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Dérivation - compléments


Dérivée de puissance \[\left(u^n\right)'\]

Cours en vidéo: savoir dériver efficacement $u^n$ et erreurs à éviter Cours de math en vidéo
  • $\left(u^n\right)'=$ 
    $\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1}$ 
    $n$ est un entier supérieur ou égal à 1

    $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I.
    Alors $u^n$ est aussi dérivable sur I.
    Et sa dérivée est donnée par la formule ci-dessus.
    Attention: ne pas oublier le $u'$ dans la dérivée!



    Par exemple
    On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-5x+1)^3$
    On pose $u(x)=x^2-5x+1$, on a $f=u^3$
    $u$ est un polynome donc dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $u^3$ aussi et $f$ aussi.
    Comme $u'(x)=2x-5$ donc $f'(x)=3(2x-5)(x^2-5x+1)^2$
  • La formule précédente est encore valable
    avec $n$ négatif
    Pratique pour dériver des fonctions du type \[f=\frac{k}{u^n}\]
    $k$ est une constante
    $u$ ne s'annulant pas sur I


    Par exemple, pour dériver \[f(x)=\frac{3}{5(x^2-5x+1)^3}\]
    On écrit: \[f(x)=\frac 35 (x^2-5x+1)^{-3}\].
    On pose $u(x)=x^2-5x+1$ et donc $u'(x)=2x-5$.
    On a donc \[f=\frac 35 u^{-3}\]
    Pour dériver, on va utiliser:
    $\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1}$
    avec $n=-3$

    Donc \[f'=\frac 35 \times (-3)\times u'\times u^{-3-1}=\frac{-9u'}{5u^4}\]
    D'où \[f'(x)=\frac{-9(2x-5)}{5(x^2-5x+1)^4}\].
  • Ne pas confondre $x^n$ et $u^n$
    Ne pas confondre les formules pour $x^n$ et $u^n$

    Si $f(x)=x^n$ alors $f'(x)=nx^{n-1}$
    Si $f=u^n$ alors $f'=n\times u' \times u^{n-1}$
    Ne pas oublier le $u'$ !

    $x$ est une variable,
    alors que $u$ est une fonction.

    La première formule est un cas particulier de la seconde!
    $n$ est un entier non nul,
    positif ou négatif.




Dérivée de racine \[\left(\sqrt u\right)'\]


Cours en vidéo: savoir dériver $\sqrt u$ et erreurs à éviter Cours de math en vidéo
  • $\left(\sqrt u\right)'=$ 
    $\left(\sqrt u\right)'=\frac {u'}{2\sqrt u}$ 
    $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I,
    et strictement positive sur I. Alors $\sqrt u$ est aussi dérivable sur I.
    Et sa dérivée est donnée par la formule ci-dessus.
    Attention: ne pas oublier le $u'$ dans la dérivée!



    Par exemple
    On considère la fonction définie sur $[5;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt {4x-20}$
    La fonction est définie là où $4x-20\ge 0$
    c'est à dire pour $x\ge 5$.
    D'où le domaine de définition.

    On pose $u(x)=4x-20$, on a $f=\sqrt u$
    Comme $u'(x)=4$ donc $f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{4x-20}}=\frac{2}{\sqrt{4x-20}}$
    Ce calcul de dérivée n'est valable que là où $u$ est strictement positive
    c'est à dire là où $4x-20\gt 0$ donc pour $x\gt 5$
    En 5, on ne sait pas si la fonction est dérivable ou pas.
    Il faudra faire un calcul supplémentaire.
  • Ce théorème ne permet pas 
    Ce théorème permet de savoir quand $\sqrt u$ est dérivable et de calculer sa dérivée
    là où $u$ est strictement positive.
    Là où $u$ s'annule, on ne peut rien conclure concernant la dérivée de $\sqrt u$.
  • Dérivée de $\sqrt u$ là où $u$ s'annule 
    Pour savoir si $\sqrt u$ est dérivable là où $u$ s'annule,
    Il faut revenir à la définition d'une fonction dérivable et déterminer:
    \[\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
    où $a$ est une valeur où $u$ s'annule.


    Si cette limite est finie, alors $\sqrt u$ est dérivable en a.
    Si cette limite est infinie ou n'existe pas, alors $\sqrt u$ n'est pas dérivable en a.
  • Ne pas confondre $\sqrt x$ et $\sqrt u$
    Ne pas confondre les formules pour $\sqrt x$ et $\sqrt u$

    Si $f(x)=\sqrt x$ alors \[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}\]
    Si $f=\sqrt u$ alors \[f'=\frac{u'}{2\sqrt u}\]
    Ne pas oublier le $u'$ !

    $x$ est une variable,
    alors que $u$ est une fonction.

    La première formule est un cas particulier de la seconde!




Tangente à la courbe d'une fonction


Cours en vidéo: principales questions à savoir traiter sur les tangentes Cours de math en vidéo
  • Equation de la tangente au point d'abscisse $a$ 
    $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ 
    sous réserve que $f$ soit dérivable en $a$.



    Si on développe dans l'équation,
    $f'(a)$ est le seul nombre multipliant $x$.
    Donc $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.

  • Tangente passant par un point donné 
    L'équation générale d'une tangente est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    On se place sur un intervalle I
    où $f$ est dérivable.


    Pour déterminer les tangentes qui passent par le point $A(x_A;y_A)$
    1) On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de A dans l'équation de la tangente.
    2) Puis on résout l'équation d'inconnue $a$.
    Les solutions,
    sont les abscisses des points où la tangente passe par le point A.
  • Tangente parallèle à une droite donnée 
    Pour déterminer les tangentes parallèle à une droite donnée $\Delta$:$y=mx+p$
    On se place sur un intervalle
    où $f$ est dérivable.

    on résout $f'(a)=m$
    2 droites d'équation $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$
    sont parallèles
    si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

    Le coefficient directeur d'une tangente est $f'(a)$
    Le coefficient directeur de $\Delta$ est $m$.


    Dans cette équation, $a$ est l'inconnue.

    Les solutions,
    sont les abscisses des points où la tangente est parallèle à $\Delta$.
  • Tangente commune
    Pour trouver les tangentes communes à 2 courbes

    1) écrire une équation générale de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$
        $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    2) écrire une équation générale de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $b$
        $T'_b: y=g'(b)(x-b)+f(b)$
    3) Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $T_a$ et $T'_b$.
    4) Les 2 tangentes correspondent à la même droite $\Leftrightarrow$ elles ont le même coefficient directeur et même ordonnée à l'origine.
        Traduire cela, à l'aide d'un système.
    5) Résoudre le système



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Exercices 1:

Calculer rapidement des dérivées avec des quotients et des puissances


Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction sur l'intervalle I indiqué:
    a) \[f(x)=\frac{5x^4}2-\frac 3{4x^2}-\frac23\] et I=$]-\infty;0[$.
    b) \[f(t)=\frac 5{(t^2+1)^3}\] et I=$\mathbb{R}$.
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Exercices 2:

Calculer rapidement des dérivées avec des quotients et des puissances


Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x)=\left(3+\frac 2x-\frac1{x^2}\right)^2\].
Exercices 3:

Calculer rapidement des dérivées avec des quotients et des puissances


Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $]-\infty;1[$ par \[f(t)=\left(\frac {t+2}{t-1}\right)^2\].
Exercices 4:

Calculer rapidement des dérivées avec des produits et des puissances


Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=(2x-3)^4\left(1-x^2\right)^7\].
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Exercices 5:

Calculer des dérivées avec des racines


On considère la fonction $f$ définie sur $[-1;2]$ par \[f(x)=\sqrt{-x^2+x+2}\].
1) Justifier que $f$ est dérivable sur $]-1;2[$.
2) Pour tout $x$ de $]-1;2[$, calculer $f'(x)$.
Exercices 6:

Dérivée de $u^n$ - démonstration du cours


On rappelle que :
        Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I
        alors $\left\{\begin{array}{l} \text{la fonction } u\times v \text{ est dérivable sur I}\\ (u\times v)'=u'v+uv' \end{array}\right.$

Soit $u$ une fonction dérivable sur I.
    1) Démontrer que $u^2$ est dérivable sur I et déterminer $\left(u^2\right)'$.
    2) Démontrer que $u^3$ est dérivable sur I et déterminer $\left(u^3\right)'$.
    3) Quelles conjectures peut-on faire?
    4) Démontrer ces conjectures.
Exercices 7:

Problème de dérivabilité avec des racines


1) Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$. Justifier que $f$ n'est pas dérivable en 0.
2) Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x\sqrt x$. Justifier que $g$ est dérivable en 0.
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Exercices 8:

Variations d'une famille de fonctions


Pour tout entier $n\ge 1$, on note la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-2x)^n$.
Déterminer les variations des fonctions $f_n$ selon les valeurs de $n$.
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Exercices 9:

Points fixes d'une famille de fonctions


Pour tout entier $n\ge 1$, on note la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-2x)^n$.
Démontrer que toutes les courbes représentatives des fonctions $f_n$ passent par 4 points fixes,
c'est à dire dont les coordonnées ne dépendent pas de $n$. Donner les coordonnées de ces 4 points fixes.
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Exercices 10:

Tangente passant par un point donné


On considère la fonction $f$ définie $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative.
1) Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée.
2) Existe-t-il une tangente à $\mathscr{C}$ passant par le point A(1;0)? Justifier.
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Exercices 11:

Étude des variations d'une fonction


On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash{\{0\}}$ par \[ f(x)=\frac{(1-x)^3}{x^2}\].
Étudier les variations de la fonction $f$.
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Exercices 12:

Tangente parallèle à une droite donnée


On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{(1-x)^3}{1+x^2}$. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$.
Peut-on trouver des points de $\mathscr{C}$ où la tangente à $\mathscr{C}$ est parallèle à la droite $\Delta$ d'équation $y=-x+4$?
Dans l'affirmative, préciser le nombre de ces points et leur abscisse.
Pour traiter le problème, on a obtenu à l'aide d'un logiciel de calcul formel, le résultat suivant que vous pouvez utiliser: $\text{Développer}\left(\frac{-3(1-x)^2(1+x^2)-2x(1-x)^3}{\left(1+x^2\right)^2}\right)\rightarrow \frac{-x^4+4x-3}{x^4+2x^2+1}$
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Exercices 13:

Reconnaitre la courbe de f et f' - équation de tangente


On a tracé deux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$.
L'une est la courbe d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$. L'autre est la courbe de sa dérivée $f'$.

1) Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond en justifiant.
2) A l'aide du graphique, déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1.
Exercices 14:

Tangente commune à 2 courbes


Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ par $g(x)=\frac 1x$.
L'objectif de ce problème est de montrer que les courbes de $f$ et $g$ admettent une tangente commune
dont on donnera une équation. On notera $\mathscr{C}_f$ la courbe de $f$ et $\mathscr{C}_g$ la courbe de $g$.
1) Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
2) Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse $b$.
3) Démontrer que l'existence d'une tangente commune revient à résoudre $\left\{ \begin{array}{r@{~}c@{~}l} 2\,a\, & = & -\frac 1 {b^2} \\ -\,a^2\, & = & \frac 2 b \end{array} \right.$
4) Justifier que l'équation $x^3=-8$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$. Donner la valeur de cette solution.
5) Conclure.
Exercices 15:

Distance d'un point à une courbe - distance minimale


Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe de $f$.
Soit M un point de $\mathscr{C}_f$ et A le point de coordonnées (2;0).

1) A l'aide du graphique ci-dessus, Déterminer graphiquement les coordonnées de M
     pour que la distance AM soit minimale.
2) On note $x$ l'abscisse de M et on pose $g(x)=AM$.
     a) Montrer que pour tout $x\ge 0$, $g(x)=\sqrt{x^2-3x+4}$.
     b) Justifier que $g$ est définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et déterminer $g'(x)$.
     c) En déduire les variations de $g$.
     d) Refaire la question 1) par le calcul.
3) On suppose maintenant que le point M a pour abscisse $\frac 32$.
     a) On appelle T la tangente à $\mathscr{C}_f$ en M. Déterminer le coefficient directeur de T.
     b) Tracer T sur le graphique où est tracée $\mathscr{C}_f$.
     c) Quelle conjecture peut-on faire concernant T et la droite (AM)?
     d) Démontrer cette conjecture.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie