Exercice 1: Dérivée et exponentielle
Dans chaque cas, la fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Déterminer leur fonction dérivée f'(x):
$a)~ f(x)=e^{2x+3}$ $b)~ f(x)=e^{x-1}$ $c)~ f(x)=e^{-x}$ $d)~ f(x)=6e^{\frac x2}$
Exercice 2: Dérivée et exponentielle
Les fonctions suivantes sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Donner leur fonction
dérivée.
$a)~ f(x)=e^{-3x+4}$ $b)~ g(x)=(5x^2-x)e^x$ $c)~ h(x)=(5x^2-x)e^{-x}$
Exercice 3: Dérivée et exponentielle
Les fonctions suivantes sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Donner leur fonction
dérivée.
$a)~ f(x)=\dfrac 4{e^x+1}$ $b)~ g(x)=\dfrac{e^x+1}4$ $c)~ h(x)=\dfrac
4{e^{x}}$
Exercice 4: Dérivée et exponentielle
Dans chaque cas, calculer $f'(x)$:
$a)~ f(x)=e^{-2x}+e^2$ $b)~ f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3}$ $c)~
f(x)=\dfrac{e^x+x}{4}$
Exercice 5: Fonction exponentielle et tangente
On note $\mathscr{C}$ la courbe de la fonction exponentielle.
Donner les équations des tangentes à $\mathscr{C}$ aux points d'abscisses respectives $0$, $1$ et $-1$.
Exercice 6: exponentielle & inégalité
Le but de cet exercice est de montrer que pour tout réel $x$: $e^x\geqslant x+1$.
Pour cela, on considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x-1$.
-
Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
-
Conclure.
Exercice 7:
Fonction exponentielle et variations
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par $f(x)=e^{1-3x}$.
-
Déterminer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) puis en déduire le tableau de
variations de \(f\)
sur \(\mathbb{R}\).
-
Déterminer le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sans utiliser la dérivation.
Exercice 8: Dérivée, exponentielle et produit
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(6-3x){e^{2x}}$.
-
Déterminer une expression de la dérivée de $f$.
-
En déduire le tableau de variations de $f$.
Exercice 9: Dérivée et $e^{-x}$
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=(6x^2+11x+10){e^{-x}}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 10: Dérivée et exponentielle
Dans chaque cas, déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et son tableau de
variations sur $\mathbb{R}$:
$a)~ f(x)=-4e^{3-5x}$ $b)~ f(x)=(1-x)e^x-5$ $c)~ f(x)=-x^2e^x$
$d)~ f(x)=\dfrac{e^{1-2x}}4$
Exercice 11: Dérivée et exponentielle
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{e^x}$.
1) Déterminer pour tout réel $x$, $f'(x)$.
2) En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 12: Exponentielle - Dérivée - variations
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}$.
-
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{e^x}$.
-
En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 13: Dérivée et $e^{ax+b}$
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}\backslash \{ 2\}$ par
$f(x)=\dfrac{e^{3x-1}}{x-2}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 14: Dérivée - Exponentielle et quotient
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ par
$f(x)=\dfrac{e^{1-6x}}{x^3}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 15: Exponentielle et tableau de variations
Dans chaque cas, déterminer le tableau de variations de $f$ définie et dérivable sur le domaine
${\rm D}$ indiqué:
$a)~ {\rm D}=\mathbb{R} \text{ et } f(x)=\dfrac{e^{-2x}}4$ $b)~ {\rm D}=\mathbb{R}^{*} \text{
et } f(x)=e^{2x}-\dfrac
1x$
Exercice 16: Etude d'une fonction avec
exponentielle - dérivée seconde + variations
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-\dfrac {x^2}2$.
-
Déterminer une expression des fonctions $f'$ et $f''$.
-
Déterminer le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$.
-
En déduire le tableau de variations de $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis le signe de $f'(x)$.
-
En déduire le sens de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice
17 :
Courbe exponentielle e^kx
On a tracé les courbes des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}$,
$g(x)=e^{0,5x}$ et $h(x)=e^{-x}$:
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond.
Exercice 18:
Associer courbe et fonction exponentielle
On a tracé les courbes de quatre fonctions $f, g, h, i$ définies sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=e^{x}$, $g(x)=e^{-x}$, $h(x)=e^{0.5x}$ et $i(x)=e^{-2x}$.
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond en
justifiant.
Exercice 19:
Déterminer a, b dans f(x)=(ax+b)e^(-x)
On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).
La courbe de \(f\) passe par les points \({\rm A}(-2;0)\), \({\rm B}(0;2)\).
On sait que pour tout \(x\) réel, \(f(x)=(ax+b)e^{-x}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels.
-
A l'aide du graphique, déterminer \(a\) et \(b\) en justifiant.
-
En déduire le tableau de variations de \(f\).
Exercice 20:
Déterminer a, b,c dans f(x)=(ax²+bx+c)e^(-x)
On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).
\(\mathscr{C}_f\) passe par les points A(0;1) et B(-1;0).
- \(T\) est la tangente à \(\mathscr{C}_f\) en A et passe par le point C(1;3).
-
On sait également que pour tout \(x\) réel, \(f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}\) où \(a\), \(b\),
\(c\) sont des nombres.
-
Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\).
-
Déterminer la valeur de \(a\), \(b\) et \(c\) en justifiant.
