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Terminale S

Division euclidienne - Spé Maths


Division euclidienne dans \[\mathbb{N}\] et \[\mathbb{Z}\]

Cours en vidéo: comprendre la notion de division euclidienne Cours de math en vidéo
  • Effectuer la division euclidenne de 23 par 5 
    C'est chercher:
    Combien de fois, on peut mettre de 5 dans 23
    • Et combien il reste.
    On peut poser la division comme à l'école


    On peut donc écrire que $23=5\times 4+3$
    4 est le quotient et 3 est le reste
  • Division euclidienne de $a$ par $b$ dans $\mathbb{N}$
    Quels que soient $a$ et $b$ entiers naturels
    $b$ est non nul

    il existe $q$ et $r$ entiers naturels uniques
    tels que $a=bq+r$ avec
    $0\le r\lt b$
    Cette condition est fondamentale!
    Si elle n'est pas remplie,
    on n'a pas écrit la division euclidienne de $a$ par $b$ !
    Le reste est donc
    un entier positif ou nul
    strictement inférieur à $b$.
  • $a=bq+r$
    Si on réussit à écrire:
    $a=bq+r$ avec $0\le r\lt b$
    alors $q$ est le quotient et $r$ le reste
    Et il n'y a pas d'autres façons d'écrire
    $a$ sous la forme $a=bq+r$ qui respecte la condition $0\le r\lt b$
  • $19=3\times 4+7$
    L'égalité est vraie
    Mais on n'a pas écrit la division euclidienne de $19$ par $4$
    car le reste 7 est plus grand que $b$ qui vaut 4.
    On n'a pas non plus écrit la division euclidienne de $19$ par $3$
    car le reste 7 est plus grand que $b$ qui vaut 3.
  • $19=3\times 6+1$
    On a bien écrit la division euclidienne de $19$ par 6
    Car le reste 1 est positif et plus petit que 6



    On a aussi écrit la division euclidienne de $19$ par 3
    Car le reste 1 est positif et plus petit que 3

  • Division euclidienne de $a$ par $b$ dans $\mathbb{Z}$
    Quels que soient $a$ et $b$ entiers relatifs
    $b$ non nul

    il existe $q$ et $r$ entiers relatifs uniques
    tels que $a=bq+r$ avec
    $0\le r\lt |b|$
    Cette condition est fondamentale!
    Si elle n'est pas remplie,
    on n'a pas écrit la division euclidienne de $a$ par $b$ !
    Le reste est donc
    un entier positif ou nul
    strictement inférieur à $|b|$.
  • $-14=-3\times 4-2$
    L'égalité est vraie
    Mais on n'a pas écrit la division euclidienne de $-14$ par $-3$
    car le reste est négatif.
    On n'a pas non plus écrit la division euclidienne de $-14$ par $4$
    car le reste est négatif.
  • $-14=-3\times 5+1$
    On a bien écrit la division euclidienne de $-14$ par -3
    Car le reste 1 est positif et plus petit que $|-3|$



    On a aussi écrit la division euclidienne de $-14$ par 5
    Car le reste 1 est positif et plus petit que 5

  • Disjonction de cas
    Faire une disjonction de cas, c'est lister tous les cas possibles. Puis les étudier séparement.

    La division euclidienne permet de faire des disjonctions de cas sur les restes possibles.

    Exemple: Soit $n$ un entier naturel quelconque. En faisant par exemple la division de $n$ par 3,
    comme le reste est positif et plus petit que 3, le reste vaut donc 0, 1 ou 2,
    et donc on peut écrire que:
    $n=3k+0$ ou $n=3k+1$ ou $n=3k+2$
    On a donc listé tous les restes possibles.
    On est bien en train de faire une disjonction de cas!


    Puis en fonction de l'exercice,
    on remplace $n$ par $3k$ et on regarde ce qu'on obtient.
    Puis on recommence avec $3k+1$, puis avec $3k+2$.
  • Déterminer un reste
    Méthode
    Pour déterminer le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$,
    on essaye d'écrire $a$ sous la forme $a=b\times c+ d$
    En respectant la condition fondamentale $0\le d\lt |b|$
    Si cette condition est remplie alors $d$ est le reste et $c$ le quotient.



    Exemple 1: Déterminer le reste dans la division euclidienne de $a$ par 9
    sachant que lorsqu'on divise $a$ par 18, le reste est 13.
    1) On écrit l'information de l'énoncé: $a=18q+13$ avec $q$ entier.
    2) On veut le reste dans la division de $a$ par 9.
        On essaye d'écrire $a=9q+?$
    avec $0\le ?\lt 9$


        On part de $a=18q+13=9\times 2q+9+4=9(2q+1)+4$
    On a bien réussi à écrire:
    $a=9q'+4$ avec $q'=2q+1$, $q'$ entier et $0\le 4\lt 9$
    4 est bien le reste dans la division euclidienne de $a$ par 9.



    Exemple 2: Déterminer le reste dans la division euclidienne de $n^2+2$ par $n+1$
    $n$ est un entier naturel.


    On essaye d'écrire $n^2+2=\bullet \times (n+1)+\bullet\bullet$
    avec $\bullet$ entier
    et $0\le \bullet\bullet\lt n+1$


    Correction en vidéo:
  • Le reste vaut 0
    Dire que le reste vaut 0
    dans la division euclidienne de $a$ par $b$


    $\Updownarrow$
    $b$ divise $a$.
    Pour démonter que $b$ divise $a$:
       1) Penser à chercher le reste
    dans la division euclidienne de $a$ par $b$


       2) Montrer que ce reste vaut 0.




Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Division euclidienne et disjonction de cas - Arithmétique - Spé Maths


1) Montrer que tout entier $n$ s'écrit sous l'une des trois formes $3$, $3k+1$, $3k+2$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
2) En déduire que pour tout entier $n$, $n(2n^2 + 1)$ est divisible par $3$.
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Déterminer un reste - Division euclidienne - Arithmétique - Spé Maths


1)Sachant que le reste de la division euclidienne de l'entier naturel $a$ par $12$ est $7$, déterminer
le reste de la division euclidienne de $a$ par $3$.
2)Sachant que le reste de la division euclidienne de l'entier naturel $b$ par $3$ est $2$, déterminer
les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $b$ par $12$.
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Division euclidienne pour montrer que A divise B - Arithmétique - Spé Maths


1) Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $n^2+2$ par $n+1$.
2) En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles $n+1$ divise $n^2+2$.

division euclidienne Spé Maths : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
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