géométrie dans l'espace - repère - vecteur colinéaire vecteur coplanaire cours en vidéo

Vecteur de l'espace

♦ Utiliser les vecteurs pour démontrer un alignement, un parallèlisme: cours en vidéo

Un vecteur symbolise un déplacement. 2 vecteurs sont égaux s'ils correspondent au même déplacement.
Vecteurs égaux: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}\Leftrightarrow$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}\Leftrightarrow$ ABDC est un parallèlogramme.

Attention à l'ordre des lettres: ABDC est un parallèlogramme et pas ABCD !!!!
Pour additionner 2 vecteurs

Pour additionner 2 vecteurs, on les met "bout à bout".
Pour soustraire 2 vecteurs

Pour soustraire 2 vecteurs, on additionne le vecteur opposé.

2 vecteurs sont
colinéaires
$\Leftrightarrow$

2 vecteurs sont colinéaires
$\Updownarrow$
l'un peut s'exprimer en fonction de l'autre.
$\Updownarrow$
l'un est égal à k fois l'autre.

$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires car $\vec v=2 \vec u$.
$\vec u$ et $\vec w$ ne sont pas colinéaires.
$\vec u$ et $\vec k$ sont colinéaires car $\vec k=-3\vec u$.

Pour savoir si 2 vecteurs sont colinéaires:

Technique 1:	On essaye d'exprimer un vecteur en fonction de l'autre.
Technique 2:	On utilise un repère. On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à

Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur.
Car quel que soit un vecteur $\vec u$, on peut toujours écrire: $\vec 0=0 \cdot \vec u$.
3 points A, B, C sont alignés $\Leftrightarrow$

3 points A, B, C sont alignés $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires.
Dans la pratique, pour savoir si A, B, C sont alignés:
on regarde si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires, à l'aide de la méthode "vecteurs colinéaires".
Si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires, alors les points A, B, C sont alignés.
Sinon les points A, B, C ne sont pas alignés.
2 droites (AB) et (CD) sont parallèles $\Leftrightarrow$

2 droites (AB) et (CD) sont parallèles $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ sont colinéaires.
Dans la pratique, pour savoir si (AB) et (CD) sont parallèles,
on regarde si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ sont colinéaires, à l'aide de la méthode "vecteurs colinéaires".
Si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ sont colinéaires, alors les droites sont parallèles.
Sinon les droites ne sont pas parallèles.

♦

Vecteurs coplanaires

Points coplanaires

: cours en vidéo

Des points sont coplanaires $\Leftrightarrow$

Des points sont coplanaires lorsqu'il existe un plan contenant ces points.

Des points ne sont pas coplanaires lorsqu'il n'existe aucun plan qui contient ces points.
2 points sont

2 points sont toujours coplanaires.
il existe toujours un plan contenant 2 points.
3 points sont

3 points sont toujours coplanaires.
il existe toujours un plan contenant 3 points.

Il est important de comprendre l'analogie avec les chaises:
Une chaise à 3 pieds n'est jamais bancale!

Car les points qui touchent le sol sont toujours coplanaires.

Mais une chaise à 4 pieds peut être bancale.

Car 4 points ne sont pas toujours coplanaires!
4 points sont coplanaires $\Leftrightarrow$

4 points sont coplanaires $\Leftrightarrow$ il existe un plan contenant ces 4 points.

4 points ne sont pas coplanaires $\Leftrightarrow$ il n'existe aucun plan qui contient ces 4 points.
Des vecteurs sont coplanaires $\Leftrightarrow$

Des vecteurs sont coplanaires lorsqu'on peut les représenter dans un même plan.
2 vecteurs

2 vecteurs sont toujours coplanaires car on peut toujours les représenter dans un même plan.
3 vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires $\Leftrightarrow$

3 vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires
$\Updownarrow$
On peut représenter ces 3 vecteurs dans un même plan
$\Updownarrow$
Il existe 4 points A, B, C et D d'un même plan tels que $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
$\Updownarrow$
L'un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des 2 autres

Exemple
Pour savoir si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires:

Pour savoir si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires:
On cherche si deux vecteurs parmi les 3 sont colinéaires:
- Si c'est le cas, les 3 vecteurs sont toujours coplanaires.
- Dans le cas contraire: on essaye d'exprimer $\vec{w}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Pour celà, on cherche 2 nombres a et b tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$. Si on peut trouver a et b alors $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires. Sinon $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas coplanaires.
"A, B, C, D sont-ils coplanaires" c'est la même question que

Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires?
c'est la même question que:
Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ sont-ils coplanaires?

Concrètement, pour savoir si A, B, C et D sont coplanaires:
On cherche si deux vecteurs parmi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ sont colinéaires:
- Si c'est le cas, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ sont coplanaires
et donc les points A, B, C et D sont coplanaires.
- Dans le cas contraire: on essaye d'exprimer $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ en fonction de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.
Pour celà, on cherche 2 nombres a et b tels que $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$=a$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+b$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$. • Si on peut trouver a et b alors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ sont coplanaires
et donc les points A, B, C et D sont coplanaires. • Sinon $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ne sont pas coplanaires
et donc les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

Repère de l'espace

♦ Qu'est-ce qu'un repère, comment trouver les coordonnées d'un point: cours en vidéo

Un repère, c'est quoi

Un repère: c'est un point, appelé origine et 3 vecteurs non coplanaires, appelés la base du repère.
Exemples
Etant donné un repère ($O;\vec i;\vec j;\vec k$) de l'espace, pour tout point M

il existe $x, y, z$ uniques tels que $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=x\vec i+y \vec j+z\vec k$.
$x$, $y$, $z$ s'appellent les coordonnées de M dans ce repère.

Pour trouver les

coordonnées d'un point

Pour trouver les coordonnées d'un point M dans le repère ($O;\vec i;\vec j;\vec k$):

Technique 1:

On essaye d'exprimer le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ en fonction des vecteurs $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$.
Si on veut les coordonnées du point M dans le repère ($A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}})$:

On essaye d'exprimer $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ en fonction de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}$.
On a: $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}$
Donc M a pour coordonnées dans ce repère ($\frac12;1;\frac12$)

Technique 2:

On cherche une égalité vectorielle avec le point M
puis on traduit cette égalité à l'aide des coordonnées,
comme expliqué dans la vidéo.

Pour trouver les
coordonnées du milieu
:

Si I est le milieu de [AB] alors I a pour coordonnées:
I\[\left(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2;\frac{z_A+z_B}2\right)\]

Cette formule est valable
dans n'importe quel repère,
orthonormé ou pas orthonormé.
Pour trouver les
coordonnées du centre de gravité
:

Si G est le centre de gravité du triangle ABC alors G a pour coordonnées:
G\[\left(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3;\frac{z_A+z_B+z_C}3\right)\]

Cette formule est valable
dans n'importe quel repère,
orthonormé ou pas orthonormé.

Et ne pas oublier que le centre de gravité G est à l'intersection des médianes.

Et vectoriellement on a: $\overrightarrow{\mathrm{IG}}=\frac 13\overrightarrow{\mathrm{IC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{JG}}=\frac 13\overrightarrow{\mathrm{JA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{KG}}=\frac 13\overrightarrow{\mathrm{KB}}$

♦ Savoir passer de vecteur en coordonnées: cours en vidéo

Pour trouver les

coordonnées d'un vecteur

Pour trouver les coordonnées d'un vecteur dans le repère ($O;\vec i;\vec j;\vec k$):

Technique 1:

On essaye d'exprimer le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ en fonction des vecteurs $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$.
Si on veut les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{EM}}$ dans le repère ($A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}})$:

On essaye d'exprimer $\overrightarrow{\mathrm{EM}}$ en fonction de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}$.
On a: $\overrightarrow{\mathrm{EM}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac12\overrightarrow{\mathrm{AE}}$
Donc M a pour coordonnées dans ce repère ($\frac12;1;-\frac12$)

Technique 2:

On utilise les coordonnées des points pour trouver les coordonnées d'un vecteur:
le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

Quand on additionne 2 vecteurs, les coordonnées

les coordonnées s'additionnent.
Quand on multiplie un vecteur par $\lambda$, les coordonnées

les 3 coordonnées sont multipliées par $\lambda$.

♦ Savoir utiliser les repères pour résoudre des problèmes de géométrie: cours en vidéo

2 vecteurs sont colinéaires $\Leftrightarrow$

2 vecteurs sont colinéaires $\Leftrightarrow$ leurs coordonnées sont proportionnelles.

C'est valable
dans n'importe quel repère,
orthonormé ou pas orthonormé.
A, B, C sont alignés $\Leftrightarrow$

A, B, C sont alignés
$\Updownarrow$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires
$\Updownarrow$
leurs coordonnées sont proportionnelles.

C'est valable
dans n'importe quel repère,
orthonormé ou pas orthonormé.
les droites (AB) et (CD) sont parallèles $\Leftrightarrow$

les droites (AB) et (CD) sont parallèles
$\Updownarrow$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ sont colinéaires
$\Updownarrow$
leurs coordonnées sont proportionnelles.

C'est valable
dans n'importe quel repère,
orthonormé ou pas orthonormé.
Pour savoir si 3 vecteurs sont coplanaires:

Pour savoir si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires:
On cherche si deux vecteurs sont colinéaires parmi les 3.
Pour cela, on regarde si leurs coordonnées sont proportionnelles.
- S'il y a 2 vecteurs colinéaires alors les 3 vecteurs sont toujours coplanaires.
- Sinon on cherche 2 nombres a et b tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$.
On traduit $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ en coordonnées. On obtient un système d'inconnues a et b. Si on trouve des solutions alors $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires. S'il n'y a pas de solution, $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas coplanaires.

Technique valable
dans n'importe quel repère,
orthonormé ou pas orthonormé.
Pour savoir si 4 points sont coplanaires:

Pour savoir si A, B, C et D sont coplanaires:
On cherche si deux vecteurs sont colinéaires parmi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$.
Pour cela, on regarde si leurs coordonnées sont proportionnelles.
- S'il y a 2 vecteurs colinéaires alors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ sont coplanaires.
et donc A, B, C et D sont coplanaires.
- Sinon on cherche 2 nombres a et b tels que $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=a\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.
On traduit $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ en coordonnées. On obtient un système d'inconnues a et b. • Si on trouve des solutions alors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ sont coplanaires.
et donc A, B, C et D sont coplanaires. • S'il n'y a pas de solution, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ne sont pas coplanaires.
et donc A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

Technique valable
dans n'importe quel repère,
orthonormé ou pas orthonormé.

Repère orthonormé de l'espace

Un repère orthonormé, c'est quoi

Un repère ($\mathrm{O}$;$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$;$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$;$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$) est orthonormé

On dit aussi orthonormal

lorsque:
{

les droites (OI), (OJ), (OK) sont deux à deux perpendiculaires
les longueurs OI, OJ, OK sont égales à 1
Si M($x;y;z$) alors OM=

$\mathrm{OM}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
N'appliquer cette formule que dans un repère orthonormé
Si $\vec u$($x;y;z$) alors $||\vec u||=$

$||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
N'appliquer cette formule que dans un repère orthonormé
Si A($x_A;y_A;z_A$) et B($x_B;y_B;z_B$) alors AB=

$\mathrm{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
N'appliquer cette formule que dans un repère orthonormé
Quand doit-on utiliser un repère orthonormé

- Pour calculer une longueur, une norme ou un produit scalaire avec des coordonnées,
il faut utiliser repère orthonormé.

- Dans les autres cas, aligné, coplanaire, milieu, centre de gravité, droites parallèles,
on peut choisir n'importe quel repère, orthonormé ou pas.

Exercices 1:

Placer un point dans un repère de l'espace

- bac Pondichéry 2015 exercice 4 Question 1

ABCDEFGH est un cube d'arête 1. Dans le repère ($A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}$),
on considère les points M$\left(1;1;\frac 34\right)$, N$\left(0;\frac 12;1\right)$, P$\left(1;0;-\frac 54\right)$.
Placer M, N et P sur la figure.

Corrigé en vidéo!

Exercices 2:

Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace

ABCDEFGH est un pavé droit. I est le milieu de [AH].
K est le centre de gravité du triangle (AHF).
On considère les points M et N définis par:
$\overrightarrow{\mathrm{FM}}=\frac 13\overrightarrow{\mathrm{ED}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BN}}=3\overrightarrow{\mathrm{AN}}+2\overrightarrow{\mathrm{DF}}$
1) On se place dans le repère ($A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}$).
Déterminer les coordonnées de tous les points de cet exercice.
2) Refaire la question 1) en se plaçant dans le repère ($B;\overrightarrow{\mathrm{BA}};\overrightarrow{\mathrm{BD}};\overrightarrow{\mathrm{BG}}$).

Exercices 3:

Points alignés dans l'espace

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [HF].
Le point M vérifie: $2\overrightarrow{\mathrm{IM}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}$.
1) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$.
Placer le point M sur la figure.
2) Démontrer que E, M et C sont alignés sans utiliser de repère.
3) Démontrer que E, M et C sont alignés en utilisant un repère bien choisi.

Corrigé en vidéo!

Exercices 4:

Points alignés dans un tétraèdre

ABCD est un tétraèdre.
I, J, K, L sont les milieux respectifs de [AB], [CD], [BC], [AD].
O est le milieu de [IJ]. G est le centre de gravité du triangle (BCD).
1) Démontrer que IKJL est un parallélogramme.
2) Démontrer que les points G, O et A sont alignés.

Exercices 5:

Droites parallèles dans l'espace

ABCDEFGH est un parallélépipède. I est le symétrique de D par rapport à E.
1) Démontrer que les droites (IF) et (CE) sont parallèles sans utiliser de repère.
2) Refaire la question 1) en utilisant un repère bien choisi.

Corrigé en vidéo!

Exercices 6:

Droites parallèles dans un tétraèdre

ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AB].
E est le symétrique de D par rapport à C. F est le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}$
1) Démontrer que les droites (IC) et (EF) sont parallèles sans utiliser de repère.
2) Refaire la question 1) en utilisant un repère judicieusement choisi.

Exercices 7: Utilisation d'un repère pour savoir si des droites sont parallèles, des points alignés

L'espace est muni d'un repère ($O; \vec{i}; \vec{j}; \vec k$).
1) On considère les points A(1;-1;2), B(3;3;8) et C(-3;5;4). A, B et C sont-ils alignés? Justifier.
2) On considère le point D($a$, $b$, 9).
Existe-t-il des nombres $a$ et $b$ tels que les droites (AC) et (BD) soient parallèles? Justifier.

Corrigé en vidéo!

Exercice 8:

Vecteurs coplanaires

ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs de [EF] et [BC].
1) Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CE}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CG}}$ sont coplanaires
à l'aide d'une décomposition.
2) Refaire la question 1) à l'aide d'un repère judicieusement choisi.

Corrigé en vidéo!

Exercice 9:

vecteurs coplanaires

et non coplanaires

ABCDEFGH est un pavé droit. I est le milieu de [BF].
1) les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$, $\overrightarrow{\mathrm{DG}}$ sont-ils coplanaires? Justifier.
2) les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$, $\overrightarrow{\mathrm{DF}}$, $\overrightarrow{\mathrm{HE}}$ sont-ils coplanaires? Justifier.

Exercice 10:

points coplanaires

Dans un repère de l'espace, on considère les points $\rm A(1;2;7)$, $\rm B(-3;-2;3)$, $\rm C(0;5;22)$, $\rm D(4;0;-10)$.
Ces quatre points sont-ils coplanaires? Justifier.

Exercice 11:

points coplanaires

ABCD est un tétraèdre.
I, J, K, L sont les milieux respectifs de [AB], [AC], [CD], [BD].
1) Les points I, J, K, L sont-ils coplanaires?
Justifier sans utiliser de repère.
2) Refaire la question 1) à l'aide d'un repère bien choisi.

Corrigé en vidéo!

Exercice 12: Point coplanaire ou non coplanaire

ABCD est un tétraèdre. I et K sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].
On considère les points J et L définis par: $\overrightarrow{\mathrm{BJ}}=\frac 14\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AL}}=\frac 14\overrightarrow{\mathrm{AD}}$.
Les points I, J, K et L sont-ils coplanaires? Justifier.

Géométrie dans l'espace - Partie II

Vecteur de l'espace

colinéaires

Vecteurs coplanaires

Points coplanaires

Repère de l'espace

coordonnées d'un point

coordonnées du milieu

coordonnées du centre de gravité

coordonnées d'un vecteur

Repère orthonormé de l'espace

Placer un point dans un repère de l'espace

Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace

Points alignés dans l'espace

Points alignés dans un tétraèdre

Droites parallèles dans l'espace

Droites parallèles dans un tétraèdre

Vecteurs coplanaires

vecteurs coplanaires

points coplanaires

points coplanaires