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Maths Expert

Congruences - Démonstrations du cours

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Conseils

Exercice 1: compatibilité des congruences avec l'addition - démonstration du cours - arithmétique maths expertes

Soient $a$, $b$, $c$, $d$ et $n$ cinq entiers avec $n$ non nul.
  1. Montrer que si $a \equiv b \, [n]$ et $c \equiv d \, [n]$ alors $a + c \equiv b +d \, [n]$
  2. En déduire que si $a \equiv b \, [n]$ alors $a + c \equiv b + c \, [n]$
  3. La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie ?

Exercice 2: compatibilité des congruences avec la multiplication - démonstration du cours - arithmétique maths expertes

Soient $a$, $b$, $c$, $d$ et $n$ cinq entiers avec $n$ non nul.
  1. Montrer que si $a \equiv b \, [n]$ et $c \equiv d \, [n]$ alors $a c \equiv b d \, [n]$
  2. En déduire que si $a \equiv b \, [n]$ alors $a c \equiv b c \, [n]$
    1. Vérifier que $6 \times 5 \equiv 6 \times 7 \, [12]$
    2. La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie ?

Exercice 3: compatibilité des congruences avec les puissances - démonstration du cours - arithmétique maths expertes

Soient $a$, $b$ et $n$ trois entiers avec $n$ non nul.
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $p$ non nul, si $a \equiv b \, [n]$ alors $a ^p \equiv b^p\, [n]$.
  2. Montrer que $41^{183} \equiv 6 \, [7]$.
    1. Vérifier que $2^3 \equiv 4^3 \, [7]$.
    2. Soit $p$ un entier naturel non nul, si $a ^p \equiv b^p\, [n]$, a-t-on $a \equiv b \, [n]$
    1. A-t-on $2^2 \equiv 2^5 \, [3]$?
    2. Soit $p$ un entier non nul, si $a \equiv b \, [n]$, a-t-on $p ^a \equiv p^b\, [n]$ ?

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