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Exercices 1:
Lire le module et un argument d'un nombre complexe
- forme
trigonométrique - exponentielle
Dans un repère orthonormé direct \(\rm \left(O;~\overrightarrow{OD};~\overrightarrow{OE}\right)\),
on considère les points A, B, C, D, E, F, G et H.
On note \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F, ~ z_G,~ z_H\) leurs affixes respectives.
1) Déterminer le module et un argument de \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F, ~ z_G,~ z_H\).
2) Écrire \(z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F, ~ z_G,~ z_H\) sous forme trigonométrique, exponentielle et
algébrique.
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Exercices 2: Déterminer le module et un argument -
forme trigonométrique et
exponentielle d'un nombre complexe
1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:
\(z_1=3\) |
\(z_2=-4\) |
\(z_3=i\) |
\(z_4=-3i\) |
\(z_5=2+2i\) |
\(z_6=2-2i\) |
\(z_7=-\sqrt 3+3i\) |
|
2) Écrire ces nombres complexes sous forme trigonométrique et exponentielle.
Exercices 3:
Propriétés de l'argument d'un nombre complexe
Soit \(z\) un nombre complexe non nul.
1) Exprimer \(\arg(\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
2) Exprimer \(\arg(-z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
3) Exprimer \(\arg(-\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\).
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Exercices 4: Utiliser les propriétés des arguments d'un nombre complexe
1) Déterminer un argument de \(z_1=1+i\) et
\[z_2=-3+\sqrt 3i\].
2) En déduire un argument des nombres complexes suivants:
\[z_1\times z_2\] |
\[-3-\sqrt 3i\] |
\[-\frac12(1+i)\] |
\[-1-i\] |
\[\frac{(3-\sqrt 3i) ^2}{(1-i)^3}\]
|
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Exercices 5: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle -
trigonométrique
Dans chaque cas, donner une forme trigonométrique du nombre complexe $z$:
-
$z = -2\left( \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) - i\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) \right)$
-
$z = 3\left( \cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right) - i\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right) \right)$
-
$z = 5\left( -\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{5}\right) \right)$
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Exercices 6: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle -
trigonométrique
1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:
\[z_1=2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi}
4)\] |
\[z_2=-2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi}
4)\] |
\[z_3=2(-\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi}
4)\] |
\[z_4=2(\cos \frac {\pi} 4-i \sin \frac {\pi}
4)\] |
2) Écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle.
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Exercices 7:
Ensemble de points et argument d'un nombre complexe
- lieu de
points et argument
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}
)\).
1) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z)=\frac \pi 6
~[2\pi]\].
2) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z)=\frac \pi 6
~[\pi]\].
3) Déterminer le lieu des points M d'affixe \(z\) tel que \[\arg(z+i)=-\frac {3\pi} 4
~[2\pi]\]
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Exercices 8: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle -
trigonométrique
Écrire les nombres suivants sous forme exponentielle:
\(z_1=2-2i\) |
\[z_2=-3 \left(\cos \frac \pi 3-i\sin \frac
\pi 3\right)\] |
\[z_3=\frac 1{-\sqrt 2+i\sqrt 6}\] |
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Exercices 9: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle -
trigonométrique
Écrire les nombres suivants sous forme exponentielle:
\[z_1=-4e^{i\frac \pi 5}\] |
\[z_2=\frac{-3(1+i)}{-\sqrt 3+3i}\]
|
\[z_3=-\sqrt 5 (-2\sqrt
3+6i)^2e^{-i\frac{2\pi} 3}\] |
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Exercices 10:
Equation du second degré à coefficient complexe avec
l'exponentielle complexe
Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^2=-i$.
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Exercices 11:
Problème ouvert - équation du troisième degré et nombre
complexe - Racines cubique de l'unité
Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^3=1$.
Exercices 12: Passer de l'
exponentielle complexe à la forme algébrique
Déterminer la forme algébrique des nombres suivants:
\[z_1=e^{i\pi}\] |
\[z_2=e^{i \frac \pi 2}-2e^{i\frac \pi
3}\] |
\[z_3=1-e^{-i\frac \pi 2}+3e^{-i\frac \pi
4}\] |
\[z_4=\frac {-2e^{i\frac {2\pi}3}}{e^{i\frac
\pi 4}}\] |
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Exercices 13: Nombre complexe et angle - Déterminer un
angle à l'aide des
arguments
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}
)\).
On considère les points A et B d'affixes respectives \[z_A=-\sqrt 2-\sqrt 2i\]
et \[z_B=\sqrt 3-3i\].
1) Déterminer le module et un argument de \(z_A\) et \(z_B\).
2) Tracer un repère orthonormé et placer les points A et B à l'aide d'un compas et d'une règle.
3) Déduire de la question 1) une mesure de l'angle (\(\overrightarrow {OA}~,~\overrightarrow {OB}\)).
Exercices 14: Déterminer l'angle (AB;AC) avec les complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}
)\).
On rappelle que \[\left\{
\begin{array}{l@{~}c@{~}l}
\arg\left(\dfrac {z_2}{z_1}\right)=\arg(z_2)-\arg(z_2) \\\\
(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB})=\arg(z_B-z_A)
\end{array}
\right.\]
A l'aide du rappel, démontrer que \[(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\].
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Exercices 15: Lien entre angle et argument - Angle (AB;AC) - Complexe et
rectangle
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )\).
On considère les points A, B, C et D
d'affixes respectives \(z_A=-3+i\), \(z_B=5-i\), \(z_C=6+3i\) et
\(z_D=-2+5i\).
1) Faire une figure et placer les points A, B, C et D.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le quadrilatère ABCD.
3) Déterminer l'affixe des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {DC}\). Que peut-on
conclure? Justifier.
4) Calculer \[\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\]. Donner le résultat sous forme
algébrique.
5) En déduire une mesure de l'angle (\(\overrightarrow {AB},~\overrightarrow {AD}\)). Que peut-on en
conclure?
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Exercices 16: cos(pi/12) et sin(pi/12)
Soit \[z_1=1+i\sqrt 3\] et \[z_2=1+i\].
1) Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique et exponentielle.
2) En déduire une forme trigonométrique de \(z_1\times z_2\).
3) Déterminer la forme algébrique de \(z_1\times z_2\).
4) En déduire la valeur exacte de \[\cos \frac{7\pi}{12}\] et \[\sin \frac{7\pi}{12}\].
5) Que faut-il changer à la méthode précédente pour déduire la valeur exacte de \[\cos \frac{\pi}{12}\] et \[\sin
\frac{\pi}{12}\].
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Exercices 17: Type Bac - Nombre complexe - équation - conjugué - forme
exponentielle
On considère l'équation (E): \[z^4=-4\].
1) Montrer que \[z_1=1+i\] est solution de (E).
2) Écrire \(z_1\) sous forme exponentielle. Refaire la question 1)
3) Montrer que si \(z\) est solution de (E) alors \(-z\) et \(\overline z\) sont aussi solutions de
(E).
4) En déduire trois autres solutions de (E).
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Exercices 18: Condition pour qu'un nombre complexe soit réel, positif, négatif,
imaginaire pur
Soit $n$ un entier naturel.
1) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel positif?
2) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel?
3) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un imaginaire pur?
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Exercices 19: Bac Liban 2018 nombre complexe
Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\rm S}_n=(1+i)^n+(1-i)^n$.
1) Écrire $1+i$ et $1-i$ sous forme exponentielle.
2) Lætitia affirme que pour tout entier naturel $n$, ${\rm S}_n$ est un nombre réel. A-t-elle raison?
Justifier.
3) Existe-il une infinité d'entiers naturels $n$ tels que ${\rm S}_n=0$?
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Exercices 20: Démontrer un alignement à l'aide des nombres complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}
)$.
À tout point $M$ différent de O, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe \[z'=-\frac 1{\overline z}\].
Démontrer que $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.
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Exercices 21: Suite de nombres complexes et points alignés
On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$
\displaystyle z_n=(1-i\sqrt 3)^n$$
Pour tout entier naturel $n$, on note ${\rm M}_n$ le point d'affixe $z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, les points ${\rm M}_n,$ ${\rm O}$ et ${\rm M}_{n+3}$ sont-ils alignés?
Exercices 22: Fonction complexe - D'après sujet de Bac
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}
)$.
À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=z^2+4z+3$.
Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.
Démontrer qu'il existe deux points invariants.
Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Exercices 23: Exercice type bac
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}
)\).
A tout point M d'affixe \(z\), on associe le point M' d'affixe \[z'=1+z+z^2\].
1) Démontrer que \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\] est réel.
2) En déduire que si \[z=e^{i\alpha}\] alors \[\frac{z'}z\] est réel.
3) Que peut-on en déduire concernant les points O, M et M'. Justifier.
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Exercices 24: Nombre complexe - Type bac - Forme exponentielle - Ensemble de point -
Cercle
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}
)\).
A tout point \(M\) d'affixe \(z\), non nulle, on associe le point \(M'\) d'affixe \[z'=\frac 12 (z+\frac 1z)\].
\(M'\) est appelé l'image de \(M\). \(A\) et \(B\) sont les points d'affixes respectives -1, 1.
1) Soit le point \(C(1;1)\) et \(C'\) son image. Déterminer les coordonnées de \(C'\).
2) Déterminer les points \(M\) tels que \(M'=M\).
3) Déterminer les points \(M\) qui ont pour image \(O\).
4) Démontrer que pour tout réel \(\alpha\), \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}=2\cos
\alpha\]
5) En déduire que si \(M\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon 1, \(M'\) appartient au segment
\([AB]\).
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Exercices 25:
Baccalauréat terminale S métropole septembre 2013
exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives \(b\) et \(c\) vérifient
l'égalité:
$\displaystyle{ \frac c b=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}
}$
a) Le triangle OBC est-il isocèle en O? Justifier.
b) Les points O,B,C sont-ils alignés? Justifier.
c) Le triangle O,B,C est-il isocèle et rectangle en B? Justifier.
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Exercices 26:
Bac terminale S Liban 2019
exercice complet révision
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $\rm
M$, distinct du point O et d'affixe $z$, associe le point $\rm M'$
d'affixe $z'$ tel que $\displaystyle z'=-\frac 1z$.
-
On considère les points $\rm A$ et $\rm B$ d'affixes respectives $z_{\rm A} = -1+i$ et
$\displaystyle z_{\rm B} =\frac 12 e^{i\frac \pi 3}$.
- Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point $\rm A'$ image du point $\rm A$ par la
fonction $f$ .
- Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point $\rm B'$ image du point $\rm B$ par
la fonction $f$
- Placer les points $\rm A$, $\rm B$, $\rm A'$ et $\rm B'$ dans le repère orthonormé direct en
laissant les traits de construction apparents.
- Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par
$z=r e^{i\theta}$.
- Montrer que $z'=\frac 1r e^{i(\pi-\theta)}$.
- Est-il vrai que si un point $\rm M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de
rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1,
alors son image $\rm M'$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier.
- Soit le cercle $\Gamma$ de centre $\rm K$ d'affixe $z_{\rm K}=-\frac 12$ et de rayon $\frac 12$.
- Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2+x+y^2=0$.
- Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z'$
en fonction de $x$ et $y$.
- Soit $\rm M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $\rm M'$ du
point $\rm M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.
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Exercices 27:
Nombre Complexe révision Bac S maths 2019 Pondichéry Centres
étrangers Forme exponentielle Géométrie
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $({\rm O};\vec u;\vec v)$.
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points $\rm A$,
$\rm N$ et $\rm P$
d'affixes respectives $1$, $z^2$ et $\frac 1z$ soient alignés.
- Dans cette question, $z=i$. Démontrer que les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ ne sont pas
alignés.
- Dans cette question, $z=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$.
A l'aide de la forme exponentielle de $z$, $z^2$ et $\frac 1z$, démontrer que les points $\rm A$,
$\rm N$ et $\rm P$ sont alignés.
- Cas général: Soit $z$ un nombre complexe non nul.
- Établir que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0$, on a $z^2-\frac
1z=(z^2+z+1)\left(1-\frac 1z\right)$.
- En déduire que, pour $z \ne 0$ , les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ sont alignés si et
seulement si $z^2+z+1$ est réel.
- On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont des réels.
Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ d'affixe $z\ne 0$ tels que les points $\rm A$, $\rm
N$ et $\rm P$ soient alignés.
Tracer cet ensemble.
Exercices 28:
Propriétés du nombres $j$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}
)$.
Soit le nombre complexe $j=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$.
1) Montrer que $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.
2) Écrire $j$ sous forme exponentielle.
3) Démontrer que $j^3=1$ et que $j^2=-1-j$.
4) Soient P, Q et R les points d'affixes respectives 1, $j$ et $j^2$. Quelle est la nature du triangle PQR?
Justifier.
Exercices 29:
Problème ouvert - Somme et nombre complexe
Calculer les sommes:
$1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx)$.
$1+\sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)$.
où $n$ est un entier naturel et $x\in \left]0;\frac{\pi}{2} \right[$.