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Cycle 4

Equation
(En cours de réalisation)


Equation

 
Cours en vidéo : comprendre la notion d'équation Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Une équation
    Une équation est une égalité entre deux expressions
    comprenant une ou plusieurs lettres appelées inconnues

    Exemple: $3x^2=2x+1$
    $3x^2=2x+1$ est une équation
    d'inconnue $x$.
    $3x^2$ est appelé le membre de gauche.
    $2x+1$ est appelé le membre de droite.

  • Une solution
    Lorsque dans une équation,
    on remplace l'inconnue par une valeur
    et que l'égalité est vraie
    c'est à dire que
    le membre de gauche est égal au membre de droite.

    cette valeur s'appelle une solution de l'équation.
    Si on remplace $x$ par une valeur,
    et que l'égalité n'est pas vraie,
    cette valeur n'est pas solution de l'équation.


    Exemple: $3x^2=2x+1$
    Lorsqu'on remplace $x$ par 1 dans $3x^2=2x+1$
    On obtient $3\times 1^2=2\times 1+1$ Donc $3=3$
    L'égalité étant vraie, 1 est donc solution de $3x^2=2x+1$

    Lorsqu'on remplace $x$ par 4 dans $3x^2=2x+1$
    On obtient $3\times 4^2=2\times 4+1$ Donc $48=9$
    L'égalité n'étant pas vraie, 4 n'est pas solution de $3x^2=2x+1$

  • Résoudre
    Résoudre une équation,
    C'est trouver toutes les solutions

    Exemple: $3x^2=2x+1$
    1 est solutions de cette équation
    Car si on remplace $x$ par 1 dans l'équation
    on obtient 3=3.

    On a donc trouvé une solution.
    Mais il y a peut-être d'autres solutions.
    Pour résoudre, il faut les trouver toutes.

  • Règles
    Régles à utiliser pour résoudre une équation
    On peut voir une équation
    comme une balance équilibrée
    Par exemple $3x+5=17$

    Tant qu'on fait la "même chose" des deux côtés,
    la balance reste équilibrée.
    On peut enlever 5 des 2 côtés

    On obtient

    Puis diviser par 3 des 2 côtés


    On peut additionner la même quantité des 2 côtés
    Par exemple, avec l'équation:
    $3x-1$=5
    On peut additionner 1 des deux côtés
    $3x-1+1$=5+1
    $3x$=6

    On peut soustraire la même quantité des 2 côtés
    Par exemple, avec l'équation:
    $3x+5$=17
    On peut soustraire 5 des deux côtés
    $3x+5-5$=17-5
    $3x$=12

    On peut multiplier par la même quantité des 2 côtés
    Par exemple, avec l'équation:
    $\displaystyle \frac 13 x$=6
    On peut multiplier par 3 des deux côtés
    $\displaystyle 3\times \frac 13 x$=$3\times 6$
    $x$=18
    Avant de multiplier des 2 côtés par quelque chose,
    il faut s'assurer que ce quelque chose est non nul!

    On peut diviser par la même quantité des 2 côtés
    Par exemple, avec l'équation:
    $\displaystyle 5 x$=20
    On peut diviser par 5 des deux côtés
    $\displaystyle \frac {5x}5$=$\displaystyle \frac {20}5$
    $x$=4
    Avant de diviser des 2 côtés par quelque chose,
    il faut s'assurer que ce quelque chose est non nul!

    On peut utiliser la règle du produit nul
    Résoudre une équation du type
    $\rm A\times B=0$
    D'après la règle du produit nul:
    Un produit est nul
    signifie
    que l'un des facteurs au moins est nul
    Donc ici A=0 ou B=0.

    revient à résoudre
    $\rm A=0$ ou $\rm B=0$
    L'intérêt:
    c'est qu'au lieu de résoudre une grosse équation
    $\rm A\times B=0$
    on résout 2 équations plus simples
    $\rm A=0$, $\rm B=0$.


    Exemple:
    Résoudre $(5x-10)(2x+8)=0$
    revient à résoudre
    $5x+10=0$ ou $2x+8=0$

  • Equation du premier degré
    Une équation du premier degré
    est une équation qui peut s'écrire sous la forme
    $ax+b=0$
    avec $a$ non nul

    Propriété importante:
    Une équation du premier degré a toujours une solution et une seule!


    $3x=4$
    $3x$=4
    est une équation du premier degré
    $3x+(-4)$=$4+(-4)$
    Car en ajoutant $-4$ des 2 côtés
    $3x+(-4)$=0
    On obtient bien une équation de la forme $ax+b=0$

    $5x+3=2x-1$
    $5x+3$=$2x-1$
    est une équation du premier degré
    $5x+3-(2x-1)$=$2x-1-(2x-1)$
    Car en enlevant $2x-1$ des 2 côtés
    $5x+3-2x+1$=$0$
    Penser à changer les signes
    car il y a un $-$ devant la parenthèse
    $3x+4$=$0$
    On obtient bien une équation de la forme $ax+b=0$

Cours en vidéo: 2 techniques pour résoudre une équation Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Technique 1
    Isoler l'inconnue
    en additionnant, soustrayant, multipliant ou en divisant
    des 2 côtés par le même nombre
    jusqu'à obtenir une équation de la forme $\boldsymbol{x=...}$

    Utiliser cette méthode
    pour les équations du premier degré


    Exemple
    Résoudre: $5x+4=3x+10$
    $5x+4$$=$$3x+10$
    On enlève $3x$ des 2 côtés
    $5x+4-3x$$=$$3x+10-3x$
    On arrange
    $2x+4$$=$$10$
    On enlève 4 des 2 côtés
    $2x+4-4$$=$$10-4$
    On arrange
    $2x$ $=$ $6$
    On divise par 2 des 2 côtés
    $\displaystyle\frac {2x}2$$=$ $\displaystyle\frac 62$
    On arrange
    $x$$=$$3$
    On conclut que cette équation
    a une solution qui est $3$.

    Pour être sûr que 3 est bien solution,
    remplacer 3 dans l'équation et vérifier que
    le membre de gauche est égal au membre de droite.
    $5\times 3+4=19$
    $3\times 3+10=19$
    Le membre de droite est bien égal au membre de gauche
    donc 3 est bien solution de cette équation.

  • Technique 2
    Se ramener à une équation du type
    $\boldsymbol{...\times ....=0}$
    Ce type d'équation est appelé équation produit nul
    On utilise cette méthode pour les équations
    qui ne sont pas du premier degré


    On procède en 4 étapes:
    1) Ecrire l'équation sous la forme $\boldsymbol{....=0}$
    2) Factoriser le membre de gauche $...\times ....=0$
    C'est ce qu'on appelle une équation produit nul.

    2 techniques pour factoriser:
    • On cherche un facteur commun
    • On repère des identités remarquables
    En particulier: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

    3) Appliquer la règle du produit nul: $...=0$ ou $....=0$
    4) Résoudre les équations $...=0$ et $....=0$ séparement.

    Exemple
    Résoudre $x^2=5x$
    $x^2$$=$$5x$
    On enlève $5x$ des 2 côtés
    pour se ramener à $...=0$
    $x^2-5x$$=$$5x-5x$
    On arrange
    $x^2-5x$$=$$0$
    On factorise.
    Ici $x$ est facteur commun.
    $x(x-5)$$=$$0$
    On applique la règle du produit nul
    $x=0$ou $x-5=0$
    On résout chaque équation séparement
    $x=0$ou$x-5+5=0+5$
    On a rajouté 5 des côtés dans la deuxième équation.
    $x=0$ou$x=5$
    On conclut que cette équation
    a deux solutions qui sont $0$ et $5$.
    Pour vérifier que 0 et 5 sont bien solution
    remplacer 0 et 5 dans l'équation de départ $x^2=5x$.

  • Erreur "Faire passer"
    A faire
    $-4x=0$

  • Erreur Simplifier
    A faire
    diviser par $x$

Tape ton expression + clique sur (( ))



Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Savoir si un nombre est solution d'une équation


Dire si -2 est solution des équations suivantes:
\[ x+2=0\] \[ -t-2=0\] \[ -t^2+t+6=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Savoir si un nombre est solution d'une équation


Trouver memtalement une solution de chacune des équations suivantes:
\[ 2y+3=11\] \[ 4a^2=3a\] \[ (3-b)^2=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre les équations suivantes:
\[ x-8=0\] \[ x+8=0\] \[ 8x=0\] \[ \frac x8=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre les équations suivantes:
\[ 4x=10\] \[ 4t=0\] \[ -4y=0\] \[ -4a=-10\]
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre les équations suivantes:
\[ 2y=6\] \[ 7x+5=6x\] \[ -4y=0\] \[ 9-4a=-15\]
Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre les équations suivantes:
\[ 5(x+4)=7x+6\] \[ 6(2-x)=3(x+9)\] \[ \frac x4=\frac x3-\frac 12\] \[ \frac {7x}6-\frac23=\frac{5x}{2}\]
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre les équations suivantes:
\[ (7+4x)-(x-6)=0\] \[ 8(1-x)-3(4-2x)=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre les équations suivantes:
\[ -t-6=9+4t\] \[ \frac x7=3\] \[ -4y=y\] \[ 2,5a+3=5a+7\]
Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre les équations suivantes:
\[ 4(2y+3)-12=-y+6(2y+1)\] \[ 3t-\frac 23=1\] \[ \frac x5=\frac 54\] \[ \frac{4z}{7}=-\frac 4{21}\]
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Résoudre une équation du premier degré avec fraction


Résoudre les équations suivantes:
\[ \frac x4+5=\frac {4x}2-1\] \[ \frac 85t-\frac 23=t\] \[ \frac 19y+\frac 13=1-y\]
Corrigé en vidéo
Exercices 11:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre les équations suivantes:
\[ (x-7)(3x-12)=0\] \[ (1-2a)+(5+a)=0\] \[ 2t(-t-7)=0\] \[ (2y+6)^2=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre les équations suivantes:
\[ (7-x)(x+7)=0\] \[ (7-x)(x-7)=0\] \[ 3x(1-2x)(4x+10)=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 13:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre les équations suivantes:
\[ 15(6x-15)=0\] \[ 4x(6-x)(x+3)=0\] \[ (2x+8)^2=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 14:


1) Invente une équation qui admette -4 comme solution
2) Invente une équation qui admette -1 et 3 comme solution
Corrigé en vidéo
Exercices 15:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre les équations suivantes:
\[ x^2=2x\] \[ 5x^2=x\] \[ (3-x)(2x+5)=(4-5x)(2x+5)\]
Corrigé en vidéo
Exercices 16:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre les équations suivantes:
\[ 5x^2=2x\] \[ x^3=x^2\] \[ x^3=x\]
Corrigé en vidéo
Exercices 17:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre les équations suivantes:
\[ (y+8)(y-3)-7(y+8)=0\] \[ (8-t)^2=(t+5)(8-t)\]
Corrigé en vidéo
Exercices 18:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ x^2=81\] \[ y^2+81=0\] \[ 4y^2=25\]
Corrigé en vidéo
Exercices 19:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ (x-1)^2=0\] \[ x^2-1=0\] \[ x^2+1=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 20:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ (x-4)^2-9=0\] \[4-y^2=0\] \[16z^2=25\]
Corrigé en vidéo
Exercices 21:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ x^2-10x+25=0\] \[x^2+9=6x\] \[4x^2+1=4x\]
Corrigé en vidéo
Exercices 22:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre les équations suivantes:
\[ (3-x)^2=3-x\] \[(4-3x)^2=100\] \[(1-5x)(6x+2)=(5-4x)(1-5x)\]

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 22 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 13 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie