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Matrice - Evolution - Graphe


Matrice et évolution

Matrice et évolution - Graphe - ${\rm X}_{n+1}={\rm A}{\rm X}_n$ et ${\rm X}_{n+1}={\rm A}{\rm X}_n+{\rm B}$ - cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Arbre pondéré et suite  
    Il est très important de savoir
    traduire une situation qui évolue à l'aide d'un arbre pondéré

    Exemple:
    Si Rose est à l'heure un jour, elle sera à l'heure le lendemain avec une probabilité de $0,3$
    Si Rose est en retard un jour, elle sera à l'heure le lendemain avec une probabilité de $0,8$.
    ${\rm A}_n$ est l'événement: " Rose est à l'heure le n-ième jour."
    ${\rm B}_n$ est l'événement: " Rose est en retard le n-ième jour."
    $\boldsymbol{0,3}$  
    $\boldsymbol{0,3}$ est la probabilité que Rose arrive à l'heure le jour $n+1$ sachant
    qu'elle est arrivée à l'heure le jour $n$.
    $\boldsymbol{0,7}$  
    Pour trouver $\boldsymbol{0,7}$, on utilise le fait que
    la somme des probabilités qui partent d'un même noeud est égale à 1.
    $\boldsymbol{0,3+0,7=1}$
    $\boldsymbol{0,2}$  
    Pour trouver $\boldsymbol{0,2}$, on utilise le fait que
    la somme des probabilités qui partent d'un même noeud est égale à 1.
    $\boldsymbol{0,8+0,2=1}$
    $\boldsymbol{a_n}$  
    $\boldsymbol{a_n}$ est la probabilité que Rose arrive à l'heure le n-ième jour.
    $\boldsymbol{b_n}$  
    $\boldsymbol{b_n}$ est la probabilité que Rose arrive en retard le n-ième jour.
    $\boldsymbol{0,8}$  
    $\boldsymbol{0,8}$ est la probabilité que Rose arrive à l'heure le jour $n+1$ sachant
    qu'elle est en retard le jour $n$.

    On en déduit:
    $\left \{ \begin{array}{l } {\rm P}({\rm A}_{n+1})=a_{n+1}=0,3a_n+0,8b_n \\ {\rm P}({\rm B}_{n+1})=b_{n+1}=0,7a_n+0,2b_n \\ \end{array} \right.$
    D'après la formule des probabilités totales
  • Graphe probabiliste et suite
    Il est très important de savoir
    traduire une situation qui évolue à l'aide d'un graphe probabiliste

    Exemple:
    Si Rose est à l'heure un jour, elle sera à l'heure le lendemain avec une probabilité de $0,3$
    Si Rose est en retard un jour, elle sera à l'heure le lendemain avec une probabilité de $0,8$.

    Graphe probabiliste correspondant à la situation:
    $\boldsymbol{0,3}$ est la probabilité de rester à l'heure,
    c'est à dire que Rose soit à l'heure un jour
    sachant que le jour précedent elle était à l'heure.
    A est l'état qui correspond au fait d'être à l'heure.
    $\boldsymbol{0,8}$ est la probabilité de passer de l'état "Etre en retard" à "Etre à l'heure",
    c'est à dire que Rose soit à l'heure un jour sachant que le jour précedent elle était en retard.
    $\boldsymbol{0,7}$ est la probabilité de passer de l'état "Etre à l'heure" à "Etre en retard"
    c'est à dire que que Rose soit en retard un jour sachant que le jour précedent elle était à l'heure.
    B est l'état qui correspond au fait d'être en retard.
    $\boldsymbol{0,3}$ est la probabilité de rester en retard,
    c'est à dire que Rose soit en retard un jour
    sachant que le jour précedent elle était en retard.


    On en déduit:
    $\left \{ \begin{array}{l } {\rm P}({\rm A}_{n+1})=a_{n+1}=0,3a_n+0,8b_n \\ {\rm P}({\rm B}_{n+1})=b_{n+1}=0,7a_n+0,2b_n \\ \end{array} \right.$
    Pour $\boldsymbol{a_{n+1}}$, on utilise les flèches qui pointent vers A
    Pour $\boldsymbol{b_{n+1}}$, on utilise les flèches qui pointent vers B
    C'est une autre façon de présenter
    la formule des probabilités totales.
  • Suite $\boldsymbol{\rightarrow}$ Matrice
    Il est très important de savoir écrire
    un système de suites à l'aide de matrices.

    Il y a 2 méthodes:
    • Avec une matrice colonne:
      $\left \{ \begin{array}{l } a_{n+1}=0,3a_n+0,8b_n \\ b_{n+1}=0,7a_n+0,2b_n \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a_{n+1}\\ b_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,3&0,8\\0,7&0,2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{n}\\ b_{n} \end{pmatrix}\Leftrightarrow {\rm X}_{n+1}={\rm A}{\rm X}_n$
      avec ${\rm X}_n=\begin{pmatrix} a_{n}\\ b_{n} \end{pmatrix}$
      et ${\rm A}=\begin{pmatrix} 0,3&0,8\\0,7&0,2 \end{pmatrix}$


      ${\rm X}_n$ est une matrice colonne
      située à droite de la matrice ${\rm A}$


    • Avec une matrice ligne:
      $\left \{ \begin{array}{l } a_{n+1}=0,3a_n+0,8b_n \\ b_{n+1}=0,7a_n+0,2b_n \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{n}& b_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0,3&0,7\\0,8&0,2 \end{pmatrix}\Leftrightarrow {\rm X}_{n+1}={\rm X}_n{\rm A}$
      avec ${\rm X}_n=\begin{pmatrix} a_{n}& b_{n} \end{pmatrix}$
      et ${\rm A}=\begin{pmatrix} 0,3&0,7\\0,8&0,2 \end{pmatrix}$



      ${\rm X}_n$ est une matrice ligne
      située à gauche de la matrice ${\rm A}$



    L'énoncé souvent impose si ${\rm X}_n$ est une matrice ligne ou colonne.
    Attention
    ce n'est pas la même matrice A
    avec la première et la deuxième méthode!

  • $\boldsymbol{{\rm X}_{n+1}={\rm A}{\rm X}_n}$
    $\boldsymbol{{\rm X}_{n+1}={\rm A}{\rm X}_n}$
    1) Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 0$, $\boldsymbol{{\rm X}_{n}={\rm A}^n{\rm X}_0}$
    Il s'agit d'une suite géométrique de matrice.
    Et la raison est $\boldsymbol{\rm A}$.


    2) Calculer ${\rm A}^n$
    Très souvent, vous serez guidé dans l'énoncé.
    Il y a 3 méthodes qui sont expliquées sur cette page


  • $\boldsymbol{{\rm X}_{n+1}={\rm A}{\rm X}_n+{\rm B}}$
    $\boldsymbol{{\rm X}_{n+1}={\rm A}{\rm X}_n+{\rm B}}$
    1) Chercher une matrice $\boldsymbol{\rm X}$ telle que $\boldsymbol{{\rm X}={\rm A}{\rm X}+B}$
    Pour Trouver $\boldsymbol{ \rm X}$:
        $\boldsymbol{{\rm X}={\rm A}{\rm X}+B}$
    $\boldsymbol{\Leftrightarrow \rm X-AX=B}$
    On regroupe les $\boldsymbol{\rm X}$ à gauche
    comme avec une équation du type $x=3x+4$.


    $\boldsymbol{\Leftrightarrow \rm (I-A)X=B}$
    On factorise.
    $\boldsymbol{\rm I}$ désigne la matrice identité.


    $\boldsymbol{\Leftrightarrow \rm CX=B}$
    On appelle $\boldsymbol{\rm C}$ la matrice $\boldsymbol{\rm I-A}$.


    $\boldsymbol{\Leftrightarrow \rm C^{-1}CX=C^{-1}B}$
    On multiplie par $\boldsymbol{\rm C^{-1}}$ des 2 côtés
    sous réserve que $\boldsymbol{\rm C}$ soit inversible.

    Pour trouver $\boldsymbol{\rm C^{-1}}$,
    on peut utiliser sa calculatrice


    $\boldsymbol{\Leftrightarrow \rm X=C^{-1}B}$
    Voilà, on a trouvé $\boldsymbol{\rm X}$!



    2) On soustrait membre à membre
    pour se débarasser de $\boldsymbol{\rm B}$

    $\begin{align*} \boldsymbol{{\rm X}_{n+1}}&\boldsymbol{={\rm A}{\rm X}_n+{\rm B}}\\ \boldsymbol{-\phantom{tttttttt} \rm X}&\boldsymbol{\rm =AX+B}\\ \hline{\boldsymbol{{\rm X}_{n+1}-X}}&{\boldsymbol{={\rm A}({\rm X}_n-{\rm X})}}\\ \end{align*}$
    3) On Pose $\boldsymbol{{\rm Y_n}={\rm X_n}-{\rm X}}$
    4) On obtient: $\boldsymbol{{\rm Y}_{n+1}={\rm A}{\rm Y}_n}$
    5) On démontre que $\boldsymbol{{\rm Y}_n={\rm A}^n{\rm Y}_0}$
    6) On déduit que $\boldsymbol{{\rm X}_n={\rm Y}_n+{\rm X}={\rm A}^n{\rm Y}_0+{\rm X}}$

    Tout est détaillé dans la vidéo



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Exercices 1:

Matrice et graphe probabiliste


Un automate peut se trouver dans deux états ${\rm A}$ ou ${\rm B}$. À chaque seconde il peut soit rester dans l'état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans l'état ${\rm A}$ après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans l'état ${\rm B}$ après $n$ secondes.
Au départ, l'automate est dans l'état ${\rm B}$. Gaspard affirme qu'après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état $\rm A$ que d'être dans l'état $\rm B$. Cette affirmation est-elle vraie?
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Exercices 2:

Matrices : suite du type $U_{n+1} =AU_n$


Des souris sont dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte dix minutes tous les jours. Chaque jour 20% des souris du compartiment A passent dans le compartiment B et 10% des souris qui étaient dans le compartiment B passent dans le compartiment A. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B après $n$ jours et on convient que $a_0 = b_0 =0,5$ et on note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
  1. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
  2. Déterminer la matrice $A$ telle que pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = AU_{n}$.
  3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $U_{n} = A^nU_{0}$.
  4. On admet que pour tout entier naturel $n$, $A^n = \begin{pmatrix}\frac{1 +2 \times 0,7^n}{3}&\frac{1 - 0,7^n}{3}\\ \frac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}&\frac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}$.
    Que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B ?
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Exercices 3:

Matrices et suites récurrentes linéaires d'ordre 2


Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $u_{n+2} = \frac{3}{2}u_{n+1} - \frac{1}{2}u_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_{n}\end{pmatrix}$
  1. Donner $U_0$ et $U_1$.
  2. Déterminer la matrice $A$ telle que pour tout entier naturel $n$, on ait : $U_{n+1} = A U_n$.
  3. Donner sans justifier pour tout entier naturel $n$, $U_n$ en fonction de $A$, $n$ et $U_0$.
  4. On admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n = \dfrac{1}{2^n}\begin{pmatrix}2^{n+1}-1&-2^n+1\\2^{n+1}-2&-2^n+2\end{pmatrix}$.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis donner la limite de la suite $(u_n)$.
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Exercices 4:

Matrices : une suite du type $U_{n+1} = AU_n + B$


Soit $(U_n)$ la suite de matrices de taille $(2~;~1)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$U_0 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + B$ avec $A = \begin{pmatrix}1/2&1\\0&1/2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$
  1. Calculer $A(I_2-A)$ et en déduire que la matrice $I_2-A$ est inversible. Donner $(I_2-A)^{-1}$.
  2. Déterminer la matrice $L$ de taille $(2~;~1)$ qui vérifie $L = AL + B$.
  3. Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n - L$.
    1. Montrer que pour tout entier naturel, $V_{n+1} = AV_n$.
    2. En déduire une expression de $V_n$ puis de $U_n$ en fonction de $A$ et $n$.
  4. On admet que la suite $(A^n)$ tend vers la matrice nulle d'ordre $2$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
    Que peut-on en déduire pour la suite $(U_n)$ ?
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Exercices 5:

Marches aléatoires : le cours à travers un exemple


Dans un pays imaginaire, s'il fait beau et sec un jour, il fera encore beau et sec avec une probabilité de $5/6$ le lendemain. Dans le cas contraire, il fera humide. S'il fait humide un jour, on convient également qu'il fera encore humide avec une probabilité de $2/3$ et qu'il fera beau et sec sinon. Aujourd'hui, il fait beau et sec.
On note:
    $A_n$ l'événement : "il fait beau et sec dans $n$ jours"
    $B_n$ l'événement : "il fait humide dans $n$ jours".
Calculer ${ \rm P}(A_n) = p_n$ et ${\rm P}(B_n) = q_n$ pour tout entier $n$.
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Exercices 6:

Marches aléatoires : un problème d'urnes


On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne.
Ce processus peut être vue comme une marche aléatoire sur un espace à trois états : $A$ : "il y a 0 boule blanche dans U", $B$ : "il y a 1 boule blanche dans U" et $C$ : "il y a 2 boules blanches dans U".
  1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice d'état du système après $n$ tirages. On a donc en particulier $P_0 = \begin{pmatrix}0 & 0& 1\end{pmatrix}$. Déterminer la matrice de transition $T$ telle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1} = P_nT$.
  3. On admet que la suite de matrices $(P_n)$ converge vers une matrice d'état stable $P$ qui vérifie $P = PT$. Déterminer $P$ et interpréter.
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Exercices 7:

Marches aléatoires : le problème du collectionneur - Problème ouvert


Une marque de corn flakes donne en cadeau une figurine dans chacun de ses paquets. Il y a $3$ figurines différentes. Combien faut-il acheter de paquets pour être sûr à au moins 90% d'avoir la collection complète (en supposant que les différentes figurines sont équitablement réparties dans les paquets) ?

Matrice et suite - Spé Maths : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie