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Terminale S

Comment déterminer la limite d'une suite


4 techniques pour déterminer la limite d'une suite
Technique 1:

Décomposer la suite

Cours de math en vidéo
Décomposer la suite à l'aide des tableaux suivants:

• Tableau de la somme
• Tableau du produit
• Tableau du quotient

Technique 2: S'il y a une

forme indéterminée

Cours de math en vidéo
On met en facteur le terme prépondérant
1) Mettre en facteur le terme prépondérant.
2) Simplifier.
3) Ensuite chercher la limite.
On dit parfois terme de plus haut degré au lieu de terme prépondérant.

Technique 3: Utiliser une inégalité Cours de math en vidéo
Si à partir d'un certain rang: un ≥ vn et si
lim n → +∞
vn = +∞
alors
lim n → +∞
un = +∞
un ≤ vn et si
lim n → +∞
vn = -∞
alors
lim n → +∞
un = -∞
vn ≤ un ≤ wn et si (vn) et (wn) convergent vers alors
lim n → +∞
un = ℓ
(

Théorème des gendarmes

)
Dans les exercices, penser à utiliser les encadrements suivants:
-1 ≤ (-1)n ≤ 1 -1 ≤ cos(...) ≤ 1 -1 ≤ sin(...) ≤ 1

Technique 4: Utiliser le théorème des suites monotones Cours de math en vidéo
• Théorème 1: Si une suite est

croissante et majorée

alors cette suite converge.
• Théorème 2: Si une suite est

croissante et non majorée

alors cette suite diverge vers +∞.
• Théorème 3: Si une suite est

décroissante et minorée

alors cette suite converge.
• Théorème 4: Si une suite est

décroissante et non minorée

alors cette suite diverge vers -∞.
Les théorèmes 1 et 3 permettent de justifier que la suite converge,
c'est à dire que la suite a une limite finie.
Mais ils ne permettent pas de savoir combien vaut cette limite.
Pour trouver la valeur de cette limite, regarder la vidéo.






Suites convergentes

Cours sur les suites convergentes en vidéo

Cours de math en vidéo
• Une suite est convergente lorsque
Une suite est convergente lorsqu'elle a une limite finie.
• Pour montrer qu'une suite est convergente
2 méthodes:
- Trouver sa limite et vérifier que cette limite est finie
- Montrer que la suite est croissante et majorée ou décroissante et minorée.



Corrigé en vidéo! Exercices 1: Est-ce une forme indéterminée? Trouver la limite de la suite - somme
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n+v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}(u_n-v_n)\].
a) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\ \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\ \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\ \end{array}\right.\] d) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-4 \\ \end{array}\right.\]
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Déterminer la limite d'un produit de 2 suites à l'aide des tableaux - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}\].
a) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\ \end{array}\right.\] b)\[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-3 \\ \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=3 \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\ \end{array}\right.\] d) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\ \end{array}\right.\]
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Déterminer la limite d'un quotient lorsque le dénominateur tend vers 0
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\) et le signe de \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}\].
a) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\ v_n>0 \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-4\\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\ v_n<0 \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\ v_n>0 \end{array}\right.\]
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Déterminer la limite d'une suite - Reconnaitre une forme indéterminée
A l'aide des tableaux de la somme, du produit et du quotient, déterminer si possible \[\lim_{n \to +\infty}u_n \].
a) \(u_n=n^2+n\)b) \(u_n=n^2-n\)c) \(u_n=\frac 2{n+2}\)
d) \(u_n=\frac{3}{2-n^2}\)e) \(u_n=\frac{n^2+2}{n+1}\)f) \(u_n=\frac{3}{0.5^n}\)
Corrigé en vidéo! Exercices 5: limite et suite géométrique - forme indéterminée
Déterminer les limites éventuelles suivantes: \[\lim_{n \to +\infty}2^n-3^n\] \[\lim_{n \to +\infty}\frac {2^n+5^n}{7^n}\]
Corrigé en vidéo! Exercices 6: limite et forme indéterminée - factoriser par le terme de plus haut degré
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\):
\[a)~u_n=n^3-3n^2\] \[b)~u_n=\frac{n^2-2n}{n+1}\] \[c)~u_n=\frac{n^2+n}{1-n^2}\]
Corrigé en vidéo! Exercices 7: limite et forme indéterminée - factoriser par le terme de plus haut degré
Soit la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=n^3-3n^2+5$.
1) Déterminer \[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n\].
2) Pour un réel A, on souhaite déterminer le plus petit rang $n$ pour lequel $u_n\ge {\rm A}$.
    Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
Exercices 8: limite et forme indéterminée - factoriser par le terme prépondérant
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \(u\):
\[a)~u_n=n-\sqrt{n}\] \[b)~u_n=3+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}\] \[c)~u_n=\frac {4n-3}{n^2+5}\]
Corrigé en vidéo! Exercices 9: Déterminer la limite d'une suite à l'aide d'un encadrement - Théorème des gendarmes
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\):
\[a)~u_n=\frac{(-1)^n}{n+2}\] \[b)~u_n=n-\cos (n)\] \[c)~u_n=\frac{n^2+\sin (n)}{n+5}\]
Indication: Encadre (-1)n
Exercices 10: Démontrer qu'une suite n'a pas de limite (-1)^n
Démontrer que la suite \(((-1)^n)\) ne converge pas. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Exercices 11: Limite d'une géométrique - Limite d'une somme d'une suite géométrique
Corrigé en vidéo! Exercices 12: Limite d'une suite à l'aide d'une suite auxiliaire géométrique
On considère la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac13 u_n+n-2$.
L'objectif de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite $u$.
Pour cela, on considère la suite $v$ définie par tout entier naturel $n$ par $v_n=-2u_n+3n-\frac{21}2$.
1) Démontrer que la suite $v$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
2) Conclure.
Corrigé en vidéo! Exercices 13: Limite d'une somme - 1+1/√2+1/√3+...+1/√n
Indication:
Cherche le plus petit terme de cette somme
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \[u_n=1+\frac 1{\sqrt 2}+\frac 1{\sqrt 3}+...+\frac 1{\sqrt n}\].
1) Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\), \(u_n\ge \sqrt n\).
2) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Corrigé! Exercices 14: Problème ouvert - D'après sujet de Bac

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par: \[u_n=\sum\limits_{\substack{k=n}}^{2n}{\frac 1k}=\frac 1n+\frac 1{n+1}+...+\frac 1{2n}\]
Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
Exercices 15: Limite d'une somme - suite téléscopique - 1/1*2+1/2*3+.../n(n+1)
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \[u_n=\frac 1{1\times 2}+\frac 1{2\times 3}+...+\frac 1{n(n+1)}\].
1) Vérifier que pour tout entier \(k\ge 1\), \[\frac 1k-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}\].
2) En déduire que pour tout entier \(n\ge 1\), \[u_n=1-\frac 1{n+1}\].
3) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Exercices 16: Suite croissante non convergente
On considère une suite \((u_n)\) croissante qui n'est pas convergente.
1) Démontrer que la suite \((u_n)\) n'est pas majorée.
2) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Corrigé en vidéo! Exercices 17: suite croissante non majorée - u(n+1)=u(n)^2
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par: \[\left\{ \begin{array}{l} u_0=2\\ u_{n+1}={u_n}^2 \end{array}\right.\]
1) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\ge 2\).
2) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
3) Démontrer que la suite \((u_n)\) n'est pas majorée. On pourra raisonner par l'absurde.
Indication:
Suppose la suite majorée
Puis trouve la limite

4) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Corrigé en vidéo! Exercices 18: ...≤ un ≤... encadrer limite d'une suite - encadrement - suite convergente
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par: \[\left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=\frac 13 u_n+4 \end{array}\right.\]
PARTIE 1: Conjectures
1.a) Sur un même graphique, tracer les droites d'équation \(y=x\) et \(y=\frac 13 x+4\).
1.b) Déterminer graphiquement, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
1.c) Déterminer par le calcul, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\). Les résultats sont-ils cohérents?
1.d) Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\).
1.e) Conjecturer la limite de la suite \((u_n)\).

PARTIE 2: Démonstration des conjectures
2.a) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n \le 6\).
2.b) Démontrer la conjecture du 1.d)
Indication: utilise la question précédente

2.c) Démontrer la conjecture du 1.e)
Indication:
• Démontre que (un) est convergente
• Appelle la limite de (un)
• Trouve la limite de un+1 et de
1 / 3
un+4 en fonction de


PARTIE 3: Démonstration des conjectures par une seconde méthode
On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n=u_n-6\).
3.a) Déterminer \(v_0\), \(v_1\), \(v_2\).
3.b) Conjecturer la nature de la suite \((v_n)\).
3.c) Démontrer cette conjecture.
3.d) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3.e) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Corrigé en vidéo!
Exercices 19: suite arithmético-géométrique - sujet bac Pondichéry 2015 exercice 2
Soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation:
    $u_{n+1} = a u_n +b$ ($a$ et $b$ réels non nuls tels que $a\ne 1$).
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n−\frac{b}{1− a}$.
1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
2. En déduire que si $a$ appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite $(u_n)$ a pour limite $\frac{b}{1− a}$.
3. On considère la suite $(h_n)$ définie par $h_0=80$ et pour tout entier naturel $n$, $h_{n+1}=0.75h_n+30$.
    La suite $(h_n)$ est-elle convergente? Justifier.
Corrigé en vidéo!
Exercices 20: Suite auxiliaire géométrique - limite - formule explicite
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=8$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0.5 u_n+4n-3$.
Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-8n+22$.
A l'aide d'un tableur, on obtient:
    A     B     C  
1     $n$     $u_n$    $v_n$ 
2     0     8     30  
3     1     1     15  
4     2     1.5     7.5  
5     3     5.75     3.75  
1) Conjecturer une expression explicite de $v_n$, puis démontrer cette conjecture.
2) En déduire une expression explicite de $u_n$, puis indiquer si la suite $(u_n)$ est convergente.
Exercices 21: inégalité de Bernoulli - limite d'une suite géométrique selon la valeur de q
\(x\) est un réel positif.
1) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \((1+x)^n\ge 1+nx\)
2) En déduire la limite de la suite \((q^n)\) où \(q>1\).
3) On cherche maintenant la limite de \((q^n)\) où \(0<q<1\).
a) On pose \(p=\frac 1q\). Déterminer \[\lim_{n \to +\infty}p^n\]. b) En déduire \[\lim_{n \to +\infty}q^n\].
Exercices 22: Limite d'une somme 1+1/2²+1/3²+....+1/n²
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \[u_n=1+\frac 1 {2^2}+\frac 1 {3^2}+...+\frac 1{n^2}\]
1) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\ge 1\), \[u_n\le 2-\frac 1n\].
3) Que peut-on en déduire?
Exercices 23: Limite d'une suite - suite auxiliaire - suite arithmétique - suite homographique - un+1=2+3/un
Soit la suite \(u\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}=2+\frac{3}{u_n}\].
L'objectif du problème est d'exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) puis de trouver la limite de \((u_n)\).
Exercices 24: limite u(n+1)=f(un) - suite convergente - limite solution d'une équation u(n+1)=√(un+12)
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \[\left\{ \begin{array}{l} u_0=24\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+12} \end{array}\right.\]
PARTIE 1: Étude de la convergence
1.a) Déterminer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) à 0.1 près. 1.b) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\ge 4\). 1.c) Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante. 1.d) En déduire que la suite \((u_n)\) converge. PARTIE 2: Déterminer la limite
Soit \(l\) la limite de la suite \((u_n)\). 2.a) Démontrer que \(l\) est solution de l'équation \(l^2=l+12\). 2.b) En déduire la limite de la suite \((u_n)\). PARTIE 3: Déterminer la limite par une deuxième méthode
3.a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}-4=\frac{u_n-4}{\sqrt{u_n+12}+4}\] 3.b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}-4 \le \frac 18 (u_n-4)\]. 3.c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \[0 \le u_n-4 \le \frac 1{8^n}\]. 3.d) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Corrigé en vidéo! Exercices 25: limite u(n+1)=f(un) - suite convergente - limite solution d'une équation - un+1=1/10*un(20-un)
Indication:
• Soit la limite de (un)
• Trouve la limite de un+1 et de
1 / 10
un(20-un) en fonction de
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \[\left\{ \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\frac {1}{10} u_n(20-u_n) \end{array}\right.\]
  • Soit la fonction \(f\) définie sur [0;20] par \[f(x)=\frac {1}{10}x(20-x)\].
    a) Étudier les variations de \(f\) sur [0;20].
    b) En déduire que si \(x\in[0;10]\), alors \(f(x)\in [0;10]\).
  • Déterminer \(u_1\), \(u_2\).
  • Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n \le u_{n+1} \le 10\).
  • En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
  • On note \(l\) la limite de la suite \((u_n)\).
    a) Démontrer que \(l\) est solution de l'équation \[l=\frac{1}{10}l(20-l)\].
    b) Résoudre cette équation et en déduire la valeur de \(l\).
Exercices 26: Suites croisées
Soient ($a_n$) et ($b_n$) deux suites telles que $a_0>0$ et $b_0>0$ et pour tout entier naturel $n$:
\[a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\]   et   \[b_{n+1}=\frac{a_n\times b_n}{a_n+b_n}\].
1) Démontrer que ($a_n$) et ($b_n$) sont deux suites strictement positives.
2) Démontrer que pour tout entier naturel $n$: \[a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{2(a_n+b_n)}\].
3) En déduire le signe de $a_n-b_n$ pour $n\ge 1$.
4) Démontrer que les suites ($a_n$) et ($b_n$) sont décroissantes à partir du rang 1.
5) Démontrer que les suites ($a_n$) et ($b_n$) sont convergentes vers une même limite.
Exercices 27: limite de la suite de héron - un+1=f(un) rapidité de convergence - un+1=1/2(un+2/un)
PARTIE 1: Étude d'une fonction \(f\)
On considère la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \[f(x)=\frac 12(x+\frac 2x)\]. 1.a) Justifier que \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\). 1.b) Déterminer les variations de \(f\) sur \(]0;+\infty[\). 1.c) Démontrer que si \(x\ge \sqrt{2}\) alors \(f(x)\ge \sqrt{2}\).
PARTIE 2: Étude de la suite \((u_n)\)
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\left\{ \begin{array}{l} u_0=4\\ u_{n+1}=f(u_n) \end{array}\right.\) 2.a) Déterminer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) à 0.1 près. 2.b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(\sqrt{2}\le u_{n+1}\le u_{n}\). 2.c) En déduire que \((u_n)\) est convergente. 2.d) On note \(l\) la limite de la suite \(u\). Démontrer que \(l\) est solution de l'équation \[l=\frac 12 (l+\frac 2l)\]. 2.e) En déduire la valeur de \(l\). 2.f) Que faut-il changer à la définition de la suite \((u_n)\) pour qu'elle converge vers \(\sqrt{3}\).
PARTIE 3: Rapidité de convergence
3.a) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}-\sqrt 2=\frac{1}{2u_n}(u_n-\sqrt 2)^2\]. 3.b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}-\sqrt 2 \le \frac 12 (u_n-\sqrt 2)^2\]. 3.c) Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n \ge 1\), \[u_n-\sqrt 2 \le \left(\frac 12\right)^{2^n}(u_0-\sqrt 2)\] 4.d) Quelle valeur de \(n\) faut-il choisir pour que \(u_n\) soit une valeur approchée de \(\sqrt 2\) à \(10^{-3}\) près.
Exercices 28: vrai/faux - suite convergente - majorée - croissante - limite
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
1. Si deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement positives et convergent alors la suite \[\left(\frac {u_n}{v_n}\right)\] converge. 2. Si pour tout entier naturel $n$, $u_n\le 2$ alors \[\frac 1 {u_n}\ge \frac 12\]. 3. Si la suite $(u_n)$ est croissante et strictement négative alors la suite \[\left(\frac 1 {u_n}\right)\] est décroissante. 4. Si pour tout entier $n\ge 1$, $|u_n-5|\le \frac 1n$ alors la suite $(u_n)$ converge vers 5. 5. Si la suite $(u_n)$ n'est pas majorée, alors \[\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty\]. 6. Si \[\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty\] alors la suite $(u_n)$ n'est pas majorée.
Exercices 29: vrai/faux - suite convergente - majorée - croissante - limite
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
1. Si une suite est décroissante minorée alors elle est convergente. 2. Si une suite est croissante et convergente alors elle est majorée. 3. Si une suite est convergente et majorée alors elle est croissante. 4. Si une suite est croissante alors elle est minorée. 5. Si une suite est croissante alors elle n'est pas majorée. 6. Si une suite est croissante et convergente alors elle est bornée.


Limite d'une suite : Exercices

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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
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