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Terminale S

Division euclidienne - Spé Maths


Division euclidienne dans \[\mathbb{N}\] et \[\mathbb{Z}\]

Cours en vidéo: comprendre la notion de division euclidienne Cours de math en vidéo
  • Effectuer la division euclidenne de 23 par 5 
    C'est chercher:
    Combien de fois, on peut mettre au maximum de 5 dans 23
    • Et combien il reste.
    On peut poser la division comme à l'école


    On peut donc écrire que $23=5\times 4+3$
    4 est le quotient et 3 est le reste
  • Division euclidienne de $a$ par $b$ dans $\mathbb{N}$
    Quels que soient $a$ et $b$ entiers naturels
    $b$ est non nul

    il existe $q$ et $r$ entiers naturels uniques
    tels que $a=bq+r$ avec
    $0\le r\lt b$
    Cette condition est fondamentale!
    Si elle n'est pas remplie,
    on n'a pas écrit la division euclidienne de $a$ par $b$ !
    Le reste est donc
    un entier positif ou nul
    strictement inférieur à $b$.
  • $a=bq+r$
    Si on réussit à écrire:
    $a=bq+r$ avec $0\le r\lt b$
    alors $q$ est le quotient et $r$ le reste
    Et il n'y a pas d'autres façons d'écrire
    $a$ sous la forme $a=bq+r$ qui respecte la condition $0\le r\lt b$
  • $19=3\times 4+7$
    L'égalité est vraie
    Mais on n'a pas écrit la division euclidienne de $19$ par $4$
    car le reste 7 est plus grand que $b$ qui vaut 4.
    On n'a pas non plus écrit la division euclidienne de $19$ par $3$
    car le reste 7 est plus grand que $b$ qui vaut 3.
  • $19=3\times 6+1$
    On a bien écrit la division euclidienne de $19$ par 6
    Car le reste 1 est positif et plus petit que 6



    On a aussi écrit la division euclidienne de $19$ par 3
    Car le reste 1 est positif et plus petit que 3

  • Conseil
    Penser à poser la division
    ça permet de retrouver les formules en exercice
    résoudre une inéquation en factorisant avec le facteur commun
    $\boldsymbol{a=bq+r}$ et surtout penser à vérifier que $\boldsymbol{0\le r\lt b}$

    Et ne pas oublier:
    $\boldsymbol{bq\le a}$
    $\boldsymbol{b(q+1)\gt a}$
    Car $q$ est le nombre de fois au maximum qu'on peut mettre $b$ dans $a$.
    Donc avec une fois de plus $b$, on dépasse $a$.


  • Division euclidienne de $a$ par $b$ dans $\mathbb{Z}$
    Quels que soient $a$ et $b$ entiers relatifs
    $b$ non nul

    il existe $q$ et $r$ entiers relatifs uniques
    tels que $a=bq+r$ avec
    $0\le r\lt |b|$
    Cette condition est fondamentale!
    Si elle n'est pas remplie,
    on n'a pas écrit la division euclidienne de $a$ par $b$ !
    Le reste est donc
    un entier positif ou nul
    strictement inférieur à $|b|$.
  • $-14=-3\times 4-2$
    L'égalité est vraie
    Mais on n'a pas écrit la division euclidienne de $-14$ par $-3$
    car le reste est négatif.
    On n'a pas non plus écrit la division euclidienne de $-14$ par $4$
    car le reste est négatif.
  • $-14=-3\times 5+1$
    On a bien écrit la division euclidienne de $-14$ par -3
    Car le reste 1 est positif et plus petit que $|-3|$



    On a aussi écrit la division euclidienne de $-14$ par 5
    Car le reste 1 est positif et plus petit que 5

  • Disjonction de cas
    Faire une disjonction de cas, c'est lister tous les cas possibles. Puis les étudier séparement.

    La division euclidienne permet de faire des disjonctions de cas sur les restes possibles.

    Exemple: Soit $n$ un entier naturel quelconque. En faisant par exemple la division de $n$ par 3,
    comme le reste est positif et plus petit que 3, le reste vaut donc 0, 1 ou 2,
    et donc on peut écrire que:
    $n=3k+0$ ou $n=3k+1$ ou $n=3k+2$
    On a donc listé tous les restes possibles.
    On est bien en train de faire une disjonction de cas!


    Puis en fonction de l'exercice,
    on remplace $n$ par $3k$ et on regarde ce qu'on obtient.
    Puis on recommence avec $3k+1$, puis avec $3k+2$.
  • Déterminer un reste
    Méthode
    Pour déterminer le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$,
    on essaye d'écrire $a$ sous la forme $a=b\times c+ d$
    En respectant la condition fondamentale $0\le d\lt |b|$
    Si cette condition est remplie alors $d$ est le reste et $c$ le quotient.



    Exemple 1: Déterminer le reste dans la division euclidienne de $a$ par 9
    sachant que lorsqu'on divise $a$ par 18, le reste est 13.
    1) On écrit l'information de l'énoncé: $a=18q+13$ avec $q$ entier.
    2) On veut le reste dans la division de $a$ par 9.
        On essaye d'écrire $a=9q+?$
    avec $0\le ?\lt 9$


        On part de $a=18q+13=9\times 2q+9+4=9(2q+1)+4$
    On a bien réussi à écrire:
    $a=9q'+4$ avec $q'=2q+1$, $q'$ entier et $0\le 4\lt 9$
    4 est bien le reste dans la division euclidienne de $a$ par 9.



    Exemple 2: Déterminer le reste dans la division euclidienne de $n^2+2$ par $n+1$
    $n$ est un entier naturel.


    On essaye d'écrire $n^2+2=\bullet \times (n+1)+\bullet\bullet$
    avec $\bullet$ entier
    et $0\le \bullet\bullet\lt n+1$


    Correction en vidéo:
  • Le reste vaut 0
    Dire que le reste vaut 0
    dans la division euclidienne de $a$ par $b$


    $\Updownarrow$
    $b$ divise $a$.
    Pour démonter que $b$ divise $a$:
       1) Penser à chercher le reste
    dans la division euclidienne de $a$ par $b$


       2) Montrer que ce reste vaut 0.




Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Division euclidienne et disjonction de cas - Arithmétique - Spé Maths


1) Montrer que tout entier $n$ s'écrit sous l'une des trois formes $3k$, $3k+1$, $3k+2$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
2) En déduire que pour tout entier $n$, $n(2n^2 + 1)$ est divisible par $3$.
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$ - Arithmétique - Spé Maths


Dans chaque cas, déterminer le reste et le quotient dans la division euclidienne de:
65 par -7 -65 par -7 -65 par 7
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Déterminer un reste dans une division euclidienne - Arithmétique - Spécialité Maths


$n$ et $p$ sont deux entiers naturels. On sait que le reste de la division euclidienne de $n$ par 11 vaut 8
et que le reste de la division euclidienne de $p$ par 11 vaut 7.
Quel est le reste de la division euclidienne de $n+p$ par 11 ?
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Déterminer un reste dans une division euclidienne - Arithmétique - Spécialité Maths


Un entier naturel $n$ est tel que si on le divise par 5 le reste vaut 3 et si on le divise par 6 le reste
augmente de 1 et le quotient diminue de 1. Déterminer $n$.
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Déterminer les restes possibles dans une division euclidienne - Arithmétique - Spécialité Maths


Dans la division euclidienne de 1620 par un entier $b$ non nul, le quotient est 23 et le reste $r$.
Déterminer les valeurs possibles pour $b$ et $r$.
Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Déterminer un reste - Division euclidienne - Arithmétique - Spé Maths


1)Sachant que le reste de la division euclidienne de l'entier naturel $a$ par $12$ est $7$, déterminer
le reste de la division euclidienne de $a$ par $3$.
2)Sachant que le reste de la division euclidienne de l'entier naturel $b$ par $3$ est $2$, déterminer
les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $b$ par $12$.
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Division euclidienne pour montrer que A divise B - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ un entier naturel:
Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $n^2+5n+7$ par $n+3$.

Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Division euclidienne pour déterminer un reste - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ un entier naturel:
Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $7n+6$ par $3n+1$.

Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Division euclidienne pour déterminer un reste - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ un entier naturel:
Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $4n-3$ par $n+3$.

Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Division euclidienne - déterminer un reste - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ un entier naturel:
1) Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $n^2+2$ par $n+1$.
2) En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles $n+1$ divise $n^2+2$.
Corrigé en vidéo
Exercices 11:

Division euclidienne - Arithmétique - Spé Maths


La somme de deux entiers naturels $a$ et $b$ est égale à 1400.
Le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est 16.
1) Traduire l'énoncé. Quelle condition a-t-on sur $b$ ?
2) Montrer que $b$ est un diviseur de 1384.
3) En utilisant le fait que 173 est premier, déterminer les valeurs possibles pour $a$ et $b$.
Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Division euclidienne - Arithmétique - Spé Maths


$n$ est un entier relatif. Le reste de la division euclidienne de $n$ par 13 est 7.
1) Quel est le reste dans la division euclidienne de $n^2$ par $13$.
2) Quel est le reste dans la division euclidienne de $1-3n$ par $13$.
Corrigé en vidéo
Exercices 13:

Division Euclidenne - Algorithmique


Écrire un algorithme qui affiche le quotient et le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$ dans le cas
où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels. Les seules opérations autorisées sont l'addition et la soustraction.
Exercices 14:

Division Euclidenne


Sachant que $23 \times 51 + 35 = 1208$, répondre rapidement aux questions suivantes :
1) Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de ${1208}$ par $51$ ?
2) Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de ${1208}$ par $23$ ?
Exercices 15:

Division Euclidenne


"Je suis un entier naturel. Quand on me divise par $4$, le reste est $3$, mais quand on me divise par $5$, le reste est 1 et le quotient inchangé. Qui suis-je ?"
Exercices 16:

Division Euclidenne


Soit $a$ un entier qui a pour reste $4$ dans la division euclidienne par $6$ et $b$ un entier qui a pour reste $3$ dans la division euclidienne par $6$.
Montrer que le produit de $a$ par $b$ est divisible par $6$.
Exercices 17:

Division Euclidenne


Trouver tous les entiers naturels qui ont un reste égal au cube de leur quotient dans la division euclidienne par $64$.

Exercices 18:

Division Euclidenne


Soit $n$ un entier naturel non nul, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $2n^2 + n$ par $n + 1$.

Exercices 19:

Division Euclidenne


Dans cette question, $n$ est un entier naturel non divisible par $3$ et on pose : $N = n^2 +12n - 4$.
1) Démontrer que le reste de la division euclidienne de $n^2$ par $3$ est $1$.
2) En déduire que l'entier $N$ est divisible par $3$.
Exercices 20:

Division Euclidenne


Montrer que si $n$ n'est pas divisible par $4$ alors l'entier $(n^2 -1)(3n - 2)$ est divisible par $4$.

Exercices 21:

Division Euclidenne


Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $5$, montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $p = 6k \pm 1$.

Exercices 22:

Division Euclidenne


Soit $n$ un entier naturel non nul, montrer que parmi $n+1$ entiers donnés, il en existe toujours au moins deux tels que leur différence soit divisible par $n$.

Exercices 23:

Division Euclidenne


Montrer que la somme de $k$ entiers naturels consécutifs est divisible par $k$ si et seulement si $k$ est impair.
Rappel : Pour tout $n$ entier non nul, $ 1+2+3 \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$
Exercices 24:

Division Euclidenne


Montrer que pour tous entiers $a$ et $b$, $ab(a^2-b^2)$ est divisible par 3.

Corrigé en vidéo
Exercices 25:

Nombres de Fermat - Algorithmique - Bac


Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\rm F}_n=2^{2^n}+1$.
Le mathématicien Pierre de Fermat pensait que ces nombres ${\rm F}_n$ étaient tous premiers.
Écrire puis programmer un algorithme pour savoir si $\rm F_5$ est premier. Que peut-on conclure?

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 22 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 13 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie