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Continuité
Théorème des valeurs intermédiaires


Qu'est-ce qu'une

fonction continue

♦ La continuité expliquée en vidéo Cours de math en vidéo
  • Qu'est-ce qu'une fonction continue en a
    On dit que f est continue en a lorsque :
    lim xa
    f(x) = f(a)

    a appartient toujours au domaine de définition.

    Si la fonction n'est pas définie en a,
    ça n'a pas de sens de parler de continuité en a.

  • Qu'est-ce qu'une fonction continue sur I
    f est continue sur un intervalle I,
    lorsque f est continue en tout nombre a de I.
    Interprétation graphique:
    La courbe d'une fonction continue
    peut se tracer sans lever le stylo.

  • Quelles sont les fonctions continues
    Les fonctions polynômes, sinus, cosinus et racine
    sont continues sur leur domaine de définition.
    Les fonctions construites à partir de ces fonctions
    par somme, produit, quotient et composition
    sont continues sur leur domaine de définition.

    Par exemple: la fonction $f(x)=\frac{x^2-x}{2-x}$
    est continue sur son domaine de définition,
    car elle est construite comme quotient de 2 polynômes.

  • A quoi sert la continuité
    Pour pouvoir comprendre et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.




Théorème des valeurs intermédiaires
♦ Le théorème des valeurs intermédiaires expliqué en vidéo Cours de math en vidéo
  • Théorème des valeurs intermédiaires

    :
    Soit f une fonction continue sur [a;b]
    et k un nombre compris entre f(a) et f(b)
    l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a;b]
    Autrement dit:
    $f(x)$ va prendre au moins une fois,
    toutes les valeurs intermédiaires
    entre $f(a)$ et $f(b)$.
    D'où le nom du théorème!

  • Cas particulier:
    Si en plus d'être continue, f est strictement monotone sur [a;b]
    Dire q'une fonction est strictement monotone sur un intervalle I
    signifie qu'elle est
    soit toujours strictement croissante sur I
    soit toujours strictement décroissante sur I.

    et k un nombre compris entre f(a) et f(b)
    l'équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b]
    Autrement dit:
    $f(x)$ va prendre exactement une fois et une seule,
    toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$.

  • Ces 2 théorèmes se généralisent:
    Ces 2 théorèmes se généralisent à tous les types d'intervalles,
    en remplaçant si besoin f(a) et f(b) par les limites de f en a et b.
  • Ces théorèmes ne permettent pas
    Ces théorèmes permettent de savoir combien une équation a de solution,
    mais ils ne permettent pas de connaitre la valeur de ces solutions.
    A l'aide de la calculatrice,
    on peut encadrer ces solutions,
    comme expliqué dans la vidéo ci dessous.

  • Pour montrer qu'une équation du type A=B a au moins une solution sur un intervalle I
    1°) Poser $f(x)$=A-B
    2°) Vérifier que $f$ est continue sur I
    3°) Chercher $a$ tel que $f(a)\le 0$ et $b$ tel que $f(b)\ge 0$
    4°) Conclure à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires
  • Pour montrer qu'une équation du type A=B a exactement une solution
    1°) Poser $f(x)$=A-B
    2°) Etudier les variations de $f$
    3°) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle où la fonction est strictement monotone
    Procéder de même pour montrer
    qu'une équation a exactement 2 solutions, 3 solutions, ...




Encadrer les solutions d'une équation
♦ 2 méthodes pour encadrer les solutions d'une équation avec une calculatrice Ti 82 ou Ti-83 Cours de math en vidéo ♦ 2 méthodes pour encadrer les solutions d'une équation avec une calculatrice Casio Graph 35+ Cours de math en vidéo
  • Méthode 1:
    Déterminer avec votre calculatrice, un tableau de valeur pour avoir un encadrement.
    Penser à règler la valeur de départ et le pas
    comme expliqué dans la vidéo.
  • Méthode 2:
    Utiliser le menu Solve de votre calculatrice pour avoir un encadrement.
    comme expliqué dans la vidéo.
  • Encadrer à $10^{-4}$ près
    Déterminer un encadrement de A d'amplitude $10^{-4}$
    signifie qu'on doit trouver 2 nombres B et C tels que:
    $B\le A \le C$ et l'écart entre B et C doit être inférieur ou égal à 0,0001
    Par exemple: $1,0125\le A\le 1,0126$
Méthode par balayage pour encadrer les solutions d'une équation - Algorithme Cours de math en vidéo
  • Méthode par balayage
    Si on sait que la solution de l'équation $f(x)=0$ est comprise entre $a$ et $b$
    et que l'on veut un encadrement d'amplitude $0,01$ de cette solution
    on va parcourir, autrement dit balayer l'intervalle $[a;b]$ en avançant par pas de $0,01$.
    Dès que $f(x)$ change de signe,
    la solution est comprise entre la valeur où $f$ est négative et la valeur où $f$ est positive
    comme expliqué dans la vidéo.

Méthode par dichotomie pour encadrer les solutions d'une équation - Algorithme Cours de math en vidéo
  • Méthode par dichotomie
    Dichotomie signifie
    Couper en deux


    Si on sait que l'équation $f(x)=0$ admet une solution sur l'intervalle [a;b]
    et que de plus que $f(a)\le 0$ et $f(b)\ge 0$ et que $f$ est continue sur [a;b],
    et que l'on veut un encadrement d'amplitude $0,01$ de cette solution:

    1) On trouve le milieu $m$ de $[a;b]$.
    2) On calcule $f(m)$.
    3) On regarde si $f(m)$ est positif ou négatif
        Si $f(m)\le 0$ alors la solution est après $m$
    On se place sur l'intervalle $[m;b]$

        Si $f(m)\ge 0$ alors la solution est avant $m$
    On se place sur l'intervalle $[a;m]$

    Et ainsi de suite. A chaque fois, la longueur de l'intervalle est divisé en 2.
    On s'arrète dès que la longueur de l'intervalle est inférieure ou égale à $0,01$

    Si on doit deviner un entier de 0 à 100:

    On propose le milieu 50
    Si on nous dit que le nombre à trouver est plus grand, on propose 75
    Si on nous dit que le nombre à trouver est plus petit, on propose 25
    Et ainsi de suite,
    C'est le principe de dichotomie

Exercice 1: Reconnaitre une fonction continue -

continuité en un point

- sur un intervalle
On a tracé la courbe d'une fonction \(f\) définie sur [-3;3].
1) La fonction est-elle continue :
    a) en -3     b) en -2     c) en -1     d) en 3?
2) La fonction est-elle continue sur :
    a) [-3;1]     b) [-3;-2]     c) [-3;-1[     d) [-2;-1]     e) [-1;3]     f) ]-1;3]?




Exercice 2: Continuité en point -

Fonction définie par morceaux


On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2-2x+2 \quad\text{ si } x\le 1 \\ \frac 1x \quad\quad\quad\quad\quad\text{ si }x>1\\ \end{array}\right.\]
La fonction \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\)?
Exercice 3: Continuité en point -

Fonction définie par morceaux


On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2-2x+2 \quad\text{ si } x< -1 \\ 6-x^3 \quad\quad\quad\quad\text{si }x\ge -1\\ \end{array}\right.\]
La fonction \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\)?
Exercice 4: Nombre de solution d'une équation et tableau de variations - théorème des valeurs intermédiaires
On donne le tableau de variations d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{ -3 \}\).

1) Comparer si possible:
     a) $f(-5)$ et $f(2)$      b) $f(-5)$ et $f(0)$      c) $f(-2)$ et $f(3)$
2) Dans chaque cas, déterminer le nombre de solutions de l'équation:
     a) \(f(x)=-2\)      b) \(f(x)=2\)      c) \(f(x)=-4\)      d) \(f(x)-5=0\)
3) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$, selon les valeurs de $k$.
4) Déterminer le signe de $f(x)$.
5) Dans chaque cas, déterminer l'image par $f$ de l'intervalle:
     a) $]-\infty;-3[$      b) $]-3;+\infty[$      c) $]-3;4[$
6) Déterminer les équations des éventuelles asymptotes horizontales et verticales.
Exercice 5: Justifier qu'une équation a au moins une solution - a une solution unique - encadrer la solution à 10^-2 près
1) Montrer que l'équation $x^3=2$ admet au moins une solution sur $\mathbb{R}$.
2) Montrer que l'équation $x^3=2$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, notée $x_0$.
3) Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $x_0$.
Corrigé en vidéo
Exercice 6: Déterminer le nombre de solution d'une équation - Donner un encadrement - Théorème des valeurs intermédiaires
1) Démontrer que l'équation $x^3-3x=3$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.
2) Démontrer que l'équation $x^3-3x=3$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
3) Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
4) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $x^3-3x=k$, selon les valeurs de $k$.
Corrigé en vidéo
Exercice 7: Démontrer qu'une équation admet une solution unique - Donner un encadrement cette solution
1) Déterminer le nombre de solution de l'équation $3x^4+4x^3=12x^2+1$ dans $\mathbb{R}$.
2) Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de chacune des solutions.
Corrigé en vidéo
Exercice 8: Méthode par balayage pour encadrer la solution d'une équation - Algorithmique
1) Montrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
2) Écrire un algorithme pour déterminer par balayage un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
Corrigé en vidéo
Exercice 9: Méthode par dichotomie pour encadrer la solution d'une équation
Soit $f$ une fonction continue strictement croissante sur $[a;b]$, telle que $f(a)<0$ et $f(b)>0$.
On sait que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[a;b]$.
1) Écrire un algorithme pour déterminer par dichotomie un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
2) Application:
     a) Justifier que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
     b) Déterminer par dichotomie, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
3) Généraliser l'algorithme de dichotomie à une fonction strictement monotone.
Exercice 10: Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=k selon les valeurs de k
1) Démontrer que l'équation \[\frac{1}{x-2}=\sqrt{x}\] admet au moins une solution sur $]2;+\infty[$.
2) Démontrer que l'équation \[\frac{1}{x-2}=\sqrt{x}\] admet une unique solution $\alpha$ sur $]2;+\infty[$.
3) Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
Exercice 11: Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=k selon les valeurs de k
L'objectif de cet exercice est de dénombrer le nombre de solutions de l'équation $2x^3+3x^2+1=k$.
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3+3x^2+1$.
1) Déterminer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
3) Démontrer que l'équation $2x^3+3x^2+1=0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$.
    Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
4) Démontrer que l'équation $2x^3+3x^2=1$ admet exactement 2 solutions sur $\mathbb{R}$.
5) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$, selon les valeurs de $k$.
Corrigé en vidéo
Exercice 12: Etude complète d'une fonction - nombre de solutions de l'équation f(x)=k selon les valeurs de k
On considère la fonction définie sur $]-\infty;1[\cup ]1;+\infty[$ par $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x-1}$.
1) Étudier les variations de $f$.
2) Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition.
3) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$, selon les valeurs de $k$.
Exercice 13: Déterminer le nombre de solution d'une équation avec ou sans le théorème des valeurs intermédiaires
1) Déterminer le nombre de solution de l'équation $x^4+4x^3=1$ sur $\mathbb{R}$.
2) Démontrer que l'équation $x^4+4x^3=0$ admet 2 solutions sur $\mathbb{R}$:
    a) A l'aide du théorème des valeurs intermédiaires.
    b) Sans utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
3) Peut-on appliquer la méthode du 2)b) à la question 1)? Justifier.
Exercice 14: Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=k selon les valeurs de k
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-2x^2+1$.
1) Étudier les variations de $f$.
2) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$, selon les valeurs de $k$.
Corrigé en vidéo
Exercice 15: Etude des variations à l'aide fonction auxiliaire et théorème des valeurs intermédaires
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{ -1 \}$ par \[f(x)=\frac{x^2+1}{x^3+1}\].
1) Pour tout réel $x\ne-1$, déterminer $f'(x)$.
2) On considère la fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=-x^3-3x+2$.
    a) Étudier les variations de $P$ sur $\mathbb{R}$.
    b) En déduire que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
    c) En déduire le signe de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$.
    d) Démontrer que $0.5 < \alpha < 0.6$
    e) Démontrer que \[f(\alpha)=\frac 2{3\alpha}\]. En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
Pour montrer que \[f(\alpha)=\frac 2{3\alpha}\] :
utiliser la définition de $\alpha$.

3) En déduire le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$ sur $\mathbb{R}\backslash\{ -1 \}$.
Penser à exprimer $f'(x)$ à l'aide de $P(x)$.
Exercice 16: solution de l'équation x+x²+...x^n=1 - Théorème des valeurs intermédiaires
Soit un entier $n \ge 2$.
On considère la fonction définie sur $[0;1]$ par $f_n(x)=x+x^2+...+x^n$
1) Démontrer que l'équation $x+x^2+...+x^n=1$ admet une unique
    solution sur [0;1]. On note $a_n$ cette solution.
2) On a tracé les courbes des fonctions $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_{20}$.
    Déterminer graphiquement une valeur approchée de $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_{20}$.
    Conjecturer le sens de variation de $(a_n)$ et sa limite.
3) Déterminer la valeur exacte de $a_2$.
4) Pour $x\in [0;1]$, comparer $f_n(x)$ et $f_{n+1}(x)$.
5) Démontrer que pour $n\ge 2$, $f_{n+1}(a_n) \ge 1$.
    En déduire le sens de variation de $(a_n)$.
6) Justifier que pour $n\ge 2$, \[0\le a_n \le \frac 34\].
7) En déduire que la suite $(a_n)$ converge. On note $\ell$ sa limite.
8) En déduire que \[\lim_{\substack{n \to +\infty}}f_n(a_n)=\frac 1{1-\ell}-1\].
    En déduire la valeur de $\ell$.
Exercice 17: Problème ouvert - solution de l'équation f(x)=x - Théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f$ une fonction définie et continue sur [0;1] telle que pour tout $x$ de [0;1], $0\le f(x)\le 1$.
Montrer qu'il existe au moins un nombre $a$ de [0;1] tel que $f(a)=a$.
Corrigé en vidéo!
Exercice 18:Théorème des valeurs intermédiaires: Problème ouvert - fonction trigonométrique
Déterminer le nombre de solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation (E) $\cos x=x$.
Donner un encadrement de chacune de ces solutions à 0,01 près.

Exercice 19: Problème ouvert
Dénombrer les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation (E) $\sin x=x^2$.


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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie