Fonction cube

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Fonction cube

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Fonction cube

expliquée en vidéo

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Définition de la fonction cube

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Courbe de la fonction cube

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Variations de la fonction cube

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position relative des courbes d'équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$

Ce qu'il faut savoir

Cours

Démonstration des variations de la fonction cube

Exercice 1: Calcul d'image par la fonction cube

Calculer l'image de chacun des nombres suivants par la fonction cube:

$\color{red}{\textbf{a. }} 2$ $\color{red}{\textbf{b. }} -3$ $\color{red}{\textbf{c. }} \sqrt 5$ $\color{red}{\textbf{d. }} -3\sqrt 2$

Exercice 2: Calcul d'image par la fonction cube

Calculer l'image de chacun des nombres suivants par la fonction cube:

$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 12$ $\color{red}{\textbf{b. }} -0,1$ $\color{red}{\textbf{c. }} 10^2$ $\color{red}{\textbf{d. }} 5^7$

Exercice 3: antécédent par la fonction cube

Déterminer les antécédents de chacun des nombres suivants par la fonction cube:

$\color{red}{\textbf{a. }} 27$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1$ $\color{red}{\textbf{c. }} 0$ $\color{red}{\textbf{d. }} -8$

Exercice 4: Comparer $a^3$ et $b^3$ cube

Sans calculatrice, remplacer les pointillés par $\lt$, $\gt$ ou $=$:

$\color{red}{\textbf{a. }} (0,3)^2~...~(0,3)^3$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1,35^3~...~1,4^3$ $\color{red}{\textbf{c. }} 0,9~...~0,9^3$ $\color{red}{\textbf{d. }} (-\pi)^3~...~(-3)^3$ $\color{red}{\textbf{e. }} \left(\dfrac 45\right)^3~...~\left(\dfrac 23\right)^3$ $\color{red}{\textbf{f. }} \dfrac 8{27}~...~\left(\dfrac 56\right)^3$

Exercice 5: équation du type x^3=a

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^3=8$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^3=-1$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^3=-1000$

Exercice 6: inéquation avec x^3 cube

Résoudre les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^3\leqslant 27$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^3\gt 8$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^3\geqslant -1$ $\color{red}{\textbf{d. }} -8\leqslant x^3\leqslant 1$

Exercice 7: démonstration cours parité fonction cube

Démontrer que la fonction cube est impaire.

Exercice 8: Position relative des courbes d'équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$

Déterminer graphiquement la position relative des courbes d'équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$ sur $[0;+\infty[$.
Démontrer votre conjecture.

Exercice 9: démonstration variations fonction cube

Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$, on a $b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)$.
En déduire que la fonction cube est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
En déduire que la fonction cube est strictement croissante sur $]-\infty;0]$.

Exercice 10: Problème d'encadrement - fonction cube

Un artiste souhaite réaliser une sphère en métal. Pour cela, il a acheté 10 m$^3$ de métal. On cherche le rayon maximum $r$ de cette sphère.

Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation $r^3\leqslant \dfrac{15}{2\pi}$.
A l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée de $r$ au centième.