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Intervalle de fluctuation


Cours

Cours en vidéo: Intervalle de fluctuation au seuil de 95% Cours de math en vidéo
  • Soit $p$ la proportion d'un caractère dans une population
    Par exemple:
    - La proportion de gauchers dans la population française.
    - La proportion de personnes votant pour un candidat.

  • Soit $f$ la fréquence du caractère dans un échantillon
    La fréquence $f=\frac {\textbf{nombre d'individus ayant ce caractère dans l'échantillon}}{\textbf{taille de l'échantillon}}$

  • Quand utiliser un intervalle de fluctuation
    - Pour estimer $f$.
    - Pour vérifier la valeur de $p$ qu'on nous donne.
  • Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
    L'intervalle \[{\rm I}_n=\left[p-1.96\frac{\sqrt {p(1-p)}}{\sqrt n}; p+1.96\frac{\sqrt {p(1-p)}}{\sqrt n}\right]\]
    est appelé intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
    $p$ est la proportion du caractère étudié.
    $n$ est la taille de l'échantillon.

  • Lien avec la fréquence
    Lorsque $n$ augmente, la probabilité que $f$ appartienne à ${\rm I}_n$ tend vers 0.95
    D'où le terme "asymptotique".

  • Conditions d'utilisation
    Pour pouvoir utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique,
    on vérifie que les 3 conditions suivantes sont remplies:
    $n\geqslant 30$ et $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$
    $p$ est la proportion du caractère étudié.
    $n$ est la taille de l'échantillon.

  • Règle de décision
    Pour vérifier la valeur de $p$:
    1) On fait l'hypothèse que la proportion du caractère est la valeur de $p$ qu'on nous donne.
    2) On détermine un intervalle de fluctuation ${\rm I}_n$ à l'aide $p$ et $n$.
    2) On vérifie que les 3 conditions d'utilisation sont bien remplies
    $n\geqslant 30$ et $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$

    3) On conclut:
        - Si $f$ n'appartient pas à ${\rm I}_n$, on rejette l'hypothèse faite sur $p$
    Dans le cas où on a utilisé un intervalle au seuil de 95%
    Il y a un risque d'erreur d'environ 5%
    c'est à dire qu'il y a une probabilité
    de rejetter à tort l'hypothèse faite sur $p$ d'environ 0,05.


        - Si $f$ appartient à ${\rm I}_n$, on accepte l'hypothèse
    Quand on accepte l'hypothèse,
    on ne peut pas quantifier le risque d'erreur,
    c'est à dire le risque d'accepter à tort l'hypothèse faite sur $p$.

Cours en vidéo: Intervalle de fluctuation au seuil de $1-\alpha$ Cours de math en vidéo
  • Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $1-\alpha$
    Au lieu de travailler au seuil de 95%, on peut travailler avec un autre seuil, $1-\alpha$.
    La formule est un petit peu plus compliquée,
    mais l'utilisation de l'intervalle de fluctuation reste la même.
  • La formule au seuil de $1-\alpha$
    L'intervalle \[{\rm I}_n=\left[p-u_\alpha\frac{\sqrt {p(1-p)}}{\sqrt n}; p+u_\alpha\frac{\sqrt {p(1-p)}}{\sqrt n}\right]\]
    est appelé intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $1-\alpha$.
    $p$ est la proportion du caractère étudié.
    $n$ est la taille de l'échantillon.
    Pour déterminer $u_\alpha$:
    Cliquer Ici




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Exercices 1: Utiliser un

intervalle de fluctuation

pour prendre une décision
Dans un casino, un contrôleur doit vérifier que la probabilité de gain d'une machine à sous est de $0,1$.
A l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, indiquer dans chaque cas, sa conclusion:
1) Le contrôleur joue 40 fois et gagne 3 fois.
2) Le contrôleur joue 100 fois et gagne 4 fois.
3) Le contrôleur joue 400 fois et gagne 32 fois.
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Exercices 2: Utiliser un

intervalle de fluctuation

pour prendre une décision
Des étudiants se préparent à un examen portant sur 4 thèmes (${\rm A,~ B,~ C}$ et ${\rm D}$).\\ Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. Peut-on rejeter au seuil de 95%, l'affirmation suivante:
''Il y a une chance sur deux que le thème $\rm A$ soit évalué le jour de l'examen.''

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie