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Exercices 1:
Représentation paramétrique d'une droite
ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [BF].
On se place dans le repère (A\(;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)).
1) Préciser quel est l'ensemble des points M(\(x;y;z\)) tels que
\(\left\{
\begin{array}{l}
x=1-t \\
y=t\\
z=t\\
\end{array}
\right.\)
où \(t\in\mathbb{R}\).
Tracer cet ensemble sur la figure.
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DI).
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Exercices 2:
L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)). On considère les points A(1;-1;4) et B(-1;3;2).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
2) Le point C(5;8;9) appartient-il à la droite (AB)? Justifier.
3) La droite (AB) admet-elle pour représentation paramétrique \(\left\{
\begin{array}{l}
x=-3+4t\\
y=7-8t\\
z=4t\\
\end{array}
\right.\) où \(t\in\mathbb{R}\) ? Justifier.
4) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par C et parallèle à (AB).
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Exercices 3:
Position relative de deux droites de l'espace - Comment savoir si 2 droites sont parallèles, sécantes ou non coplanaires
L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)).
On considère les droites \(D_1\) et \(D_2\) de représentations paramétriques:
\(D_1\) : \[\left\{
\begin{array}{l}
x=3+t\\
y=-4-3t\\
z=-3-3t\\
\end{array}
\right.\] où \(t\in\mathbb{R}\) et \(D_2\) : \[\left\{
\begin{array}{l}
x=2s\\
y=-4+3s\\
z=-1+s\\
\end{array}
\right.\] où \(s\in\mathbb{R}\).
1) \(D_1\) et \(D_2\) sont-elles parallèles? Justifier.
2) \(D_1\) et \(D_2\) sont-elles sécantes? Justifier. Si oui, préciser les coordonnées du point d'intersection.
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Exercices 4: Position relative de deux droites de l'espace
L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)).
On considère les points A(0;-2;7), B(1;-3;10), C(1;3;2), D(-3;1;3).
Étudier la position relative des droites (AB) et (CD).
Exercices 5:
Droites coplanaires
ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu de [AB] et J celui de [EH].
les droites (IJ) et (BG) sont-elles coplanaires? Justifier.
Penser à introduire un repère
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Exercices 6: Représentation paramétrique d'un plan
L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)).
1) Justifier que les points A(1;2;-1), B(4;0;1), C(2;1;1) définissent un plan.
2) Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC).
3) Le point M(5;-4;2) appartient-il au plan (ABC)? Justifier.
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Exercice 7: Montrer qu'un point appartient à un plan de l'espace par 2 méthodes : décomposition - repère
ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [BC].
On considère le point M défini par \(\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}-2\overrightarrow{\mathrm{CD}}\).
1) Démontrer que le point M appartient au plan (ACD) sans utiliser de repère.
2) Refaire la question 1) en utilisant un repère bien choisi.
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Exercice 8:
Position relative d'une droite et d'un plan
ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BF].
1) Démontrer que la droite (GJ) est parallèle au plan (HIC)
à l'aide d'une décomposition.
2) Refaire la question 1) à l'aide d'un repère judicieusement choisi.
Exercice 9:
Droite incluse dans un plan
L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)).
On considère les points A(1;1;2), B(-1;2;1), C(0;1;1), D(1;2;3), E(2;0;2).
1) Justifier que les points C, D et E définissent un plan.
2) La droite (AB) est-elle incluse dans le plan (CDE)?
Exercice 10:
Intersection d'une droite et d'un plan
ABCDEFGH est un parallélépipède. I est le milieu de [CG].
1) Justifier que les points D, F et I définissent un plan.
2) Démontrer que la droite (BH) et le plan (DFI) sont sécants
en un point K dont on donnera les coordonnées.
Penser à introduire un repère
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Exercice 11:
distance d'un point à un plan et volume d'un tétraèdre
ABCDEFGH est parallélépipède rectangle tel que AB=2 et AD=AE=1.
1) Déterminer le volume V du tétraèdre EFGB.
2) Démontrer que le triangle EBG est isocèle.
3) En calculant d'une autre manière, le volume V,
en déduire la distance de F au plan EBG.
Exercice 12:
Déterminer un lieu de points
ABCDEFGH est un cube.
Pour tout \(t\in \mathbb{R}\), on définit les points M et N par:
\(\overrightarrow{\mathrm{HM}}=t~\overrightarrow{\mathrm{HA}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{DN}}=t~\overrightarrow{\mathrm{DB}}\).
1) Que décrivent les points M et N lorsque \(t\) décrit \(\mathbb{R}\)?
2) On appelle I le milieu de [MN].
Déterminer puis représenter sur la figure le lieu des points I lorsque \(t\) décrit \(\mathbb{R}\).
Exercice 13: Distance minimale
ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
Pour tout \(k\in [0;1]\), on définit les points M et N par:
\(\overrightarrow{\mathrm{HM}}=k~\overrightarrow{\mathrm{HB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{CN}}=k~\overrightarrow{\mathrm{CF}}\).
1) Que décrivent les points M et N lorsque \(k\) décrit l'intervalle [0;1]?
2) On se place dans le repère (A\(;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)).
Déterminer les coordonnées des points M et N en fonction de \(k\).
3) Pour quelle valeur de \(k\) la distance MN est-elle minimale? Justifier.
Exercice 14: Angle maximum
ABCDEFGH est un cube d'arête 1. I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [CD].
M est un point quelconque du segment [EC]. On se place dans le repère orthonormal (A\(;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)).
1) Déterminer les coordonnées des points I et J.
2) Justifier que les coordonnées de M peuvent s'écrire (\(1-t;1-t;t\)) où \(t\) appartient à l'intervalle [0;1].
3) Démontrer que le triangle IMJ est isocèle en M.
4) Exprimer \(\mathrm{IM}^2\) en fonction de \(t\).
5) On note \(\alpha\) la mesure en radian de l'angle \(\widehat{IMJ}\). On admet que \(\alpha\in [0;\pi]\).
Démontrer que \(\alpha\) est maximum lorsque \(\sin\frac {\alpha}2\) est maximal.
6) En déduire que \(\alpha\) est maximum lorsque la longueur \(\mathrm{IM}\) est minimale.
7) Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur [0;1] par \[f(t)=3t^2-t+\frac 14\].
8) En déduire qu'il existe un unique point \(M_0\) de [EC] tel que la mesure de l'angle \(\widehat{IMJ}\) soit maximale.
Exercice 15: Géométrie dans l'espace et Physique : vitesse et déplacement
On observe deux sous-marins se déplaçant chacun en ligne droite et à vitesse constante. On se place dans un repère orthonormé $({\rm O};\vec i;\vec j;\vec k)$ dont l'unité est le mètre. Le plan $({\rm O};\vec i;\vec j)$ représente la surface de la mer. La cote $z$ est nulle au niveau de la mer et négative sous l'eau. A chaque instant $t\geqslant 0$, exprimé en minute, le premier sous-marin est repéré par le point ${\rm S}_1(t)$ de coordonnées $\left\{
\begin{array}{rl}
x(t) &= 140-60t \\
y(t) &= 105-90t\\
z(t) &= -170-30t\\
\end{array}
\right.$.
-
Déterminer la vitesse du premier sous-marin.
-
On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
Déterminer l'angle $\alpha$ que forme la trajectoire de ce sous-marin avec le plan horizontal. On arrondira à 0,1 degré près.
-
A chaque instant $t\geqslant 0$, le second sous-marin est repéré par le point ${\rm S}_2(t)$.
On sait que ${\rm S}_2(0)$ et ${\rm S}_2(3)$ ont pour coordonnées respectives $(68;135;-68)$ et $(-202;-405;-248)$.
A quel instant $t$ exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur?
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