limite de suite - limite de suite géométrique - définition

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Limite d'une suite: regarde le cours en vidéo

Conseils pour ce chapitre:

Il faut absolument comprendre la notion de limite graphiquement
Avoir à l'esprit qu'il y a 3 cas possibles pour la limite d'une suite
Savoir retrouver les limites des suites usuelles à l'aide d'un graphique
Savoir lire la limite d'une suite sur un graphique
Savoir utiliser sa calculatrice pour conjecturer la limite d'une suite

Comment travailler efficacement
Conseils pour le jour du bac

Résumé de la vidéo

Il y a 3 cas possibles

On n'étudie la limite d'une suite qu'en $+\infty$

• La suite admet une limite finie

On dit qu'une suite (u_n) tend vers un nombre ℓ quand n tend vers +∞
si tout intervalle ouvert contenant ℓ, contient tous les u_n à partir d'un certain rang.

Dans ce cas, on dit que:

(u_n) tend vers ℓ
$\Updownarrow$
(u_n) converge vers ℓ
$\Updownarrow$

lim n → +∞
u_n = ℓ
$\Updownarrow$
(u_n) admet une limite finie ℓ

Si suite admet une limite, cette limite est unique.

• La suite admet une limite infinie:

On dit qu'une suite (u_n) tend vers +∞ quand n tend vers +∞
si tout intervalle de la forme ]A;+∞[, contient tous les u_n à partir d'un certain rang.

Dans ce cas, on dit que:

(u_n) tend vers +∞
$\Updownarrow$
(u_n) diverge vers +∞
$\Updownarrow$

lim n → +∞
u_n = +∞

• La suite n'admet pas de limite:

Une suite peut n'avoir ni limite finie, ni infinie.
on dit qu'elle n'admet pas de limite ou qu'elle diverge

Par exemple, la suite u_n=(-1)ⁿ n'a ni limite finie, ni infinie

Limite des suites usuelles

♦ \[\lim_{n \to +\infty}n\] =

\[\lim_{n \to +\infty}n=+\infty\]

\[\lim_{n \to +\infty}\sqrt n\] =

\[\lim_{n \to +\infty}\sqrt n=+\infty\]

\[\lim_{n \to +\infty}\frac 1n\] =

\[\lim_{n \to +\infty}\frac 1n=0\]

Traceurs de suite pour trouver la limite graphiquement

*u_n=f(n)*	*u_n+1=f(u_n)*

Savoir utiliser sa calculatrice pour conjecturer la limite d'une suite

♦ Calculer avec une calculatrice CASIO graph 35+ les premiers termes d'une suite pour conjecturer la limite

♦ Calculer avec une calculatrice TI-82 ou TI-83, les premiers termes d'une suite pour conjecturer la limite

Corrigé en vidéo! Exercices 1: Conjecturer la limite d'une suite du type u(n)=f(n) et du type u(n+1)=f(u(n))

On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction $f$:

On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=f(n)$.
a) Déterminer graphiquement $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_{11}$.
b) Que peut-on conjecturer concernant $(u_n)$?
On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_0=-1$ et $v_{n+1}=f(v_n)$.
a) Déterminer graphiquement $v_1$, $v_2$, $v_3$.
b) Que peut-on conjecturer concernant $(v_n)$?
On considère la suite $w$ définie pour tout entier naturel $n$, par $w_0=16$ et $w_{n+1}=f(w_n)$.
a) Déterminer graphiquement $w_1$, $w_2$, $w_3$.
b) Que peut-on conjecturer concernant $(w_n)$?

Exercices 2: Conjecturer limite - Rang à partir duquel ...

On considère la suite définie pour tout entier $n\ge 1$ par $u_n=\frac 1n$. 1) Conjecturer la limite de $(u_n)$. 2) A partir de quel rang $N$ a-t-on $|u_n|<0.01$?

Corrigé en vidéo! Exercices 3: Conjecturer limite - A partir de quel rang a-t-on ...

On considère la suite définie pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=\frac {3}{n+1}$. 1) Conjecturer la limite de $(u_n)$. 2) A partir de quel rang $N$ a-t-on $|u_n|<0.01$?

Corrigé en vidéo! Exercices 4: Conjecturer la limite d'une suite graphiquement - Suite convergente - divergente

Pour chacune des suites suivantes définies pour tout entier naturel $n$ par:
$u_n=1-\frac1n$ $v_n=0.9^n$ $w_n=1.1^n$ $t_n=\frac{1,1^n}{n^2}$ $z_n=\frac{3n^2+n}{2n^2+10}$
1) Représenter chaque suite à l'aide de la calculatrice ou des traceurs ci-dessus. 2) Conjecturer la limite éventuelle de chaque suite. 3) Indiquer les suites qui semblent converger et celles qui semblent diverger.

Corrigé en vidéo! Exercices 5: Déterminer la limite d'une suite graphiquement

Pour chacune des suites suivantes définies pour tout entier naturel $n$ par:
\[\left\{ \begin{array}{l} u_0 = -1 \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+2} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l} v_0 =4 \\ v_{n+1}=\cos{v_n} \end{array} \right.\] \[w_n=\cos n\]
1) Représenter chaque suite à l'aide de la calculatrice ou des traceurs ci-dessus. 2) Conjecturer la limite éventuelle de chaque suite. 3) Indiquer les suites qui semblent converger et celles qui semblent diverger.

Exercices 6: Influence de u₀ sur la limite d'une suite récurrente

On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 0,8 \\ u_{n+1}={u_n}^2 \end{array} \right.$
1) Représenter la suite à l'aide de la calculatrice ou des traceurs ci-dessus.
2) Conjecturer la limite éventuelle.
3) Refaire les questions précédentes lorsque $u_0=1.1$

Exercices 7: Méthode de Héron - Convergence vers √...

On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1}=\frac12(u_n+\frac{2}{u_n}) \end{array} \right.$

Représenter la suite à l'aide de la calculatrice ou des traceurs ci-dessus.
Conjecturer la limite éventuelle.
Cette limite est la racine carrée d'un nombre. Lequel?
Refaire les questions précédentes lorsque $\left\{\begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1}=\frac12(u_n+\frac{3}{u_n}) \end{array} \right.$
Que doit-on changer dans la définition de $u_n$ pour qu'elle tende vers $\sqrt{7}$?