Fonction inverse

Conseils

Fonction inverse

Exercice type

Utiliser la courbe de la fonction inverse pour résoudre une inéquation

Cours

Fonction inverse

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Définition de la fonction inverse

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Courbe de la fonction inverse

Propriété La fonction inverse est impaire

Propriété La courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine $\rm O$ du repère

•

Variations de la fonction inverse

Cours

Savoir résoudre $\dfrac 1x=k$ et $\dfrac 1x \leqslant k$

Résoudre $\dfrac 1x=k$

Vous avez 2 méthodes à votre disposition:

Méthode par le calcul: penser à utiliser le produit en croix
La méthode par le calcul s'appelle la méthode algébrique.
Exemple Résoudre $\dfrac 1x=4$
$\dfrac 1x=4\Leftrightarrow \dfrac 1x=\dfrac 41$$\Leftrightarrow 4x=1$
On utilise la règle du produit en croix:
$\dfrac ab=\dfrac cd$$\Leftrightarrow ad=bc$
sous réserve que $b$ et $d$ ne soient pas nuls.

$\Leftrightarrow x=\dfrac 14$$\Leftrightarrow x=0,25$
Méthode graphique: utiliser la courbe de la fonction inverse
Exemple Résoudre $\dfrac 1x=4$
1. On trace la courbe de la fonction inverse
2. On place $4$ sur les ordonnées
3. On lit la solution sur l'axe des abscisses
  Attention Une lecture graphique est approximative, mais permet de bien visualiser ce qui se passe.

Pour résoudre des inéquations du type $\dfrac 1x\leqslant k$

Résoudre $\dfrac 1x=k$
Penser à tracer la courbe de la fonction inverse pour conclure, cela aide beaucoup!

Exemple Résoudre $\dfrac 1x\leqslant 4$

On résout $\dfrac 1x=4$
$\dfrac 1x=4\Leftrightarrow \dfrac 1x=\dfrac 41$$\Leftrightarrow 4x=1$
On utilise la règle du produit en croix:
$\dfrac ab=\dfrac cd$$\Leftrightarrow ad=bc$
sous réserve que $b$ et $d$ ne soient pas nuls.

$\Leftrightarrow x=\dfrac 14$$\Leftrightarrow x=0,25$
On trace la courbe de la fonction inverse pour conclure
On repère la partie de la courbe sous la droite d'équation $y=4$. J'ai mis cette partie de la courbe en rose.
Puis on regarde à quelle zone cela correspond sur l'axe des abscisses. J'ai mis cette zone en rouge sur les abscisses:

On lit les solutions sur l'axe des abscisses: $]-\infty;0[\cup ]0,25;+\infty]$

Cours

Savoir encadrer $\dfrac 1x$ et comparer $\dfrac 1a$ et $\dfrac 1b$

Pour encadrer $\dfrac 1x$ et comparer des inverses

Cours

Pourquoi 0 n'a pas d'inverse

Démonstration

Variations de la fonction inverse

(Difficile mais formateur)

Exercice 1: Calcul d'inverse - fonction inverse

Calculer l'inverse de chacun des nombres suivants et donner le résultat sous forme décimale:

$\color{red}{\textbf{a. }} 2$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac 23$ $\color{red}{\textbf{c. }} -4$ $\color{red}{\textbf{d. }} 0,1$ $\color{red}{\textbf{e. }} 10^3$

Exercice 2: Encadrer 1/x fonction inverse

Donner un encadrement de $\dfrac 1x$ dans chacun des cas suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} x\in \left[\dfrac 12;8\right[$ $\color{red}{\textbf{b. }} x\geqslant 2$ $\color{red}{\textbf{c. }} -2 \leqslant x\leqslant -0.25$

Exercice 3: Encadrer 1/x inverse

Donner un encadrement de $\dfrac 1x$ dans chacun des cas suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} 0\lt x\leqslant 10$ $\color{red}{\textbf{b. }} 0,2 \leqslant x\leqslant \dfrac 14$ $\color{red}{\textbf{c. }} x\in ]0,01;0,1]$ $\color{red}{\textbf{d. }} x\in [-5;-1]$

Exercice 4: Encadrer 1/x fonction inverse

Donner un encadrement de $2-\dfrac 1x$ lorsque $\dfrac 14\lt x \leqslant 8$.

Exercice 5: Comparer 1/a et 1/b inverse

Ranger par ordre croissant:

$- \dfrac 15$ $-\dfrac 17$ $-2$ $-\dfrac 1{\pi}$ $-\dfrac 1{\sqrt 3}$

Exercice 6: équation du type 1/x=a

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 4x=5$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac 1{2x}+3=1$ $\color{red}{\textbf{c. }} -\dfrac 6x=2$ $\color{red}{\textbf{d. }} \dfrac 4x=0,01$ $\color{red}{\textbf{e. }} \dfrac 4x=\dfrac 23$ $\color{red}{\textbf{f. }} \dfrac 4x=0$

Exercice 7: inéquation avec 1/x fonction inverse

$\color{red}{\textbf{a. }}$ À l'aide d'un graphique, résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\dfrac 1x=3$. $\color{red}{\textbf{b. }}$ Refaire la question précédente algébriquement.

Exercice 8: inéquation avec 1/x fonction inverse

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 1x\geqslant 4$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac 1x\leqslant 2$

Exercice 9: équation avec 1/x inverse

Résoudre les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 2x\leqslant 5$ $\color{red}{\textbf{b. }} -\dfrac 1x \leqslant 5$ $\color{red}{\textbf{c. }} -\dfrac 2x +3\geqslant 7$

Exercice 10: Vrai/Faux fonction inverse logique

Dans chaque cas, dire si la proposition est vraie ou fausse:

L'inverse d'un nombre $x$ non nul est $-x$.
Un nombre et son inverse sont de même signe.
Si $a\lt b$ alors $\dfrac 1a \gt \dfrac 1b$.
Si $0,5\leqslant x\leqslant 4$ alors $\dfrac 14\leqslant \dfrac 1x\leqslant 2$.

Exercice 11: démonstration cours fonction inverse

Démontrer que la fonction inverse est impaire.

Exercice 12: Position relative des courbes d'équation $y=x$ et $y=\dfrac 1x$

Déterminer graphiquement la position relative des courbes d'équation $y=x$ et $y=\dfrac 1x$.
Démontrer votre conjecture

Exercice 13: démonstration variations fonction inverse

Démontrer que la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.
En déduire les variations de la fonction inverse sur $]-\infty;0[$.

Exercice 14: Calcul d'inverse

Pour tout réel non nul et différent de 0,5, déterminer l'inverse $2-\dfrac 1x$.
Donner le résultat sous la forme simplifiée.