Equation du second degré avec des complexes

4 techniques pour résoudre une équation

♦ le cours en vidéo:

équation et nombre complexe

• Méthode 1:

Commence par essayer d'isoler $z$

• Méthode 2:

Si la méthode 1, ne marche pas 1°) Ecris l'équation sous la forme ... = 0 2°) Factorise, au maximum 3°) Applique la règle du produit nul S'il y a des fractions, pense à mettre au même dénominateur et à appliquer le produit en croix

• Méthode 3:

Si tu n'arrives pas à factoriser et que c'est une équation du second degré
à coefficients réels:
$ax^2+bx+c=0$

avec $a$, $b$ et $c$ réels et $a$ non nul
Si $a$ était nul, ce ne serait plus une équation du second degré!

1°) Calcule le discriminant
$\Delta=b^2-4ac$
2°) Si Δ > 0, l'équation a 2 solutions qui sont réelles \[\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\] et \[\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\] .
3°) Si Δ =0 , l'équation a 1 seule solution qui est réelle \[\frac{-b}{2a}\] . La solution est réelle.
4°) Si Δ < 0 , l'équation a 2 solutions qui sont complexes conjuguées \[\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\] et \[\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]

$\Delta$ est négatif
Donc $-\Delta$ est positif
Donc $\sqrt{-\Delta}$ a un sens!

Parfois, on doit résoudre,
une équation du second degré à coefficient complexe,
Aucune théorie n'est à connaitre.
Les solutions, ne sont pas forcement conjuguées!

• Méthode 4:

Dans les autres cas: 1°) Pose z=a+ib puis remplace chaque z par a+ib 2°) Identifie partie réelle et imaginaire, comme expliqué dans la vidéo

Corrigé en vidéo!

Exercices 1: Equation du premier degré avec des nombres complexes

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:
\[a)~3iz+1=i\] \[b)~z-3i=iz+2\]

Corrigé en vidéo! Exercices 2: Équation du second degré et nombre complexe - Le discriminant, ce n'est pas toujours nécessaire!

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:
\[a)~(z-2i)(2z+1-i)=0\] \[b)~4z^2=z\] \[c)~z-\frac 4z=0\] \[d)~(2-i)z=2z+i\]

Exercices 3:

équation avec des fractions et des nombres complexes

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes et donner les solutions sous forme algébrique:
\[a)~\frac{z-i}{z+i}=2i\] \[b)~\frac {z+i}{2z}=1-i\] \[c)~\frac {2z+i}{iz}=\frac{2iz}{1-z}\]

Corrigé en vidéo! Exercices 4: Résoudre une

équation du second degré avec des nombres complexes

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:
\[a)~z^2=4z+5\] \[b)~z^2=4z\] \[c)~20z-25=4z^2\] \[d)~4z^2+12z=-10\] \[e)~z^2+2\cos \frac {\pi}{12} z+1=0\]

Corrigé en vidéo! Exercices 5: Résoudre des équations du second degré, avec des fractions et des nombres complexes

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:
\[a)~i(z+3)=2+i\] \[b)~\frac{z-5}{z+5}=z\] \[c)~\frac{z+3}{z}=\frac{z+1}{z+2}\] \[d)~z^2=-9\]

Corrigé en vidéo! Exercices 6: Résoudre des

équations avec le conjugué

- poser z=x+iy

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes. On pourra poser $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
\[a)~\overline {z}+i=2z-1\] \[b)~\frac {z+1}{\overline z}=z\]

Corrigé en vidéo! Exercices 7: déterminer a,b, et c tels que P(z)=(z+1)(az²+bz+c)

On souhaite résoudre l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$.
1) Vérifier que -1 est solution de cette équation.
2) Déterminer $a$, $b$, $c$ tels que pour tout $z$, $z^3+3z^2+11z+9=(z+1)(az^2+bz+c)$.
3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$.
4) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$.

Exercices 8:

Équation du second degré à coefficients complexes

On considère l'équation $z^2-(1+3i)z+4+4i=0$ (1)
1) Montrer que l'équation (1) admet une solution imaginaire pure $z_1$.
2) Déterminer le nombre complexe $z_2$ tel que pour tout $z$:
$z^2-(1+3i)z+4+4i=(z-z_1)(z-z_2)$.
3) En déduire les solutions de l'équation (1) dans $\mathbb{C}$.

Corrigé en vidéo! Exercices 9:

Problème ouvert - équation du second degré à coefficients complexes

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^2=-i$.

Corrigé en vidéo! Exercices 10:

QCM nombre complexe et équation

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier.
a) L'équation $z^2+5z+2=0$ a deux solutions dans $\mathbb{C}$.
b) \[\cos \frac {2\pi}3 +i\sin \frac {2\pi}3\] est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.
c) $2-3i$ et $-2+3i$ sont solutions de l'équation $z^2-4z+3=0$.
d) L'inverse de $3-4i$ est \[\frac 35 +\frac 45i\].