Intégration par parties

Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1} xe^x \, \mathrm{d}x$

On pose $\displaystyle{\rm I}=\int_{0}^{1} xe^x \, \mathrm{d}x$ et $\displaystyle{\rm J}=\int_{0}^{1} x^2e^x \, \mathrm{d}x$
1) A l'aide d'une première intégration par parties, établir que ${\rm J}=e-2{\rm I}$.
2) Calculer $\rm I$ à l'aide d'une deuxième intégration par parties.
3) En déduire la valeur de l'intégrale $\rm J$.

Calculer à l'aide de deux intégrations par parties l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1} x^2e^{-x} \, \mathrm{d}x$

Calculer à l'aide de deux intégrations par parties l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}2} e^{x} \sin x \, \mathrm{d}x$

On considère la fonction $\rm G$ définie sur $]0;+\infty[$ par ${\rm G}(x)=\displaystyle \int_{e}^{x} \ln t \, \mathrm{d}t$.
1) Que représente $\rm G$ pour la fonction logarithme népérien?
2) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty[$: $\displaystyle \int_{e}^{x} \ln t \, \mathrm{d}t=x\ln x-x$.

Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, on considère l'intégrale $I_n$ définie par $ I_n = \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^n}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\, \mathrm{d}x $.

1. Calculer $I_2$.
2. 1. Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, $I_{n+1} = \mathrm{e} - \dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2^{n-1}} + (1-n)I_n$
   2. En déduire $I_3$.
3. 1. Établir que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1~;~2]$, on a : $0 \leqslant \dfrac{1}{x^n}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{x^n}$.
   2. En déduire un encadrement de $I_n$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $(I_n)$.

Soit $({\rm I}_n)$ la suite définie par ${\rm I}_0=\displaystyle \int_{1}^{e} x \, \mathrm{d}x$ et pour tout entier $n\geqslant 1$ par ${\rm I}_n=\displaystyle \int_{1}^{e} x(\ln x)^n \, \mathrm{d}x$.
1. Calculer $\rm I_0$.
2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier $n\geqslant 1$: $2I_n+n I_{n-1}=e^2$.
3. En déduire $\rm I_1$.
4. Démontrer que la suite $(\rm I_n)$ est décroissante.
5. Déduire des questions 2. et 4. que pour tout entier $n\geqslant 1$, $\frac{e^2}{n+3}\leqslant I_n\leqslant \frac{e^2}{n+2}$.
6. En déduire $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} {\rm I}_n$.