Suites - Exercices pour préparer sa rentrée en prépa

Pour tout entier $n\geqslant 1$, comparer $n^{n+1}$ et $(n+1)^n$.
On pourra étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, on note ${\rm H}_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac 1k$.
L'objectif de cet exercice est de démontrer par deux méthodes que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} {\rm H}_n=+\infty$.

1. 1. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, ${\rm H}_{2n}-{\rm H}_n\geqslant \dfrac 12$.
   2. En déduire que la suite $({\rm H}_n)$ n'est pas convergente. Conclure.
2. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\rm H}_{2^{n+1}}-{\rm H}_{1}\geqslant \dfrac 12(n+1)$. Conclure.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, on pose ${\rm H}_n =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$.
L'objectif de cet exercice est de démontrer par comparaison à des intégrales que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} {\rm H}_n=+\infty$ et de donner un équivalent de ${\rm H}_n$.

1. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{1}{k+1}\leqslant \displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}\leqslant\dfrac{1}{k}$.
2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\ln (n+1) \leqslant {\rm H}_n $$\leqslant \ln (n+1) + 1 - \dfrac{1}{n+1}$.
3. En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty} {\rm H}_n = +\infty$ puis montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{{\rm H}_n}{\ln n } = 1$.