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Loi uniforme


Définition de la loi uniforme

Cours en vidéo: comprendre la définition de la loi uniforme et savoir l'utiliser Cours de math en vidéo
  • Dire que X suit une loi uniforme sur [a;b] 
    signifie que sa densité de probabilité est constante sur [a;b].

    sans oublier que $a\lt b$.
  • Dans ce cas, sa densité $f$ vaut 
    \[f(x)=\frac 1{b-a}\]


  • Quand utiliser une loi uniforme 
    Quand on choisit un nombre au hasard entre $a$ et $b$.
    Au hasard, ici signifie qu'on ne privilégie aucun nombre.
    On dit que c'est uniformément réparti.
    D'où le nom de loi uniforme.


    Par exemple, Julie doit arriver entre 13h et 15h.
    Cela, revient à choisir un nombre au hasard entre 13 et 15.
    On modélise cette situation par la loi uniforme sur [13;15] de densité constante $\frac 12$.




Propriétés de la loi uniforme

Cours en vidéo: comprendre les propriétés de la loi uniforme et savoir les utiliser Cours de math en vidéo
  • Si X suit une loi uniforme sur [a;b] alors:
    La probabilité de ${\rm P(}c\le {\rm X}\le d)$ vaut 
    \[{\rm P(}c\le {\rm X}\le d)=\frac {d-c}{b-a}=\frac{\text{Longueur de l'intervalle }[c;d]}{\text{Longueur de l'intervalle }[a;b]}\]

    sans oublier que $c\lt d$.





Espérance de la loi uniforme

Cours en vidéo: comprendre la formule de l'espérance d'une loi uniforme Cours de math en vidéo
  • Si X suit une loi uniforme sur [a;b] alors:
    Son espérance E(X) vaut 
    \[{\rm E(X)=}\frac {a+b}2\]

    L'espérance est la moyenne de $a$ et $b$.

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Exercices 1:

Loi uniforme et problème de rendez-vous


Anissa doit retrouver Manon au café entre 19 h et 20 h.
1) Quelle est la probabilité qu'Anissa arrive à 19 h 15?
2) Quelle est la probabilité qu'Anissa arrive avant 19 h 20?
3) Quelle est la probabilité qu'Anissa arrive entre 19 h 25 et 19 h 35?
Corrigé en vidéo
Exercices 2: Loi uniforme - rendez-vous - espérance
Chaque jour, la mère de Rose arrive à la maison à 12 h et repart à 12 h 30.
Et Rose arrive aléatoirement entre 11 h 45 et 13 h 15.
1) Quelle est la probabilité qu'elles se croisent?
2) Rose n'est pas à la maison à 12 h 15. Quelle est la probabilité qu'elles se croisent?
3) À quelle heure peut-on espérer voir Rose?
Corrigé en vidéo
Exercices 3: Loi uniforme - Bac S Centre étranger 2018
La masse en gramme des melons d'un maraîcher est modélisée par une variable aléatoire $\rm M$ qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $[850;x]$ avec $x> 1200$. On constate que $75\%$ des melons du maraîcher ont une masse comprise entre $900~\textbf{g}$ et $1200~\textbf{g}$. Déterminer $x$.
Exercices 4: Loi uniforme et évènements indépendants
Matthias et Alban ont rendez-vous à la gare entre 18 h et 19 h.
Ils arrivent indépendamment et au hasard entre 18h et 19h.
Quelle est la probabilité que tous les deux arrivent entre 18 h 35 et 18 h 45?
Corrigé en vidéo
Exercices 5: Loi uniforme et évènements indépendants
On choisit un nombre au hasard entre -2 et 2.
Sachant que ce nombre est supérieur à $1,8$, quelle est la probabilité que sa deuxième décimale soit 5?
Exercices 6: Loi uniforme et nombre aléatoire
On tire au hasard un nombre entre -1 et 3.
Quelle est la probabilité qu'il soit solution de l'inéquation $x^2-4\le 0$?
Exercices 7: Problème ouvert - loi uniforme
Antoine et Lætitia ont rendez-vous à la gare entre 17 h et 18 h.
Chacun attendra un quart d'heure, pas plus puis partira et en aucun cas après 18 h.
Ils arrivent indépendamment et aléatoirement entre 17 h et 18 h.
Quelle est la probabilité qu'ils se retrouvent?

Loi uniforme, probabilité, espérance : Exercices à Imprimer

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Stephane Chenevière
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