Inverse d'une matrice - Matrice inversible

Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 &1 &1 \end{pmatrix}$
Justifier que $\rm A$ est inversible et déterminer son inverse par 3 méthodes:

1. en résolvant un système
2. en utilisant la matrice augmentée [ A | I ]
3. en utilisant un polynôme annulateur:
   1. Vérifier que $\rm X^3-4X-2$ est un polynôme annulateur de $\rm A$.
   2. En déduire que $\rm A$ est inversible et déterminer son inverse.

Soit $\rm{A}$ une matrice carrée telle que $\rm{A}^2 = 0$.

1. À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que $\rm{A}$ n'est pas inversible.
2. Montrer, en revanche, que $\rm{I} + \rm{A}$ est inversible ($\rm{I}$ désignant la matrice identité de même ordre que $\rm{A}$).

On considère la matrice $\rm{A} = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.

1. Calculer $\rm A^2$, puis $\rm{A}^2 -3\rm{A} + 2\rm{I}_2$.
2. En déduire que la matrice $\rm{A}$ est inversible et donner son inverse.