Fonction exponentielle - Exercices type contrôle

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-\dfrac {x^2}2$.

1. Déterminer une expression des fonctions $f'$ et $f''$.
2. Déterminer le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire le tableau de variations de $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis le signe de $f'(x)$.
4. En déduire le sens de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

On appelle fonction:
• cosinus hyperbolique la fonction notée $\text{ch}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{ch}(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}2$.
• sinus hyperbolique la fonction notée $\text{sh}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{sh}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}2$.

1. Montrer que la fonction cosinus hyperbolique est paire et que la fonction sinus hyperbolique est impaire.
2. Montrer que pour tout réel $x$, $\text{ch}^2(x)-\text{sh}^2(x)=1$.
3. 1. Montrer que pour tout réel $x$, $\text{sh}'(x)=\text{ch}(x)$. En déduire que sh est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
   2. Dresser le tableau de signe de la fonction $\text{sh}$.
4. 1. Montrer que pour tout réel $x$, $\text{ch}'(x)=\text{sh}(x)$.
   2. En déduire le tableau de variations de la fonction $\text{ch}$ puis puis son minimum.

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=e{^{2-3n}}$.

1. Démontrer que la suite \((u_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \({\rm S}_n=u_0+u_1+...+u_n\).
   Montrer que pour tout entier naturel $n$, \({\rm S}_n=e^{5} \dfrac{1-e^{-3n-3}}{e^{3}-1}\).

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=4-e^{-\frac n2}$.
Démontrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante par 2 méthodes différentes.

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=e{^{2-0,6 n}}$.
Pour tout entier naturel \(n\), on pose ${\rm P}_n=u_0\times ...\times u_n$.
Exprimer \({\rm P}_n\) en fonction de \(n\).

On a tracé les courbes de quatre fonctions $f, g, h, i$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{x}$, $g(x)=e^{-x}$, $h(x)=e^{0.5x}$ et $i(x)=e^{-2x}$.
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond en justifiant.

On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

La courbe de \(f\) passe par les points \({\rm A}(-2;0)\), \({\rm B}(0;2)\).
On sait que pour tout \(x\) réel, \(f(x)=(ax+b)e^{-x}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels.

1. A l'aide du graphique, déterminer \(a\) et \(b\) en justifiant.
2. En déduire le tableau de variations de \(f\).

On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

\(\mathscr{C}_f\) passe par les points A(0;1) et B(-1;0).

1. \(T\) est la tangente à \(\mathscr{C}_f\) en A et passe par le point C(1;3).
2. On sait également que pour tout \(x\) réel, \(f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}\) où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres.
   1. Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\).
   2. Déterminer la valeur de \(a\), \(b\) et \(c\) en justifiant.

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^x\) et \(g(x)=e^{-x}\).
Dans un repère orthonormé, on a tracé les courbes \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) de ces deux fonctions.

1. Démontrer que si \(m\) est le coefficient directeur d'une droite \(\mathscr{D}\) du plan alors le vecteur de coordonnées \((1;m)\) est un vecteur directeur de cette droite.
2. Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\) et \(g'(x)\).
3. On note \(T_a\) et \(\Delta_a\) les tangentes respectives à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point d'abscisse \(a\).
4. 1. Démontrer que les tangentes à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point d'abscisse 0 sont perpendiculaires.
   2. Démontrer que les tangentes à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point d'abscisse \(a\) sont perpendiculaires quel que soit \(a\) réel.

On a récupéré un graphique avec deux courbes. $\mathscr{C}_f$ est la courbe d'une fonction $f$ et $\mathscr{C}_{f'}$ de sa dérivée.

On sait que la fonction $f$ est définie par $f(x)=(x^2+ax+b)e^{x+c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles.
L'objectif de cet exercice est retrouver les valeurs $a$, $b$ et $c$.

1. Justifier que $a$ et $b$ sont solutions du système: $\left\{\begin{array}{l} 4+2a+b=0\\ 9+3a+b=0 \\ \end{array}\right.$
2. En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
3. Déterminer $f'(x)$.
4. A l'aide du point C, déterminer la valeur de $c$ et donner l'expression de $f(x)$.