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Puissance d'une matrice ${\rm A}^n$


Puissance d'une matrice

Matrice: Comment calculer ${\rm A}^n$ - cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Condition sur la matrice 
    On ne parle de puissance de matrice $\boldsymbol{{\rm A}^n}$ que pour les matrices carrées.
    Si une matrice A n'est pas carrée,
    cela n'a aucun sens de parler de ${\rm A}^n$.
  • $\boldsymbol{{\rm A}^n}=$
    Soit A une matrice carrée et un entier $n\geqslant 1$
    $\boldsymbol{{\rm A}^n}=\underbrace{{\rm A}\times ...\times {\rm A}}_{n \text{ facteurs}}$
  • $\boldsymbol{{\rm A}^0}=$
    Par définition
    $\boldsymbol{{\rm A}^0}={\rm I}_k$
    ${\rm I}_k$ désigne la matrice identité d'ordre $k$
    c'est à dire
    la matrice carrée avec $k$ lignes et $k$ colonnes
    des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
    $k$ est l'ordre de la matrice $\rm A$
    c'est à dire le nombre de ligne
    ou de colonne de A.







    Exemple:
    Si ${\rm A}=\begin{pmatrix} 2&-3&5\\ 4&0&-1\\ 2& 1&4 \end{pmatrix}$ alors ${\rm A}^0=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}={\rm I}_3$
  • $({\rm I}_k)^n=$
    $({\rm I}_k)^n={\rm I}_k$
    $({\rm I}_k)$ est l'élèment neutre de la multiplication des matrices.
    L'équivalent du 1 pour les nombres.


    $\boldsymbol{({\rm I}_k)^n}=\underbrace{{\rm I}_k\times ...\times {\rm I}_k}_{n \text{ facteurs}}={\rm I}_k$

    Quand multiplie par la matrice identité, ça ne change rien, d'où son nom!



    Exemples:
    ${\rm I}_3=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ 0&1&0 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}$
    ${{\rm I}_3}^5={\rm I}_3\times {\rm I}_3\times {\rm I}_3\times {\rm I}_3\times {\rm I}_3={\rm I}_3=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ 0&1&0 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}$
  • Puissance d'une matrice diagonale
    Soit D une matrice diagonale d'ordre $k$.
    Si ${\rm D}=\begin{pmatrix} a_1& 0 & ...&0\\ 0&a_2 &\ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\0&...&0&a_k \end{pmatrix}$ alors    ${\rm D}^n=\begin{pmatrix} {a_1}^n& 0 & ...&0\\ 0&{a_2}^n &\ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\0&...&0&{a_k}^n \end{pmatrix}$
    $n$ est un entier et $n\geqslant 1$


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  • Technique 1 pour calculer ${\rm A}^n$
    Si dans l'énoncé, on demande de démontrer que ${\rm A}^n=....$
    penser à faire un raisonnement par récurrence.

    Exemple:
    Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} $. Montrer que pour tout entier $n\geqslant 0$:  ${\rm A}^n=\begin{pmatrix} 2-2^n & 2^n-1 \\ 2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1 \end{pmatrix} $
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  • Technique 2 pour calculer ${\rm A}^n$
    Si dans l'énoncé, on demande de démontrer que $\rm A=B+C$
    souvent on utilise le fait que
    ${\rm B}^n$ et ${\rm C}^n$ sont faciles à calculer .

    Exemple:
    On considère la matrice ${\rm A}=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} $.
    1) Calculer $\rm B=A-I_2$
    2) Calculer $\rm B^2$
    3) En déduire pour tout entier $n\geqslant 0$, l'expression de ${\rm A}^n$ en fonction de $n$.
  • Technique 3 pour calculer ${\rm A}^n$
    Si dans l'énoncé, on demande de démontrer que
    $\rm D=P^{-1}AP$ est une matrice diagonale
    La matrice $\rm P$ est donnée dans l'énoncé.


    on procède souvent de la façon suivante:

    1) On vérifie que $\rm P$ est inversible puis on détermine $\rm P^{-1}$.
    2) On calcule $\rm D=P^{-1}AP$ et on vérifie que $\rm D$ est bien diagonale.
    3) On démontre qu'alors $\rm A=PDP^{-1}$.
    On dit qu'on a diagonalisé la matrice $\rm A$.
    D'où le nom de la méthode: Diagonalisation !


    4) On démontre par récurrence que ${\rm A}^n={\rm P}{\rm D}^n {\rm P^{-1}}$.
    5) On calcule ${\rm P}{\rm D}^n {\rm P^{-1}}$ et on conclut.

    Exemple:
    Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 \\ 0,2 & 0,9 \end{pmatrix} $ et ${\rm P}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $.
    1) Calculer $\rm P^2$ et vérifier que $\rm P$ est inversible.
    2) Vérifier que ${\rm D}={\rm P^{-1}}{\rm A}{\rm P}$ est une matrice diagonale que l'on précisera.
    3) En déduire pour tout entier $n\geqslant 1$, l'expression de ${\rm A}^n$ en fonction de $n$.



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Exercices 1:

Matrices : Démonstration d'un résultat du cours - Puissances d'une matrice diagonale


Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels. On considère la matrice ${\rm D}=\begin{pmatrix} a & 0&0 \\ 0&b & 0\\ 0&0&c\\ \end{pmatrix} $.
Déterminer pour tout entier $n\geqslant 1$, l'expression de ${\rm D}^n$.
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Exercices 2:

Matrices : un calcul de puissances par récurrence


Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} $. Montrer que pour tout entier $n\geqslant 0$: ${\rm A}^n=\begin{pmatrix} 2-2^n & 2^n-1 \\ 2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1 \end{pmatrix} $
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Exercices 3:

Calculer ${\rm A}^n$ en utilisant les propriétés de $\rm A$


On considère la matrice ${\rm A}=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} $.
1) Calculer $\rm B=A-I_2$
2) Calculer $\rm B^2$
3) En déduire pour tout entier $n\geqslant 0$, l'expression de ${\rm A}^n$ en fonction de $n$.
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Calculer ${\rm A}^n$ à l'aide d'une diagonalisation


Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 \\ 0,2 & 0,9 \end{pmatrix} $ et ${\rm P}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $.
1) Calculer $\rm P^2$ et vérifier que $\rm P$ est inversible.
2) Vérifier que ${\rm D}={\rm P^{-1}}{\rm A}{\rm P}$ est une matrice diagonale que l'on précisera.
3) En déduire pour tout entier $n\geqslant 1$, l'expression de ${\rm A}^n$ en fonction de $n$.
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Exercices 5:

Matrices : un calcul de puissances par récurrence


On pose : $A =\begin{pmatrix} 1& 1\\ 0& 2 \end{pmatrix}$
1) Calculer $A^2$, $A^3$, et $A^4$.
2) Conjecturer l'expression de $A^n$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
3) Démontrer votre conjecture en utilisant un raisonnement par récurrence.
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Exercices 6:

Matrices : un calcul de puissances à l'aide d'une décomposition


On considère la matrice $A =\begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 1& -1&-1\\ -1& 4&3\\ \end{pmatrix}$
1.a) Déterminer la matrice $J$ telle que $A =I_3 + J$.
1.b) Démontrer que pour tout entier $n$ avec $n\geqslant 3$, on a : $J^n = 0_3$.
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$, on a :
\[A^n = I_3 + nJ + \frac{n(n-1)}{2}J^2 \] 3) En déduire la matrice $A^n$ en fonction de $n$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
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Exercices 7:

Matrices : un calcul de puissances à l'aide d'une diagonalisation


On considère les matrices $A =\begin{pmatrix} -1& 0&0\\ -8& 0&-8\\ 9& 0&8\\ \end{pmatrix}$, $P =\begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 0& 1&-1\\ -1& 0&1\\ \end{pmatrix}$ et $Q =\begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 1& 1&1\\ 1& 0&1\\ \end{pmatrix}$
  1. Vérifier que les matrices $P$ et $Q$ sont inverses l'une de l'autre.
  2. On définit la matrice $B = Q \times A \times P$.
    Calculer $B$ et exprimer pour $n$ entier naturel non nul $B^n$ en fonction de $n$.
    1. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $A^n = P \times B^n \times Q$.
    2. Calculer $A^n$ pour tout entier naturel non nul $n$.

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