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Cycle 4

Equation produit nul


Equation produit

 
Cours en vidéo : Règle du produit nul Cours de math en vidéo
  • règle du produit nul
    Résoudre une équation du type
    $\rm A\times B=0$
    D'après la règle du produit nul:
    Un produit est nul
    signifie
    que l'un des facteurs au moins est nul
    Donc ici A=0 ou B=0.

    revient à résoudre
    $\rm A=0$ ou $\rm B=0$
    L'intérêt:
    c'est qu'au lieu de résoudre une grosse équation
    $\rm A\times B=0$
    on résout 2 équations plus simples
    $\rm A=0$, $\rm B=0$.


    Exemple:
    Résoudre $(5x-10)(2x+8)=0$
    revient à résoudre
    $5x+10=0$ ou $2x+8=0$
Cours en vidéo: 2 techniques pour résoudre une équation Cours de math en vidéo
  • Technique 1
    Isoler l'inconnue
    en additionnant, soustrayant, multipliant ou en divisant
    des 2 côtés par le même nombre
    jusqu'à obtenir une équation de la forme $\boldsymbol{x=...}$

    Utiliser cette méthode
    pour les équations du premier degré


    Exemple
    Résoudre: $5x+4=3x+10$
    $5x+4$$=$$3x+10$
    On enlève $3x$ des 2 côtés
    $5x+4-3x$$=$$3x+10-3x$
    On arrange
    $2x+4$$=$$10$
    On enlève 4 des 2 côtés
    $2x+4-4$$=$$10-4$
    On arrange
    $2x$ $=$ $6$
    On divise par 2 des 2 côtés
    $\displaystyle\frac {2x}2$$=$ $\displaystyle\frac 62$
    On arrange
    $x$$=$$3$
    On conclut que cette équation
    a une solution qui est $3$.

    Pour être sûr que 3 est bien solution,
    remplacer 3 dans l'équation et vérifier que
    le membre de gauche est égal au membre de droite.
    $5\times 3+4=19$
    $3\times 3+10=19$
    Le membre de droite est bien égal au membre de gauche
    donc 3 est bien solution de cette équation.

  • Technique 2
    Se ramener à une équation du type
    $\boldsymbol{...\times ....=0}$
    Ce type d'équation est appelé équation produit nul
    On utilise cette méthode pour les équations
    qui ne sont pas du premier degré


    On procède en 4 étapes:
    1) Ecrire l'équation sous la forme $\boldsymbol{....=0}$
    2) Factoriser le membre de gauche $...\times ....=0$
    C'est ce qu'on appelle une équation produit nul.

    2 techniques pour factoriser:
    • On cherche un facteur commun
    • On repère des identités remarquables
    En particulier: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

    3) Appliquer la règle du produit nul: $...=0$ ou $....=0$
    4) Résoudre les équations $...=0$ et $....=0$ séparement.

    Exemple
    Résoudre $x^2=5x$
    $x^2$$=$$5x$
    On enlève $5x$ des 2 côtés
    pour se ramener à $...=0$
    $x^2-5x$$=$$5x-5x$
    On arrange
    $x^2-5x$$=$$0$
    On factorise.
    Ici $x$ est facteur commun.
    $x(x-5)$$=$$0$
    On applique la règle du produit nul
    $x=0$ou $x-5=0$
    On résout chaque équation séparement
    $x=0$ou$x-5+5=0+5$
    On a rajouté 5 des côtés dans la deuxième équation.
    $x=0$ou$x=5$
    On conclut que cette équation
    a deux solutions qui sont $0$ et $5$.
    Pour vérifier que 0 et 5 sont bien solution
    remplacer 0 et 5 dans l'équation de départ $x^2=5x$.

  • Ne pas dire
    "Je fais passer ... de l'autre côté
    $-4x=0$

Cours en vidéo: Erreur classique concernant les équations Cours de math en vidéo
  • Erreur à ne pas faire
    A faire
    diviser par $x$

Tape ton équation + clique sur X=



Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre les équations suivantes:
\[ (x-7)(3x-12)=0\] \[ (4t-10)^2=0\] \[ 2y=y^2\]
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre les équations suivantes:
\[ 2t(-t-7)=0\] \[ (1-2a)+(5+a)=0\] \[ 3x(1-2x)(4x+10)=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre les équations suivantes:
\[ 15(6x-15)=0\] \[ 4x(6-x)(x+3)=0\] \[ (2x+8)^2=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 4:


1) Invente une équation qui admette -4 comme solution
2) Invente une équation qui admette -1 et 3 comme solution
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre les équations suivantes:
\[ x^2=2x\] \[ (3-2x)(2x+5)=(4x-5)(2x+5)\]
Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre les équations suivantes:
\[ 5x^2=x\] \[ x^3=x\]
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre les équations suivantes:
\[ 7(y+8)-(y+8)(y-3)=0\] \[ (8-t)^2=(3t+5)(8-t)\]
Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ x^2=81\] \[ y^2+81=0\] \[ 4y^2=25\]
Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ (x-1)^2=0\] \[ x^2-1=0\] \[ x^2+1=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ 9-(x-4)^2=0\] \[16b^2=1\]
Corrigé en vidéo
Exercices 11:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables et du facteur commun


Résoudre les équations suivantes:
\[ x^3=x^2\] \[(1-2x)^2=(4x-5)^2\]
Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ x^2-10x+25=0\] \[4x^2+1=4x\]
Corrigé en vidéo
Exercices 13:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[x^2+9=6x\] \[x^2=6x\]
Corrigé en vidéo
Exercices 14:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ (3-x)^2=3-x\] \[x^2=(4-3x)^2\]
Corrigé en vidéo
Exercices 15:

Résoudre une équation


Résoudre les équations suivantes:
\[(1-5x)(6x+2)=(5-4x)(1-5x)\]

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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
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