Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, on considère l'intégrale $I_n$ définie par $ I_n = \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^n}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\, \mathrm{d}x $.
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Calculer $I_2$.
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Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, $I_{n+1} = \mathrm{e} - \dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2^{n-1}} + (1-n)I_n$
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En déduire $I_3$.
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Établir que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1~;~2]$, on a : $0 \leqslant \dfrac{1}{x^n}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{x^n}$.
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En déduire un encadrement de $I_n$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $(I_n)$.