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Fonction logarithme népérien - Exercices type Bac


fonction logarithme népérien - Exercices type Bac
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    • Faire les exercices sur : simplifier, (in)équation, limite, dérivation
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    • Démontrer les propriétés du logarithme
    • Faire les exercices type Bac
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♦ Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices et comment le retenir Cours de math en vidéo


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Exercices 1:

Position relative de 2 courbes - logarithme - D'après sujet de Bac


On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=(\ln x)^2$.
On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives de $f$ et $g$.
     1) Étudier les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
     2) Soit M et N les points de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'abscisse $x$. Sur l'intervalle $[1;e]$, pour quelle valeur de $x$,
         la distance MN est-elle maximale? Quelle est la valeur de cette distance maximale?
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Exercices 2:

Aire maximale d'un rectangle - Fonction logarithme - D'après sujet de Bac - Problème ouvert


Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; 14] par $f (x) = 2-\ln\left(\frac x2 \right)$ dont la courbe $\mathscr{C}_f$ est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous :

À tout point M appartenant à $\mathscr{C}_f$, on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
    • $f$ est-elle positive sur $]0;14]$?
    • L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante, quelle que soit la position du point M sur $\mathscr{C}_f$ ?
    • L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées
       du point M correspondant. Justifier les réponses.
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Exercices 3:

Suite et logarithme

- un+1=f(un) - un+1=√un - Exercice type Bac
Exercices 4:

Déterminer a, b connaissant la courbe de f - (ax+b) ln x


Corrigé en vidéo! Exercices 5:

Fonction logarithme népérien

-

Fonction auxiliaire

-

théorème des valeurs intermédiaires


Indication:
Calculer u(α) de 2 façons
En déduire que α+2 = ....
Puis calculer f(α) et conclure
Exercices 6: Position relative de 2 courbes - logarithme
Exercices 7: Suite et logarithme - un+1=f(un)
Exercices 8: Logarithme et équation - ln x=-x - théorème des valeurs intermédiaires
On a tracé la courbe de la fonction logarithme népérien.
1. Résoudre graphiquement l'équation $\ln x=-x$.
2. Montrer que l'équation $\ln x=-x$ admet une seule solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
3. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.




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Exercices 9:

Equation avec paramètre - nombre de solution


On considère l'équation $\rm (E_1)$ : $\displaystyle e^x-x^n=0$.
où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.
1. Montrer que l'équation $\rm (E_1)$ est équivalente à l'équation $\rm (E_2)$ : $\displaystyle {\ln (x)-\frac xn=0}$.
2. Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\rm (E_1)$ admet-elle deux solutions ?
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Exercices 10:

Logarithme décimal - Définition et propriétés - lien avec Ln


La fonction logarithme décimal, notée $\log$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $\log x=\frac {\ln x} {\ln 10}$.
  1. Déterminer $\log 10$, $\log 100$, $\log 0,001$.
  2. Quelle conjecture peut-on en déduire? Démontrer cette conjecture.
  3. On rappelle que pour tous nombres $a$ et $b$ strictement positifs: $\ln ( a\times b)=\ln a+\ln b$.
    Cette propriété est-elle encore valable avec la fonction $\log$.
  4. Déterminer le sens de variation de la fonction $\log$.
  5. Encadrer sans calculatrice, $\log 25665$ et $\log 0,00945$.
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Exercices 11:

Logarithme décimal - Log - pH


Le pH mesure l'acidité d'une solution. On définit le pH par ${\rm pH}=-\log[{\rm H}_3{\rm O}^+]$
où $[\rm H_3O^+]$ désigne la concentration en ions oxonium en moles par litre.
  1. Une solution est dite acide lorsque le pH est inférieur à 7.
    Une solution a une concentration en ions $[\rm H_3O^+]$ de $2\times 10^{-11}$ ${\rm mol}\cdot{\rm L}^{-1}$.
    Sans utiliser de calculatrice, dire si cette solution est acide.
  2. Matthias affirme que lorsque la concentration en ions $[\rm H_3O^+]$ diminue, le $\rm pH$ augmente.
    Est-ce vrai? Justifier.
  3. Démontrer la formule $[\rm H_3O^+]=10^{-\rm pH}$ dans le cas où $\rm pH$ est un entier.
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Exercices 12:

Nombre de chiffres d'un entier naturel à l'aide du Logarithme décimal -


Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $10^n \leqslant p < 10^{n+1}$.
  1. Déterminer le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $p$.
  2. Montrer que $n = E(\log p)$ où la fonction $E$ désigne la fonction partie entière.
  3. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $2^{{2018}}$.
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Exercices 13:

Problème ouvert - Sujet de Bac Liban 2015 exercice 3


On considère la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $y=e^x$, tracée ci-contre:
Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathscr{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.
1. Dans cette question, on choisit $m = e$.
    Démontrer que la droite $\mathscr{D}_e$ d'équation $y = ex$,
    est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 1.
2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$,
    le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D}_m$.
3. Démontrer cette conjecture.

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Exercices 14:

QCM révision logarithme népérien - type bac


Dire si les affirmations sont vraies ou fausses. Justifier.
1. L'équation $\ln x=-1$ n'a pas de solution.
2. Si $u>0$ alors $\ln u>0$.
3. $\ln (x^2)$ peut être négatif.
4. Pour tout $x>0$, $\ln(2x)>\ln x$
5. L'expression $\ln (-x)$ n'a pas de sens.
6. Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln x \times \ln y=\ln(x+y)$.
7. Si $f(x)=(\ln x)^2$ alors $f'(x)=\frac{2\ln x}x$.
8. ($u_n$) est une suite géométrique avec $u_0>0$ et la raison $q>0$ alors $\left(\ln(u_n)\right)$ est arithmétique.
Exercices 15:

Question ouverte - Comparaison de exponentielle et logarithme


Démontrer que pour tout réel $x>0$, $e^x>\ln x$.


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Exercices 16:

fonction exponentielle avec paramètre - Bac S Amérique du nord 2017 exercice 2


Soit $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f (x)=-\frac b8\left(e^{^{\textstyle{\frac xb}}}+e^{^{\textstyle{-\frac xb}}}\right)+ \frac 94$ où $b > 0$.
  1. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle [-2 ; 2], $f (-x) = f (x)$.
    Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
  2. Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[-2;2]$, $f'(x)=-\frac 18\left(e^{^{\textstyle{\frac xb}}}-e^{^{\textstyle{-\frac xb}}}\right)$.
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle [-2 ; 2]
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Exercices 17:

fonction exponentielle, minimum et points alignés - Bac S Liban 2017 exercice 3


Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=x+ke^{-x}$.
On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Il semblerait que chaque fonction $f_k$ admette un minimum sur $\mathbb{R}$. Si l'on appelle $A_k$ le point de $\mathscr{C}_k$ correspondant à ce minimum, il semblerait que ces points $A_k$ soient alignés. Est-ce le cas ?
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Exercices 18:

Logarithme - hauteur maximum et angle de tir - Amérique du Nord Bac 2018


On lance un projectile dans un milieu fluide. On modélise le projectile par
un point qui se déplace sur la courbe représentative de la fonction $f$
définie sur l'intervalle $[0; 1[$ par : $f(x)=bx+2\ln (1-x)$
où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à 2, $x$ est l'abscisse du
projectile, $f (x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.
$f$ est dérivable sur [0;1[.
  1. Montrer que pour tout $x\in [0;1[$, $\displaystyle f'(x)=\frac{-bx+b-2}{1-x}$.
  2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;1[$.
  3. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale
    du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
  4. Dans cette question, on choisit $b = 5,69$.
    L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et
    la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse 0 comme indiqué sur le schéma donné ci-contre. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$
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Exercices 19:

Fonction Logarithme népérien - aire maximale d'un triangle Bac Liban 2019


Le plan est muni d'un repère orthogonal (O,I,J). On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $]0; 1]$ par $g(x)=\ln x$. Soit $a\in ]0; 1]$. On note ${\rm M}_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point ${\rm M}_a$. Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point ${\rm N}_a$ et l'axe des ordonnées au point ${\rm P}_a$. On s'intéresse à l'aire du triangle ${\rm ON}_a{\rm P}_a$ quand $a$ varie dans $]0;1]$
  1. Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a = 0,2$ et
    on donne la figure ci-contre:
    1. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire
      du triangle ${\rm ON}_{0,2}{\rm P}_{0,2}$ en unités d'aire.
    2. Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$.
    3. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle $\rm ON_{0,2}P_{0,2}$ .
  2. On admet que, pour tout réel a de $]0;1]$, l'aire en unité d'aire
    du triangle ${\rm ON}_a{\rm P}_a$ est donnée par $\mathscr{A}(a)=\frac 12 a(1-\ln a)^2$.
    Déterminer l'aire maximale du triangle ${\rm ON}_a{\rm P}_a$.
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Exercices 20:

logarithme suite Révision Dérivation Récurrence limite algorithme Bac S maths Amérique du Nord 2019


Sur l'intervalle $[0;+\infty [$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=x-\ln (x +1)$.
    1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    2. En déduire que pour tout $x\in [0 ; +\infty[$, $\ln(x +1) \leqslant x$.
  1. On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n -\ln(1+ u_n )$.
    On admet que la suite $(u_n)$ est bien définie.
    1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
    2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 0$.
    3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant 1$.
    4. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
    5. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$. En déduire la valeur de $\ell$.
    6. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $\rm N$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES, STI et STMG depuis 24 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STMG depuis 15 ans
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