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Terminale S

Fonction exponentielle


fonction exponentielle
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Commencer par regarder Cours de math en vidéo pour avoir une vision d'ensemble
    • Faire les exercices sur : simplifier, (in)équation, limite, dérivation
    • Démontrer les propriétés de l'exponentielle
    • Faire les exercices type Bac
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices et comment le retenir Cours de math en vidéo ♦ Comprendre la définition mathématique Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • On admet l'existence d'une fonction f dérivable sur ℝ qui vérifie les 2 conditions suivantes:
    {
    f = f '
    f(0)=1
  • On démontre qu'il n'existe qu'une seule fonction qui vérifie ces 2 conditions.
    Cette fonction est appelée exponentielle et est notée exp
    Autrement dit: exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1

    La démonstration peut être demandée le jour du Bac. Tout est expliqué dans la vidéo.




Propriétés de la fonction exponentielle

♦ propriétés de la fonction exponentielle : cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête

  • Propriétés algébriques de la fonction exponentielle:
    exp(x+y) =
    \(\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\)
    exp(-x) =
    \[\exp(-x)=\frac 1 {\exp(x)}\]
    exp(x-y) =
    \[\exp(x-y)=\frac {\exp(x)} {\exp(y)}\]
    exp(nx) =
    \[\exp(nx)={\exp(x)}^n\] où \(n\) est un entier

    On a décidé de noter exp(x)=ex. Avec cette notation, ces propriétés s'écrivent:
    $e^{x+y}=$
    \[e^{x+y}=e^x \times e^y\]
    e-x =
    \[e^{-x}=\frac 1{e^x}\]
    ex-y =
    \[e^{x-y}=\frac {e^x}{e^y}\]
    (ex)n =
    \[(e^x)^n=e^{nx}\] où \(n\) est un entier

    e1 est noté
    e1 est noté e
         et vaut
    \[e\simeq 2.7\] à \(10^{-1}\) près

    e0=
    e0=1
    \[e^{\frac 12}\]=
    \[e^{\frac 12}=\sqrt{e}\]

  • Variations, signe, équation et inéquation avec la fonction exponentielle
    La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur ℝ
    On en déduit que pour tout x et y réels,
    {
    ex >
    \[e^x > 0\]

    ex = ey
    \[e^x=e^y \Leftrightarrow x=y\]
    A utiliser pour résoudre des équations

    ex ≤ ey
    \[e^x\le e^y \Leftrightarrow x\le y\]
    A utiliser pour résoudre des inéquations
    En particulier,
    {
    ex = 1
    \[e^x=1 \Leftrightarrow x=0\]
    A utiliser pour résoudre des équations

    ex ≤ 1
    \[e^x\le 1 \Leftrightarrow x\le 0\]
    A utiliser pour résoudre des inéquations

  • Limites et fonction exponentielle
    lim x → +∞
    ex =
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} e^x=+\infty\]
    lim x → - ∞
    ex =
    \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} e^x=0\]
    lim x → +∞
    ex / x
    =
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac{e^x}x=+\infty\]
    On retient qu'à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur \(x\).
    lim x → - ∞
    xex =
    \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} xe^x=0\]
    On retient qu'à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur \(x\).
    lim x → 0
    ex-1 / x
    =
    \[\lim_{\substack{x \to 0}} \frac{e^x-1}x=1\]
    Penser au taux d'accroissement en 0.

  • Dérivation et fonction exponentielle
    Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors
    {
    eu est dérivable sur I
    (eu)' =
    \[(e^u)'=u'e^u\]
    Ne pas oublier le \(u'\) !

    En particulier, si f(x)=ex alors f '(x)=
    \[f'(x)=e^x\]

    u et eu ont
    \(u\) et \(e^u\) ont les mêmes variations
    Pratique pour trouver les variations de \(e^u\) quand on connait les variations de \(u\).




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Exercices 1:

Simplifier une expression avec la fonction exponentielle


Simplifier les expressions suivantes où \(x\) est un réel quelconque:
\[a)~\frac{e^{1+x}}{e^{x+2}}\] \[b)~\frac{e^{3x}+e^x}{e^{2x}+e^x}\] \[c)~\left(\frac{e}{e^{-x}}\right)^4\]
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Exercices 2: Résoudre des

équations avec la fonction exponentielle


Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes:
\[a)~e^{2-x}=e^x\] \[b)~e^{2x+3}=1\] \[c)~e^{5-x^2}=e\]
\[d)~e^{-x}=0\] \[e)~2e^{-x}=\frac{4}{e^x+1}\] \[f)~2e^{-x}=\frac{1}{e^x+1}\]
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Exercices 3: Résoudre des

inéquations avec la fonction exponentielle


Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes:
\[a)~e^{2x}-e^{x+1}<0\] \[b)~1-e^{x-2}\ge 0\] \[c)~e^x-\frac{1}{e^x} \le 0\] \[d)~\frac {1}{e^x}-e>0\]
Exercices 4: Résoudre des équations et inéquations avec des exponentielles en posant X=e^x - changement d'inconnue.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes, en posant \(X=e^x\):
\[a)~2e^{2x}-e^x=1\] \[b)~e^{2x}+2e^x-3\le 0\]
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Exercices 5: Déterminer le

signe d'une expression avec la fonction exponentielle


Déterminer le signe des expressions suivantes sur \(\mathbb{R}\):
\[a)~1-e^x\] \[b)~e^{2x}-1\] \[c)~e^{2x}-e^{x+1}\] \[d)~e^{(x^2)}-e^{x}\] \[e)~1-\frac 1{e^{x}}\]
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Exercices 6:

Inégalité avec la fonction exponentielle


Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1-e^{-x}$.
1) Démontrer que pour tout réel $x<0$,   \[f(x)<0\].
2) Démontrer que pour tout réel $x\ge 0$,   \[0\le f(x)<1\] .
Exercices 7: Démonstration des limites du cours avec la fonction exponentielle -
lim x → +∞
ex = +∞ -
lim x → - ∞
ex = 0
L'objectif de cet exercice est de déterminer \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}e^x\]    et   \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}e^x\]
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^x-x\).
    1) Déterminer les variations de \(f\).
    2) En déduire que pour tout \(x\) réel, \(e^x \ge x\)
    3) En déduire \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}e^x\]
    4) En déduire \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}e^x\]. On pourra poser \(X=-x\)
Exercice 8: Démonstration des limites du cours - fonction exponentielle
lim x → +∞
ex / x
= +∞ -
lim x → - ∞
xex = 0
L'objectif de cet exercice est de déterminer \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{e^x} x\]    et   \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}x e^x\]
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=e^x-\frac{x^2} 2\].
    1) Déterminer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
    2) Déterminer le signe de \(f''(x)\) puis de \(f'(x)\) et en déduire les variations de \(f\).
    3) En déduire que pour tout \(x > 0\), \(f(x) \ge 0\).
    4) En déduire \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{e^x} x\].
    5) En déduire \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}x e^x\]. On pourra poser \(X=-x\).
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Exercice 9: Déterminer des

limites avec la fonction exponentielle


Étudier les limites suivantes:
\[a)~\lim_{\substack{x \to +\infty}} x-e^x+1\] \[b)~\lim_{\substack{x \to -\infty}} x-e^x+1\] \[c)~\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac{e^x-x}{e^{2x}+1}\] \[d)~\lim_{\substack{x \to +\infty}} xe^x-x-1\]
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Exercice 10: limite avec des exponentielles
Étudier les limites suivantes:
\[a)~\lim_{\substack{x \to +\infty}} \left(2x+1\right){e^{-x}}\] \[b)~\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac{2x+1}{e^{x}}\] \[c)~\lim_{\substack{x \to -\infty}} {x}\left(e^{2x}-e^x\right)\]
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Exercice 11: limite avec des exponentielles
Étudier les limites suivantes:
\[a)~\lim_{\substack{x \to +\infty}} {e^{-0.5x}}\] \[b)~\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac{e^{0.1x}}{x}\] \[c)~\lim_{\substack{x \to +\infty}} xe^{1-x}\] \[d)~\lim_{\substack{x \to -\infty}} xe^{1-x}\]
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Exercice 12:

limite d'une composée

avec la fonction exponentielle
Étudier les limites suivantes:
\[a)~\lim_{x \to +\infty} e^{1-x}\] \[b)~\lim_{\substack{x \to 0\\x<0}} e^{\frac 1x}\] \[c)~\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} e^{\frac 1x}\] \[d)~\lim_{x \to -\infty} e^{\frac 1x}\]
Exercice 13:
Étudier les limites suivantes:
\[a)~\lim_{\substack{x \to +\infty}} {x e^{-\frac x2}}\] \[b)~\lim_{\substack{x \to -\infty}} {x e^{-\frac x2}}\]
Corrigé en vidéo!
Exercice 14:

limite d'une composée

avec des exponentielles
Étudier les limites suivantes:
\[a)~\lim_{\substack{x \to -\infty}} e^{x^2-x+1}\] \[b)~\lim_{\substack{x \to -\infty}} e^{x^3-x}\]
Exercice 15:

limite d'une composée

avec la fonction exponentielle
Étudier les limites suivantes:
\[a)~\lim_{x \to +\infty} xe^{\frac{1}{2x}}\] \[b)~\lim_{x \to -\infty} xe^{\frac{1}{2x}}\] \[c)~\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} xe^{\frac{1}{2x}}\] \[b)~\lim_{\substack{x \to 0\\x<0}} xe^{\frac{1}{2x}}\]
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Exercice 16: Déterminer la

dérivée et le tableau de variations avec la fonction exponentielle


On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=e^{1-3x}\].
1) Déterminer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) puis en déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) Déterminer le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sans utiliser la dérivation.
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Exercice 17: variations et exponentielle
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2e^{-x}$.
Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
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Exercice 18: Déterminer la

dérivée et le tableau de variations avec la fonction exponentielle


Déterminer le tableau de variations de \(f\) définie sur sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ par $f(x)=xe^{^{\frac 1x}}$

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Exercice 19: Déterminer la

dérivée et le tableau de variations avec la fonction exponentielle

, et cosinus
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;2\pi]\) par \(f(x)=e^{\cos x}\).
1) Déterminer pour tout \(x\) de \([0;2\pi]\), \(f'(x)\).
2) En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \([0;2\pi]\).
Exercice 20: Associer courbe et fonction exponentielle
On a tracé les courbes de quatre fonctions $f, g, h, i$ définies sur $\mathbb{R}$.
On sait que $f(x)=e^{x}$, $g(x)=e^{-x}$, $h(x)=e^{0.5x}$, $i(x)=e^{-2x}$
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond en justifiant.







Exercice 21:
On a tracé les courbes de cinq fonctions \(f, g, h, i, j\) définies sur \(\mathbb{R}\).

Les droites d'équation \(y=-1\) et \(y=1\) sont asymptotes en \(+\infty\) respectivement à \(\mathscr{C}_2\) et \(\mathscr{C}_3\).
On sait que \(f(x)=e^{-x}-1\), \(g(x)=-2e^x+2\), \(h(x)=e^x-1\), \[i(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2-1\] et \[j(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}\]
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond en justifiant.
Exercice 22: Déterminer a, b dans f(x)=(ax+b)e^(-x)
On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).
La courbe de \(f\) passe par les points \(A(-2;0)\), \(B(0;2)\).
On sait que pour tout \(x\) réel:
    \(f(x)=(ax+b)e^{-x}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels.
1) A l'aide du graphique, déterminer \(a\) et \(b\) en justifiant.
2) En déduire le tableau de variations de \(f\).




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Exercice 23:

Déterminer a, b,c dans f(x)=(ax²+bx+c)e^(-x)


On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).
\(\mathscr{C}_f\) passe par les points A(0;1) et B(-1;0).
\(T\) est la tangente à \(\mathscr{C}_f\) en A et passe par le point C(1;3).
On sait également que pour tout \(x\) réel:
     \(f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}\) où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres.
1) Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\).
2) Déterminer la valeur de \(a\), \(b\) et \(c\) en justifiant.



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Exercice 24: Tableau de

variation de e^u

connaissant celui de u -

Limite d'une composée avec la fonction exponentielle


Une fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) a pour tableau de variations:

1) Déterminer le tableau de variations de la fonction \(e^u\).
2) Déterminer les limites de \(e^u\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).
Corrigé en vidéo!
Exercice 25:

Tangentes perpendiculaires et fonction exponentielle


On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^x\) et \(g(x)=e^{-x}\).
Dans un repère orthonormé, on a tracé les courbes \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) de ces deux fonctions.
1) Démontrer que si \(m\) est le coefficient directeur d'une droite \(\mathscr{D}\) du plan alors le vecteur
    de coordonnées \((1;m)\) est un vecteur directeur de cette droite.
2) Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\) et \(g'(x)\).
3) On note \(T_a\) et \(\Delta_a\) les tangentes respectives à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\)
    au point d'abscisse \(a\).
    a) Démontrer que les tangentes à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\)
        au point d'abscisse 0 sont perpendiculaires.
    b) Démontrer que les tangentes à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point d'abscisse \(a\)
         sont perpendiculaires quel que soit \(a\) réel.
Corrigé en vidéo!
Exercice 26: Suite et fonction exponentielle
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \[u_n=4-e^{-\frac n2}\].
Démontrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante par 2 méthodes différentes.
Corrigé en vidéo!
Exercice 27: Somme de suite géométrique et fonction exponentielle
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \[u_n=e^{^{2-\frac n3}}\].
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \({\rm S}_n=u_0+u_1+...+u_n\).
   a) Démontrer que la suite \((u_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
   b) Exprimer la somme \({\rm S}_n\) en fonction de \(n\).
   c) En déduire la limite de ${\rm S}_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Corrigé en vidéo!
Exercice 28: Somme de suite arithmétique et fonction exponentielle
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=e^{2-\frac n3}$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\rm P}_n=u_0\times ...\times u_n$.
1) Exprimer le produit ${\rm P}_n$ en fonction de $n$.
2) Déterminer la limite de ${\rm P}_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Corrigé en vidéo!
Exercice 29: Nombre de solution d'une équation avec des exponentielles - Théorème des valeurs intermédiaires
Déterminer le nombre de solution de l'équation \[\frac{e^x}{e^x+1}=x\].
Donner un encadrement d'amplitude \(10^{-1}\) des éventuelles solutions.
Exercice 30: Associer f et f ' à leur courbe - Déterminer a,b,c à l'aide de la courbe de f et f'
On a tracé deux courbes \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_2\).
L'une est la courbe d'une fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\). L'autre est la courbe de \(f'\).

1) Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond en justifiant.
2) On sait que la fonction \(f\) est définie par \[f(x)=(x^2+ax+b)e^{x+c}\] où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres.
     a) Justifier que \(a\) et \(b\) sont solutions du système: \[\left\{\begin{array}{l} 4+2a+b=0\\ 9+3a+b=0 \\ \end{array}\right.\]
     b) Résoudre ce système et indiquer les valeurs de \(a\) et \(b\).
     c) Déterminer \(f'(x)\).
     d) A l'aide du point C, déterminer la valeur de \(c\) et donner l'expression de \(f(x)\).
     e) Expliquer comment vérifier ces résultats à l'aide de la calculatrice.
     f) A l'aide du graphique, déterminer une équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 1.
Corrigé en vidéo!
Exercice 31: Suite récurrente et fonction exponentielle - u(n+1)=f(u(n)) - u(n+1)=-une^(-un)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x e^{-x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative ci-dessous:

On note $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_ne^{-u_n}$ et $u_0=1$.
1) Déterminer les variations de $f$.
2) Déterminer graphiquement $u_1$, $u_2$, $u_3$.
3) Conjecturer le sens de variation, un majorant et un minorant de la suite $(u_n)$.
4) Démontrer vos conjectures. En déduire que $(u_n)$ converge.
5) On note $\ell$ la limite de $(u_n)$. On admet que $\ell$ vérifie l'équation $\ell=\ell e^{-\ell}$. Déterminer la valeur de $\ell$.
Exercice 32:

Distance d'un point à la courbe de la fonction exponentielle


Corrigé en vidéo! Exercice 33: Encadrement et

valeur approchée de e

-

suite convergente vers e

-

(1+1/n)^n


L'objectif de cet exercice est de trouver une valeur approchée de e.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^x-x-1\).
1) Étudier les variations de \(f\) et en déduire que pour tout \(x\) réel, \(~1+x\le e^x\).
2) En déduire que pour \(x<1\), \[~e^x\le \frac1{1-x}\].
3) Déduire du 1) que pour tout entier \(n\ge 1\), \[~\left(1+\frac 1n\right)^n\le e\].
4) Déduire du 2) que pour tout entier \(n\ge 1\), \[~e\le \left(1+\frac 1n\right)^{n+1}\].
Indication:
Pose x =
1 / n+1

5) En déduire un encadrement de \(e\) à \(10^{-2}\) près.
6) Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\ge1\) par \[~u_n=\left(1+\frac 1n\right)^n\].
    Démontrer que pour tout entier \(n\ge1\), \[~e-\frac 3n\le u_n \le e\]. En déduire la limite de \((u_n)\).
Corrigé en vidéo! Exercice 34:

Pondichery Bac S 2013

- Les 2 questions sur la fonction exponentielle qui ont déstabilisé certains candidats
La hauteur, en mètre, d'un plant de maïs à l'instant \(t\) est modélisée
par la fonction \(h\) définie sur \([0;+\infty[\) par \[h(t)=\frac a{1+be^{-0.04t}}\]
où \(t\) est exprimé en jour. \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.
On sait qu'à l'instant \(t=0\), le plant mesure \(0,1\) m
et que sa hauteur tend vers \(2\) m.
1) Déterminer \(a\) et \(b\).
2) On a représenté la courbe de la fonction \(h\).
    La vitesse de croissance du plant de maïs
    correspond à la dérivée de la fonction \(h\).
    A l'aide du graphique, déterminer une valeur approchée
    de l'instant \(t\) où la vitesse de croissance est maximale.
    A quelle hauteur du plant cela correspond-il?
Exercice 35:

Problème ouvert - Convexité et fonction exponentielle


Soit $\mathscr{C}$ la courbe de la fonction exponentielle et A et B deux points distincts de $\mathscr{C}$.
Montrer que le segment [AB] est au dessus de la courbe $\mathscr{C}$.


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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
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