red}{\textbf{d. }} 2,9\times 18+2\times 2,9$

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Exercices 3:

Factoriser à l'aide d'un facteur commun - Transmath

Factoriser chaque expression, puis contrôler l'égalité obtenue en remplaçant $x$ par 1:

$ \color{red}{\textbf{a. }} 7x^2+5x$ $\color{red}{\textbf{b. }} 2x^2-x$ $\color{red}{\textbf{c. }} 14x+7$ $\color{red}{\textbf{d. }} -9x^2-3x$

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Exercices 4:

Factoriser à l'aide d'un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes:
\[ {\rm A}=6a+12\] \[{\rm B}=7-7t\] \[{\rm C}=5a^2-3a\] \[{\rm D}=5a^2-a\]

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Exercices 5:

Factoriser à l'aide d'un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes:
\[ {\rm A}=16a-4b\] \[{\rm B}=16ab-4b\] \[{\rm C}=18a^2b-6ab^2\]

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Exercices 6:

Factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes:
\[ {\rm A}=-2y^2+4y\] \[{\rm B}=b^3-b^2\] \[{\rm C}=5x(5-x)-(5-x)(2x+8)\]

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Exercices 7:

Factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes:
\[ {\rm A}=(4x-1)(2x+3)+5x(4x-1)\] \[{\rm B}=(4x-1)^2-(2x-3)(4x-1)\]
\[{\rm C}=(4x-1)^2-(4x-1)\]

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Exercices 8:

Factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes:
\[ {\rm A}=10x^2(x+2)+6x(2x+1)\] \[{\rm B}=3(2-3x)^2-(2-3x)(1-x)\]
\[{\rm C}=(t-4)-(t-4)^2\]

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Exercices 9:

Factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes:
\[ {\rm A}=(2x-1)(1-4x)+(2x+1)(1-4x)\] \[{\rm B}=(2x-1)(1-4x)-(2x+1)(1-4x)\]
\[{\rm C}=(2x-1)(5x+3)-2x+1\]

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Exercices 10:

Factoriser à l'aide d'un facteur commun

Pour factoriser $5x^2+x+1$, Océane a écrit $5x^2+x+1=x(5x+1)$.
A-t-elle raison? Justifier.

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Exercices 11:

identités remarquables et calcul mental

On considère un nombre entier $n$ se terminant par le chiffre $5$. On note $d$ le nombre de dizaines de l'entier $n$ , on a alors $n = 10d + 5$. Par exemple, pour $n=35$, on a $d=3$.

Montrer que $n^2 = 100d(d+1) + 25$
Calculer mentalement les carrés suivants : $35^2$, $75^2$ et $105^2$.

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Exercices 12:

Méthode de Hörner

L'objectif de cet exercice est de comprendre la méthode du mathématicien Hörner qui permet de faire des calculs avec moins d'opérations.

On considère les expressions \[ {\rm A}=3x^2+2x+1\] et \[ {\rm B}=x(3x+2)+1\]
Calcule les expressions $\rm A$ et $\rm B$ pour $x=2$.
Démontrer que pour tout $x$, $\rm A=B$.
Déterminer le nombre de multiplications et d'additions à effectuer pour déterminer A. Puis pour B.
En utilisant la même technique, transforme l'expression \[ {\rm C}=2x^3+5x^2+3x+2\] pour qu'elle contienne moins d'opérations à effectuer. Combien d'opérations cela permet-il d'économiser?