Fonction logarithme népérien cours en vidéo: limite, dérivation

fonction logarithme népérien - Limite - Dérivation

Conseils pour ce chapitre:

Commencer par regarder pour avoir une vision d'ensemble
Faire les exercices sur : simplifier, (in)équation, limite, dérivation
Regarder pour avoir une approche rigoureurse
Démontrer les propriétés du logarithme
Faire les exercices type Bac

Comment travailler efficacement
Conseils pour le jour du bac

♦ Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices et comment le retenir

Limites
\[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\ln x= \]

\[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\ln x=+\infty \]

\[\lim_{\substack{x \to 0}}\ln x= \]

\[\lim_{\substack{x \to 0}}\ln x=-\infty \]

\[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\ln x}{x}= \]

\[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\ln x}{x}=0 \]
On retient que $x$ l'emporte sur $\ln x$

\[\lim_{\substack{x \to 0}}x\ln x= \]

\[\lim_{\substack{x \to 0}}x\ln x=0 \]
On retient que $x$ l'emporte sur $\ln x$

\[\lim_{\substack{x \to 0}}\frac{\ln (x+1)}{x}= \]

\[\lim_{\substack{x \to 0}}\frac{\ln (x+1)}{x}=1 \]

Dérivation

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors

{

ln u est dérivable sur I
(ln u)^' =
u' / u

En particulier, si f(x)=ln x alors

Si f(x)=ln x alors f ^'(x)=
1 / x

u et ln u ont

u et ln u ont les mêmes variations

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Exercices 1:

Dériver et variations d'une fonction avec des logarithmes

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln (1+x^2)$.

Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ puis déterminer pour tout réel $x$, $f'(x)$.
Déterminer le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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Exercices 2:

Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes

On considère la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac x{\ln x}$.

Justifier que $f$ est définie sur $]1;+\infty[$.
Justifier que $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ puis déterminer pour tout réel $x\in ]1;+\infty[$, $f'(x)$.
Déterminer le tableau de variations de $f$ sur $]1;+\infty[$.

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Exercices 3:

Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=(\ln x)^2-\ln x$.

Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ puis déterminer pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $f'(x)$.
Déterminer le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.

Exercices 4:

Dans chaque cas:
1) Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle I indiqué.
2) Déterminer la dérivée de $f$ et le tableau de variations de $f$ sur I.
\[a)~f(x)=\ln(1-e^x)\] et I=$]-\infty;0[$ \[b)~f(x)=\ln \frac 2x\] et I=$]0;+\infty[$ \[c)~f(x)=\ln(1+e^x)\] et I=$\mathbb{R}$

Exercices 5:

Dans chaque cas, déterminer la dérivée de $f$ et le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I indiqué:
\[a)~f(x)=\frac 1x+\ln x\] et I=$]0;+\infty[$ \[b)~f(x)=x\ln x\] et I=$]0;+\infty[$
\[c)~f(x)=\ln(x^2-6x+10)\] et I=$\mathbb{R}$ \[d)~f(x)=x^2+5x-3\ln x\] et I=$]0;+\infty[$

Exercices 6:

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-3x+1$.
Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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Exercices 7:

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\ln(x^2-6x+10)\].
1) Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2) Étudier les variations de $f$.

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Exercices 8:

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\frac{e^x}{e^{3x}+4}\].
1) Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2) Étudier les variations de $f$.

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Exercices 9: f(x)=ln(sin x) -

logarithme, sinus : dérivation

, tableau de variations

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Exercices 10:

Limite d'une fonction avec des logarithmes

Déterminer les limites suivantes et interpréter en terme d'asymptote horizontale ou verticale:
     a) $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln x-x^2+1$
     b) $\lim\limits_{x \to 0} x\ln x-x^2+1$
     c) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x\ln x}{x^2+1}$

Exercices 11:

Limite d'une fonction avec des logarithmes

Déterminer les limites suivantes et interpréter en terme d'asymptote horizontale ou verticale:
a) $\lim\limits_{x \to 0} 1-\ln x$ b) $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(\frac 2x \right)$ c) $\lim\limits_{x \to -\infty} 1+e^{-x}$ d) $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+e^{-x}$ e) $\lim\limits_{x \to 0} \frac 1{\ln x}$
f) $\lim\limits_{x \to -\frac 12} \ln(1+2x)$

Exercices 12: Limite d'une fonction avec des logarithmes

Fonction logarithme népérien - Limite - Dérivation

Dériver et variations d'une fonction avec des logarithmes

Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes

Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes

logarithme, sinus : dérivation

Limite d'une fonction avec des logarithmes

Limite d'une fonction avec des logarithmes