Fonction - Exercices difficiles type Contrôle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+x+3$. On a représenté ci-dessous la courbe de cette fonction:

1. Avec la précision permise par le graphique:
   1. Déterminer graphiquement l'image de $1$.
   2. Déterminer graphiquement les antécédents éventuels de $3$.
2. 1. Déterminer l'image de $1$ par le calcul.
   2. Déterminer algébriquement les antécédents éventuels de $3$.

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+4x+6$.

1. Montrer que pour tout $x$ réel:
   1. $f(x)=-2(x+1)(x-3)$
   2. $f(x)=-2(x-1)^2+8$
2. Déterminer l'image de $1$ puis de $-2$ par $f$.
3. Déterminer l'image de $\sqrt 3$ par $f$.
4. 6 est-il un antécédent de $0$?
5. Résoudre $f(x)=0$
6. Déterminer les antécédents de $6$ par $f$.
7. Le point $\rm A(4;-8)$ appartient-il à la courbe de $f$?
8. Montrer que pour tout $x$ réel, $f(x)\leqslant 8$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-x-2$. On a représenté ci-dessous la courbe de cette fonction:

1. Avec la précision permise par le graphique, déterminer graphiquement les antécédents éventuels de $0$, puis ceux de $4$ puis ceux de $-2$.
2. Démontrer que pour tout réel $x$:
   1. $f(x)=(x-2)(x+1)$
   2. $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$
3. En utilisant si besoin les réponses à la question 2., déterminer par le calcul:
   1. les antécédents éventuels de $0$.
   2. les antécédents éventuels de $4$.
   3. les antécédents éventuels de $-2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-x^2-4x+4$. On a représenté ci-contre la courbe de cette fonction:

1. Avec la précision permise par le graphique, résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$.
2. Démontrer que pour tout réel $x$: $f(x)=(x-2)(x-1)(x+2)$.
3. En déduire les solutions de l'équation $f(x)=0$. Comparer avec les résultats de la question 1. Expliquer.

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-x-1$ et $g(x)=3-x$. On a représenté dans le repère ci-dessous les courbes des fonctions $f$ et $g$ notées respectivement $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$:

1. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$.
2. Résoudre algébriquement l'équation $f(x)=g(x)$.