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Lois de probabilité continues - Densité


Variable aléatoire continue et discrète

Cours en vidéo: comprendre la différence entre discret et continu Cours de math en vidéo
  • L'univers, c'est quoi 
    Dans une expérience aléatoire, l'univers, c'est l'ensemble de toutes les issues possibles. On le note souvent $\Omega$.

    Exemple: On lance 2 dés à 6 faces, numérotées de 1 à 6. Une issue est par exemple (2;5).
    Donc $\Omega=\left\{(1;1);(1;2);...;(6;6)\right\}$.
    Dans cet exemple, l'univers est composé de 36 issues.
  • Une variable aléatoire, c'est quoi 
    Une variable aléatoire est une fonction de l'univers $\Omega$ dans $\mathbb{R}$.

    Exemple: On lance 2 dés à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
    On appelle X la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la somme des numéros obtenus.
    Donc $\Omega=\left\{(1;1);(1;2);...;(6;6)\right\}$.
    X prend donc les valeurs 2, 3,...,12.
  • Une variable aléatoire discrète, c'est quoi 
    Lorsque la variable aléatoire ne prend qu'un nombre fini de valeurs,
    alors on dit que cette variable aléatoire est discrète.

    Exemple: On lance 2 dés à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
    On appelle X la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la somme des numéros obtenus.
    Donc $\Omega=\left\{(1;1);(1;2);...;(6;6)\right\}$.
    X prend donc les valeurs 2, 3,...,12.
    X ne prend que 11 valeurs donc X est discrète.
  • Une variable aléatoire continue, c'est quoi 
    Lorsque la variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle,
    alors on dit que cette variable aléatoire est continue.

    Exemple: On s'interesse à la durée de vie d'un stock de 100 ampoules électriques.
    On appelle X la variable aléatoire qui à chaque ampoule associe sa durée de vie.
    X peut prendre n'importe quelle valeur de l'intervalle [0;+∞[. Donc X est continue.
Cours en vidéo: comprendre le passage de discret à continu Cours de math en vidéo




Densité de probabilité

Cours en vidéo: comprendre la notion de densité Cours de math en vidéo
  • Une densité, c'est quoi 
    Une densité est une fonction définie sur un intervalle I et qui vérifie 3 conditions:
    - Cette fonction doit être continue sur I.
    - Cette fonction doit être positive sur I.
    - L'aire sous la courbe de cette fonction sur l'intervalle I doit être égale à 1 unité d'aire.
  • Comment montrer que $f$ est une densité sur [a;b] 
    1) Vérifier que $f$ est continue sur [a;b].
    2) Vérifier que $f$ est positive sur [a;b].
    3) Calculer l'aire sous la courbe sur [a;b]
    Pour celà,
    calculer $\int_{a}^b f(x)~{\rm d}x $
    et vérifier que cette intégrale vaut 1.
    4) Vérifier que cette aire vaut 1.
  • Comment montrer que $f$ est une densité sur [a;+∞[ 
    1) Vérifier que $f$ est continue sur [a;+∞[.
    2) Vérifier que $f$ est positive sur [a;+∞[.
    3) Calculer l'aire sous la courbe sur [a;+∞[
    Pour celà,
    1) calculer $\int_{a}^t f(x)~{\rm d}x $
    2) Calculer $\lim\limits_{t \to +\infty}\int_{a}^t f(x)~{\rm d}x $
    3) Vérifier que cette limite vaut 1.
  • Comment montrer que $f$ est une densité sur $\mathbb{R}$ 
    Une densité sur $\mathbb{R}$ est une fonction qui vérifie 3 conditions:
    - Cette fonction doit être continue sur $\mathbb{R}$.
    - Cette fonction doit être positive sur $\mathbb{R}$.
    - L'aire sous la courbe de cette fonction sur l'intervalle $\mathbb{R}$ doit être égale à 1 unité d'aire.
    Autrement dit, si cette fonction s'appelle $f$:
    $\lim\limits_{t \to +\infty}\int_{0}^t f(x)~{\rm d}x+\lim\limits_{t \to -\infty}\int_{t}^0 f(x)~{\rm d}x =1$





Loi de probabilité à densité

Cours en vidéo: Comprendre et savoir calculer des probabilités avec une loi continue Cours de math en vidéo
  • Dire que X suit une loi de densité $f$ sur I signifie  
    La probabilité $\rm P(X\in J)$ est égale à l'aire sous la courbe de $f$ sur l'intervalle J

  • X suit une loi de densité $f$ sur I alors:
    ${\rm P}(a\le {\rm X}\le b)=$ 
    ${\rm P}(a\le {\rm X}\le b)=\int_{a}^b f(x)~{\rm d}x$


    ${\rm P}({\rm X}=k)=$ 
    ${\rm P}({\rm X}=k)=0$
    ${\rm P}({\rm X}=k)=\int_k^k f(x)~{\rm d}x=0$


    ${\rm P}(a\le {\rm X}\le b)$ se note aussi 
    ${\rm P(X\in }[a;b])$

    ${\rm P}(a\lt {\rm X}\le b)$=  
    ${\rm P}(a\lt {\rm X}\le b)={\rm P}(a\le {\rm X}\lt b)={\rm P}(a\lt {\rm X}\lt b)={\rm P}(a\le {\rm X}\le b)=\int_{a}^b f(x)~{\rm d}x$
    Cela vient du fait que dans le cas continu, comme $P(X=k)=0$,
    enlever un seul nombre de l'intervalle, ne change pas la probabilité.
    Attention, c'est faux dans le cas discret.


    Si I=[-2;+∞[ alors $\rm P(X\ge 3)$=  
    ${\rm P(X\ge 3)=1-P(X\lt 3)=1-P(X\le 3)}=1-\int_{-2}^{3} f(t)~{\rm d}t$






Espérance d'une variable aléatoire continue

Cours en vidéo: comprendre et savoir déterminer l'espérance d'une variable aléatoire continue Cours de math en vidéo
  • X de densité $f$ sur [a;b] alors l'espérance de X  
    notée E(X)=$\int_a^b xf(x)~{\rm d}x$
    Dans le cas discret: ${\rm E(X)}=\sum_{i=1}^n x_i p({\rm X}=x_i)$
    Dans le cas continu: ${\rm E(X)}=\int_a^b xf(x)~{\rm d}x$

    Pour passer du cas discret au continu:
    - remplacer le symbole somme $\sum$ par intégral $\int$.
    - remplacer la probabilité $P({\rm X}=x_i)$ par la densité $f$.
  • X de densité $f$ sur [a;+∞[ alors l'espérance de X  
    notée E(X)=$\lim\limits_{t \to +\infty}\int_a^t xf(x)~{\rm d}x$
    Sous réserve que cette limite existe!
  • X de densité $f$ sur $\mathbb{R}$ alors l'espérance de X  
    notée E(X)=$\lim\limits_{t \to +\infty}\int_0^t xf(x)~{\rm d}x+\lim\limits_{t \to -\infty}\int_t^0 xf(x)~{\rm d}x$
    Sous réserve que ces 2 limites existent!

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Exercices 1:

Densité de probabilité


Dans chaque cas, justifier que la fonction $f$ est une densité de probabilité sur l'intervalle I indiqué:
1) $f$ est définie sur I=[0;2] par sa courbe ci-contre:
2) $f$ est définie sur I=[-1;1] par $f(x)=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}x^2$.
3) $f$ est définie sur I=[0;+$\infty$[ par $f(x)=e^{-x}$.


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Exercices 2: Calculer des probabilités avec une variable aléatoire continue
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=e^{-x}$. X est une variable aléatoire de densité $f$.
Calculer les probabilités suivantes: a) $\rm P(1\le X\le 2)$ b) $\rm P(X\ge 3)$.

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Exercices 3:

Probabilité conditionnelle et

densité de probabilité


On considère la fonction $f$ définie sur $[0;4]$ par $f(x)=\frac{1}{8}x$.
1) Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité sur [0;4].
2) Soit X est une variable aléatoire de densité $f$. Déterminer la probabilité: $\rm P_{X\ge 2}(1\le X\le 3)$.
3) Les évènements $\rm(X\ge 2)$ et $\rm (1\le X\le 3)$ sont-ils indépendants?
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Exercices 4:

Densité de probabilité

et fonction trigonométrique
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ par $f(x)=k\cos x$ où $k\in \mathbb{R}$.
1) Déterminer le réel $k$ tel que $f$ soit une densité de probabilité sur $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$.
2) Déterminer le réel $a\in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ tel que ${\rm P(}-a\le {\rm X}\le a)=\frac{1}{2}$.
Exercices 5:
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[1;5\right]$ par $f(x)=\frac{k}{t^2}$ où $k\in \mathbb{R}$.
1) Déterminer le réel $k$ tel que $f$ soit une densité de probabilité sur $\left[1;5\right]$.
2) Déterminer le réel $a$ tel que ${\rm P(X}\le a)={\rm P(X}\ge a)$.
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Exercices 6:

Espérance d'une variable aléatoire continue


Soit X une variable aléatoire de densité $f$ définie sur [0;3] par $f(x)=\frac{1}{9}x^2$.
Déterminer E(X).
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Exercice 7: Espérance sur un intervalle non borné
On considère la fonction $f$ définie sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=\frac{2}{x^3}$.
1) Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité sur $[1;+\infty[$.
2) Soit X une variable aléatoire de densité $f$. Déterminer l'espérance de X, notée E(X).
Exercice 8:
On considère la fonction $f$ définie sur $[1;2]$ par $f(x)=\frac{2}{x^2}$.
1) Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité sur $[1;2]$.
2) Soit X une variable aléatoire de densité $f$. Déterminer l'espérance de X, notée E(X).
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Exercice 9:
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ par $f(x)=\cos x$.
1) Vérifier que $f$ est bien une densité sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$.
2) Soient les fonctions $g$ et $G$ définies sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ respectivement par
$g(x)=x\cos x$ et $G(x)=ax\sin x+b\cos x$, où $a$ et $b$ sont des réels.
Déterminer $a$ et $b$ tels que la fonction $G$ soit une primitive de $g$.
3) Soit X une variable aléatoire de densité $f$. Déterminer l'espérance de X, notée E(X).

Probabilité continue: densité, espérance d'une variable aléatoire continue : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie