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Loi normale centrée réduite


\[\varphi (x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}2}\]
Cours en vidéo: comprendre et connaitre les propriétés de la fonction $\varphi$ Cours de math en vidéo On note $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[\varphi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}2}\].
  • La fonction $\varphi$ est appelée 
    fonction de Laplace-Gauss.
  • $\varphi$ est une fonction 
    paire
    car pour tout réel $x$, $\varphi(-x)=\varphi(x)$.

  • La courbe de $\varphi$ est 
    - symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.  
    car $\varphi$ est paire.

    - appelée courbe en cloche ou courbe de Gauss.

  • $\varphi$ est une densité car 
    - $\varphi$ est continue sur $\mathbb{R}$.
    - $\varphi$ est positive sur $\mathbb{R}$.
    - L'aire sous la courbe de $\varphi$ sur $\mathbb{R}$ vaut 1
    Propriété admise


  • Le calcul de $\int_a^b\varphi$ 
    se fait à la calculatrice.
    car on ne peut pas exprimer une primitive $\varphi$ à l'aide des fonctions connues.

    Le calcul de $\int_a^b\varphi$ sera donc une approximation.




Loi normale centrée réduite

Cours en vidéo: comprendre la loi normale centrée réduite et savoir l'utiliser Cours de math en vidéo
  • Dire que X suit une loi normale centrée réduite signifie 
    que sa densité de probabilité est la fonction $\varphi$.
    définie sur $\mathbb{R}$ par
    \[\varphi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}2}\]

  • Si X suit une loi normale centrée réduite alors:
    ${\rm P}(a\le {\rm X}\le b)=$   
    \[{\rm P}(a\le {\rm X}\le b)=\int_a^b \varphi(t)~{\rm d}t={\rm P}({\rm X}\le b)-{\rm P}({\rm X}\le a)\]
    où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a\le b$

    Le calcul de l'intégrale se fait à la calculatrice.
    ${\rm P(X\ge}a)=$   
    Par symétrie de la courbe:
    \[{\rm P(X\ge}a)={\rm P(X\le}-a)\]
    où $a$ un réel quelconque.

    Le calcul de l'intégrale se fait à la calculatrice.
    ${\rm P}({\rm X} \ge 0)=$ 
    \[{\rm P}({\rm X} \ge 0)=\frac 12\]

    ${\rm P}({\rm X}\le 0)=$   
    \[{\rm P}({\rm X}\le 0)=\frac 12\]

  • La loi normale centrée réduite est notée 
    $\mathcal{N}$(0;1).
    $\mathcal{N}$ pour normale
    Le premier paramètre 0 correspond l'espérance
    Le deuxième paramètre 1 correspond à $\sigma^2$, où $\sigma$ est l'écart-type.





Loi normale et calculatrice


♦ Savoir calculer ${\rm P}(a\le {\rm X}\le b)$, ${\rm P}({\rm X}\le a)$, ${\rm P}({\rm X}\ge a)$
    Avec une calculatrice CASIO Cours de math en vidéo
♦ Savoir utiliser Inverse Normale avec ${\rm P}({\rm X}\le x)=k$
    Avec une calculatrice CASIO Cours de math en vidéo




\[{\rm P}(-u_{\alpha}\le{\rm X}\le u_{\alpha})=1-\alpha\]

Pour tout nombre $\alpha\in]0;1[$  
il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que:
${\rm P}(-u_{\alpha}\le{\rm X}\le u_{\alpha})=1-\alpha$
\[\varphi(t)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}2}\]

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Comment calculer $u_{\alpha}$  
Par exemple pour calculer $u_{0.05}$:

Puis on utilise Inverse-normal:
\[\varphi(t)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}2}\]

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Espérance et écart-type

Cours en vidéo: Savoir déterminer l'espérance et l'écart-type avec la loi normale centrée réduite Cours de math en vidéo
  • Si X suit une loi normale centrée réduite alors:
    L'espérance de X, E(X)=  
    E(X)=0. 
    E(X)= \[\lim\limits_{x \to -\infty}\int_x^0 t\varphi(t)~{\rm d}t+\lim\limits_{x \to +\infty}\int_0^x t\varphi(t)~{\rm d}t \]

    L'espérance correspond à l'axe de symétrie


    L'écart-type de X, $\sigma(X)=$  
    $\sigma(X)=1$ 
    Propriété admise


Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Comprendre la fonction de Laplace-Gauss


On appelle fonction de Laplace-Gauss la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=\frac 1{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$.
1) Démontrer que la fonction $\varphi$ est paire. Interpréter.
2) Étudier les variations de la fonction $\varphi$ sur $\mathbb{R}$.
3) Déterminer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \varphi(x)$. Interpréter.
Exercices 2:

Loi normale centrée réduite et graphique


Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
On a tracé la courbe de Gauss.
Déterminer graphiquement un encadrement $\rm P(-0,3\leqslant X\leqslant 0,5)$.
Vérifier la cohérence de ce résultat à l'aide d'une calculatrice.



Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Utiliser les symétries de la courbe de Laplace-Gauss pour calculer des probabilités


Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
On donne $\rm P(Z \leqslant 1,2)\approx 0,885$ à $10^{-3}$ près.
Déterminer sans calculatrice, à $10^{-3}$ près, $\rm P(Z\geqslant -1,2)$ puis $\rm P(-1,2\leqslant Z\leqslant 1,2)$.
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Exercices 4:


Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
On sait que ${\rm P(X}<0,2)\approx 0,58$ et ${\rm P(X}\leqslant -0,3)\approx 0,38$.
A l'aide de ces informations et sans calculatrice, déterminer une valeur approchée de:
${\rm P(X}\geqslant -0,2)$ ${\rm P}(-0,2\leqslant {\rm X}\leqslant 0,3)$ ${\rm P}( {\rm X}\leqslant -0,3 \cup {\rm X}\geqslant 0,2)$
Exercices 5:

Utiliser sa calculatrice pour calculer des probabilités avec une loi normale


X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Déterminer à l'aide d'une calculatrice, avec trois décimales, $\rm P(X <-0,6)$ puis $\rm P(-1,2\le X \le 0,4)$.
Exercices 6:

Savoir utiliser Inverse Normale


X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
A l'aide d'une calculatrice, déterminer à $10^{-2}$ près, $\alpha$ tel que $\rm P(X\le \alpha)=0,9$.
Exercices 7:


On a tracé la courbe de Gauss.
L'aire du domaine coloré en marron vaut $0,2$.
Déterminer $x$ à $10^{-3}$ près.

Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Déterminer un intervalle centré en 0


X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et $t$ un réel positif.
1) Démontrer que si la probabilité ${\rm P}(-t \leqslant {\rm X} \leqslant t)=0,7 $ alors ${\rm P}({\rm X} \leqslant t)=0,85$.
2) A l'aide d'une calculatrice, en déduire la valeur de $t$ à $10^{-2}$ près.
Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Espérance de la loi normale centrée réduite


Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
Déterminer l'espérance de X, notée E(X).
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Théorème du cours: Démonstration


Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite. On note $\varphi$ la densité associée.
L'objectif de cet exercice est de montrer que:
Pour tout réel $\alpha\in ]0;1[$, il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$, tel que $ {\rm P}(-u_{\alpha}\leqslant {\rm X}\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha$
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t)= {\rm P}(-t\leqslant {\rm X}\leqslant t)$.
1) Justifier que $1-\alpha$ appartient à ]0;1[.
2) Justifier que pour tout $t\geqslant 0$, $f(t)=2\int_{0}^t \varphi (x)~{\rm d}x$.
3) Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$ puis conclure.
Corrigé en vidéo
Exercices 11:

Savoir déterminer $u_{\alpha}$


Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite et $\alpha\in ]0;1[$
L'objectif de cet exercice est de savoir déterminer le réel positif $u_\alpha$ tel que $ {\rm P}(-u_{\alpha}\leqslant {\rm X}\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha$.
1) Démontrer que $u_{\alpha}$ vérifie \[{\rm P}({\rm X}\leqslant u_{\alpha})=1-\frac{\alpha}{2}\].
2) En déduire $u_{0,05}$ et $u_{0,01}$.
Exercices 12:

Loi normale : Application concrète


La température T, en degré Celsius, à 6h du matin à La Rochelle, suit en janvier la loi normale centrée réduite.
1) Quelle est l'espérance de T? Interpéter.
2) Est-il vrai que dans 99$\%$ des cas, la température à 6h du matin est comprise entre -2° et 2° ?
3) Dans quel intervalle centré en 0, se situe 60$\%$ des températures à 6h du matin?
4) Quelle est la probabilité à $10^{-1}$ près d'avoir en janvier une température à 6h du matin supérieure à 4°?

Loi normale centrée réduite : Exercices à Imprimer

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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
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