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Fonction logarithme népérien - Limite - Dérivation


fonction logarithme népérien - Limite - Dérivation
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Commencer par regarder Cours de math en vidéo pour avoir une vision d'ensemble
    • Faire les exercices sur : simplifier, (in)équation, limite, dérivation
    • Regarder Cours de math en vidéo pour avoir une approche rigoureurse
    • Démontrer les propriétés du logarithme
    • Faire les exercices type Bac
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices et comment le retenir Cours de math en vidéo
  • Limites
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\ln x=+\infty \]
    Cours de math en vidéo \[\lim_{\substack{x \to 0}}\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\ln x=-\infty \]
    Cours de math en vidéo \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\ln x}{x}= \]
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\ln x}{x}=0 \]
    On retient que $x$ l'emporte sur $\ln x$
    Cours de math en vidéo
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}x\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}x\ln x=0 \]
    On retient que $x$ l'emporte sur $\ln x$
    Cours de math en vidéo \[\lim_{\substack{x \to 0}}\frac{\ln (x+1)}{x}= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\frac{\ln (x+1)}{x}=1 \]

  • Dérivation Cours de math en vidéo
    Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors
    {
    ln u est dérivable sur I
    (ln u)' =
    u' / u

    En particulier, si f(x)=ln x alors
    Si f(x)=ln x alors f '(x)=
    1 / x

    u et ln u ont  
    u et ln u ont les mêmes variations



Corrigé en vidéo!
Exercices 1:

Dériver et variations d'une fonction avec des logarithmes


On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln (1+x^2)$.
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ puis déterminer pour tout réel $x$, $f'(x)$.
  2. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
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Exercices 2:

Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes


On considère la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac x{\ln x}$.
  1. Justifier que $f$ est définie sur $]1;+\infty[$.
  2. Justifier que $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ puis déterminer pour tout réel $x\in ]1;+\infty[$, $f'(x)$.
  3. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur $]1;+\infty[$.
Corrigé en vidéo!
Exercices 3:

Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes


On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=(\ln x)^2-\ln x$.
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ puis déterminer pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $f'(x)$.
  2. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.
Exercices 4:
Dans chaque cas:
1) Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle I indiqué.
2) Déterminer la dérivée de $f$ et le tableau de variations de $f$ sur I.
  \[a)~f(x)=\ln(1-e^x)\] et I=$]-\infty;0[$ \[b)~f(x)=\ln \frac 2x\] et I=$]0;+\infty[$ \[c)~f(x)=\ln(1+e^x)\] et I=$\mathbb{R}$
Exercices 5:
Dans chaque cas, déterminer la dérivée de $f$ et le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I indiqué:
  \[a)~f(x)=\frac 1x+\ln x\] et I=$]0;+\infty[$ \[b)~f(x)=x\ln x\] et I=$]0;+\infty[$
  \[c)~f(x)=\ln(x^2-6x+10)\] et I=$\mathbb{R}$ \[d)~f(x)=x^2+5x-3\ln x\] et I=$]0;+\infty[$
Exercices 6:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-3x+1$.
Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
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Exercices 7:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\ln(x^2-6x+10)\].
1) Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2) Étudier les variations de $f$.
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Exercices 8:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\frac{e^x}{e^{3x}+4}\].
1) Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2) Étudier les variations de $f$.
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Exercices 9: f(x)=ln(sin x) -

logarithme, sinus : dérivation

, tableau de variations
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Exercices 10:

Limite d'une fonction avec des logarithmes


Déterminer les limites suivantes et interpréter en terme d'asymptote horizontale ou verticale:
     a) $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln x-x^2+1$
     b) $\lim\limits_{x \to 0} x\ln x-x^2+1$
     c) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x\ln x}{x^2+1}$
Exercices 11:

Limite d'une fonction avec des logarithmes


Déterminer les limites suivantes et interpréter en terme d'asymptote horizontale ou verticale:
a) $\lim\limits_{x \to 0} 1-\ln x$      b) $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(\frac 2x \right)$      c) $\lim\limits_{x \to -\infty} 1+e^{-x}$      d) $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+e^{-x}$      e) $\lim\limits_{x \to 0} \frac 1{\ln x}$
f) $\lim\limits_{x \to -\frac 12} \ln(1+2x)$
Exercices 12: Limite d'une fonction avec des logarithmes

Fonction logarithme : Exercices à Imprimer

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