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Dérivation - démonstration & Exercices théoriques
Formules de dérivation
Conseils pour ce chapitre:
Regarder le cours précédent sur la définition de la dérivée
Comment travailler efficacement
Conseils pour le jour du bac
Dérivée sur un intervalle
Dire qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I
signifie que cette fonction est dérivable pour tout $x$ de I
Autrement dit que
$f'(x)$ existe pour tout $x$ de I
Les théorèmes ci-dessous, permettent de justifier
qu'une fonction est dérivable sur un intervalle et donnent la
dérivée.
♦
Dérivée
de fonction du type $\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{x^2}$, $\boldsymbol{x^n}$:
cours en vidéo
Dérivée d'une constante
Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=k}$
$k$ est une constante réelle
alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel,
$\boldsymbol{f'(x)=0}$
Exemple:
Si $f(x)=3$ alors $f'(x)=0$
Dérivée de $\boldsymbol{x}$
Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x}$
alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel,
$\boldsymbol{f'(x)=1}$
Dérivée de $\boldsymbol{x^2}$
Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x^2}$
alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel,
$\boldsymbol{f'(x)=2x}$
Dérivée de $\boldsymbol{x^n}$
Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x^n}$
$\boldsymbol{n}$ est un entier supérieur ou égal à 2!
alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel,
$\boldsymbol{f'(x)=nx^{n-1}}$
Exemple:
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^5\]
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
car elle est de la forme $x^n$
avec $n$ entier strictement positif
Et pour tout $x$ réel, $f(x)=5x^4$
On applique la formule avec $n=5$.
♦
Dérivée
de fonction du type $\displaystyle \boldsymbol{\frac 1x}$, $\displaystyle\boldsymbol{\frac 1{x^n}}$:
cours en vidéo
Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1x}\]
Si $f$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par \[
\boldsymbol{f(x)=\frac 1x}\]
alors $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ et pour tout $x$ non nul,
\[ \boldsymbol{f'(x)=-\frac 1{x^2}}\]
Dérivée de \[\boldsymbol{\frac1{x^n}}\]
Si $f$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par \[\boldsymbol{f(x)=\frac 1{x^n}} \]
$n$ est un entier strictement positif
alors $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$
et pour dériver, on écrit \[\frac 1{x^n}=x^{-n} \]
Puis on applique la formule $f(x)=x^n$ alors $f'(x)=nx^{n-1}$
formule encore valable
avec $n$ entier strictement négatif.
Exemple:
Pour calculer la dérivée de \[ f(x)=\frac 1{x^3}\], on
écrit:
Pour tout $x$ non nul:
1) \[f(x)=\frac 1{x^3}=x^{-3} \]
On utilise \[ \frac 1{x^n}=x^{-n}\]
2) $f'(x)=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}$
Attention,
on voit souvent l'erreur
$f'(x)=-3x^{-2}$
L'erreur c'est d'avoir
rajouter 1 au lieu d'enlever 1.
3) \[ f'(x)=-\frac 3{x^4}\]
On se débarrasse des puissances négatives
On utilise \[ x^{-n}=\frac 1{x^n}\]
♦
Dérivée
de la fonction racine carrée: cours en vidéo
Dérivée de $\boldsymbol{\sqrt{x}}$
La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$
mais n'est dérivable que sur $]0;+\infty[$
Autrement dit,
la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0!!!!
Si $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
alors pour tout $\boldsymbol{x>0}$, $\displaystyle f'(x)=\frac 1{2\sqrt{x}}$
On peut retrouver cette formule
en utilisant la dérivée de $\boldsymbol{x^n}$ avec $n=\frac 12$
La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$
$\displaystyle f(x)=\sqrt x=x^{\frac 12}$
Donc en appliquant la formule de dérivation de $x^n$ à $\displaystyle{x^{\frac 12}}$, on
obtient
$\displaystyle f'(x)=\frac 12 x^{\frac 12 -1}=\frac 12 x^{-\frac 12}=\frac 12 \frac 1{x^{\frac
12}}=\frac 1{2\sqrt{x}}$
♦
Dérivée
d'une somme
: cours en vidéoUn peu de patience, la vidéo est bientôt prête
Dérivée de $\boldsymbol{u+v}$
Dérivée d'une somme
Pour la dérivée d'une soustraction
c'est la même méthode,
le + est transformé en -
Si $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont deux fonctions dérivables sur un même
intervalle I,
alors $\boldsymbol{u+v}$ est aussi dérivable sur I
et on a $\boldsymbol{(u+v)'=u'+v'}$
Autrement dit:
Quand on veut dériver une somme de fonctions
on les dérive séparement et puis on additionne les
dérivées.
Exemple:
Pour dériver $f(x)=x+x^2$
On écrit:
$f$ est la somme de 2 fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
Et pour tout $x$ réel, $f'(x)=1+2x$
♦
Dérivée
d'un produit
: cours en vidéo
Dérivée de $\boldsymbol{kv}$
Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle
I
alors $\boldsymbol{ku}$ est aussi dérivable sur I
$k$ est une constante réelle
et on a $\boldsymbol{(ku)'=k\times u'}$
Attention
on ne dérive pas le $k$!
Pour dériver $f(x)=3x^2$
$f'(x)=3\times 2x$
Dérivée de $\boldsymbol{u\times v}$
Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un
même intervalle I
alors $\boldsymbol{uv}$ est aussi dérivable sur I
et on a
$\boldsymbol{(u \times v)'=u'v+uv'}$
Exemple:
$f(x)=x\sqrt{x}$
on écrit $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ aussi.
et on a $u'(x)=1$ et \[v'(x)=\frac 1{2\sqrt x} \]
Donc \[f'(x)=1\times \sqrt{x}+x\times \frac 1{2\sqrt x} \].
Ne pas confondre $k+u$ et $k\times u$
$(k+u)'=0+u'=u'$
où $k$ est une constante
$(ku)'=k\times u'$
Quand la constante $k$ est dans une multiplication,
on ne dérive pas le $\boldsymbol k$!
Exemple:
Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4+x^2$ et $g(x)=4x^2$
$f'(x)=0+2x=2x$
$g'(x)=4\times 2x=8x$
Surtout ne pas écrire:
$g'(x)=0\times 2x$
mais
$g'(x)=4\times 2x$
♦
Dérivée
d'un quotient
: cours en vidéo
Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1u}\]
Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
qui ne s'annule pas sur cet intervalle
alors \[\boldsymbol{\frac 1u}\] est aussi dérivable
sur I
et on a \[\boldsymbol{\left(\frac 1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}}\]
Exemple: \[f(x)=\frac1{x^2+1} \]
On écrit $u(x)=x^2+1$
$u$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ et $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc \[\frac 1u \], c'est à dire $f$ est dérivable sur
$\mathbb{R}$
On a $u'(x)=2x$ donc \[ f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\]
Dérivée de \[\boldsymbol{\frac uv}\]
Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un
même intervalle I
et si $\boldsymbol{v}$ ne s'annule pas sur cet intervalle
alors \[\boldsymbol{\frac uv}\] est aussi dérivable
sur I
et on a \[\boldsymbol{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}}\]
Exemple: \[ f(x)=\frac{x^2}{x-1}\] sur $]1;+\infty[$
On écrit $u(x)=x^2$ et $v(x)=x-1$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur $]1;+\infty[$
$v$ ne s'annule pas sur $]1;+\infty[$
donc \[ \frac uv\], c'est à dire $f$ est dérivable sur
$]1;+\infty[$
Pour tout $x\in ]1;+\infty[$, on a $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$
donc \[ f'(x)=\frac{2x\times (x-1)-x^2\times 1}{(x-1)^2}\]
Puis on arrange et on obtient: \[ f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\]
Surtout ne pas développer le dénominateur,
car on voit que c'est un carré donc positif.
Et c'est très pratique de connaitre le signe
quand on a dérivé!
Constante au numérateur
Quand on a \[ \frac ku\]
où $k$ est une constante
on l'écrit: \[\boldsymbol{ \frac ku=k\times \frac 1u}\]
c'est plus pratique pour dériver
ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$
Exemple:
Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[ f(x)=\frac 3x\]
on écrit \[ f(x)=3\times \frac 1x\]
donc \[ f'(x)=3\times \frac{-1}{x^2}\]
Constante au dénominateur
Quand on a \[ \frac uk\]
où $k$ est une constante
On l'écrit: \[\boldsymbol{\frac uk=\frac 1k\times u}\]
C'est plus pratique pour dériver
ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$
Exemple:
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=\frac
{x^2}4\]
on écrit \[f(x)=\frac 14\times x^2 \]
donc \[ f'(x)=\frac 14 \times 2x\]
Comment faire en exercice
1) Décomposer la fonction
On décompose la fonction de façon à faire apparaitre: \[ x^n\], \[\frac 1{x^n} \], \[u+v \], \[ku \], \[ uv\], \[ \frac 1u\], \[\frac uv \]
2) Justifier la dérivabilité
On justifie que la fonction est dérivable sur l'intervalle
indiqué
à l'aide des théorèmes ci-dessus.
3) On calcule la dérivée
Exemple:
Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x)=3x^2+\frac 5x
\]
1) \[ f(x)=3\times x^2+5\times \frac 1x\]
$f(x)$ est de la forme:
$f=k_1 \times u + k_2\times v$
où $u(x)=x^2$ et \[ v(x)=\frac 1x\]
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$
$v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
2) $f$ est la somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est
dérivable sur $]0;+\infty[$
3) $f=k_1 \times u + k_2\times v$
où $u(x)=x^2$ et \[v(x)=\frac 1x \]
Donc $f'=k_1\times u'+k_2\times v'$
comme $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$
et \[ v(x)=\frac 1x\], \[
v'(x)=-\frac 1{x^2}\]
Donc \[f'(x)=3\times 2x+5\times (-\frac 1{x^2}) \]
Puis on arrange et on obtient: \[ f(x)=6x-\frac 5{x^2}\]
Une erreur classique
Erreur classique concernant $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac
uv}$
Les théorèmes qui permettent de conclure que $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et
$\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$ sont dérivables
reposent sur le fait que $u$ et $v$ sont toutes les 2 dérivables sur un intervalle
I. Mais si $\boldsymbol{u}$ ou $\boldsymbol{v}$ ou les deux ne sont pas
dérivables sur I, on ne peut rien conclure.
Surtout ne pas croire
par exemple
que si l'une est dérivable sur I et l'autre pas
alors $\boldsymbol{uv}$ n'est pas dérivable sur I!
Dès que l'une des deux n'est pas dérivable en $a$
pour savoir si $uv$ est dérivable ou pas en $a$
on utilise la définition
On cherche
la limite de \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\]
quand $h$ tend vers 0.
Si cette limite est finie, la fonction est dérivable
en $a$,
Si la limite n'existe pas ou est infinie, la fonction
n'est pas dérivable en $a$.
Corrigé en vidéo!
Exercices
1: Erreur classique à éviter de faire sur la dérivation
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=x^2\sqrt{x}$.
1) Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x\in ]0;+\infty[$, déterminer
$f'(x)$.
2) $f$ est-elle dérivable en 0?
3) Ce résultat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo!
Exercices
2: Démonstration de la dérivée de f(x)=k - Dérivée d'une constante
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=k$ où $k$ est une constante réelle.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=0$.
2) Ce résultat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo!
Exercices
3: Démonstration de la dérivée de f(x)=x
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x$.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=1$.
2) Ce résultat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo!
Exercices
4: Démonstration de la dérivée de x^2
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=2x$:
1) A l'aide du taux d'accroissement.
2) A l'aide de la formule de la dérivée d'un produit.
Corrigé en vidéo!
Exercices
5: Comprendre la formule de la dérivée de x^n
En utilisant la formule sur la dérivée d'un produit, compléter le tableau ci-dessous:
$f(x)$
$f'(x)$
$f$ dérivable sur
$x$
$1$
$\mathbb{R}$
$x^2$
$x^3$
$x^4$
Soit $n$ un entier naturel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$.
Conjecturer l'expression de $f'(x)$.
Corrigé en vidéo!
Exercices
6: Démonstration de la dérivée de 1/x
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $\displaystyle f(x)=\frac 1x$.
Démontrer à l'aide du taux d'accroissement que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ et que pour tout $x$ non
nul, $\displaystyle f'(x)=-\frac 1{x^2}$.
Corrigé en vidéo!
Exercices
7: Démonstration de la dérivée de racine de x
Soit $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que pour tout $x$ réel, $\displaystyle f'(x)=\frac
1{2\sqrt x}$.
2) Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0.
3) Ce dernier résultat était-il prévisible?
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Qui sommes-nous?
Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES, STI et STMG depuis 28 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et
Chifoumi
Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STMG depuis 19 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie