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Terminale S

Limite d'une fonction par le calcul


3 techniques
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Comprendre à quoi sert d'étudier une limite
      • Pour connaitre le comportement d'une fonction en $\pm\infty$
      • Pour connaitre le comportement d'une fonction autour d'une valeur interdite
    • Comprendre les tableaux des limites et quand on peut conclure directement Cours de math en vidéo
    • Savoir conclure avec une forme $\frac k0$
    • Connaitre les formes indéterminées
    • Connaitre les méthodes en fonction de la forme indéterminée
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ En décomposant la fonction, comme expliqué dans cette vidéo Cours de math en vidéo
• Limite d'une somme

Limite d'un produit

Limite d'un quotient

Limite d'une composée


♦ S'il y a une

forme indéterminée

Il y a 4 formes indéterminées:
$\infty-\infty$ $\frac \infty\infty$ $0\times \infty$ $\frac 00$

• Avec une forme indéterminée du type $\infty-\infty$ $\frac \infty\infty$ $0\times \infty$ Cours de math en vidéo
Penser à mettre en facteur le terme prépondérant
Avec un polynôme,
le terme prépondérant
correspond au terme de plus haut degré

Avec un quotient
Penser à mettre en facteur le terme prépondérant du numérateur
et en facteur le prépondérant du dénominateur

• Avec une forme indéterminée du type $\frac 00$ Cours de math en vidéo
• Méthode 1: Penser à écrire la limite sous la forme $\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
puis utiliser la dérivation,
comme expliqué dans la vidéo.

• Méthode 2: Penser à factoriser par $(x-a)$ et simplifier puis chercher la limite.

♦ A l'aide d'une inégalité Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
• Si f(x) ≥ g(x) pour x ≥ A et si
lim x → +∞
g(x) = +∞
alors
lim x → +∞
f(x) = +∞

• Si f(x) ≤ g(x) pour x ≥ A et si
lim x → +∞
g(x) = -∞
alors
lim x → +∞
f(x) = -∞

• Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) pour x ≥ A et si g et h ont la même limite en +∞ alors
lim x → +∞
f(x) = ℓ
(

Théorème des gendarmes

)

On a les mêmes propriétés en -∞
Penser à utiliser: -1 ≤ cos(...) ≤ 1 et -1 ≤ sin(...) ≤ 1





Exercice 1: Utiliser les tableaux pour trouver la limite d'une fonction - limite d'une somme - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x)+g(x)\) et de \(f(x)-g(x)\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=+\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty \\ \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -3}f(x)=+\infty \\ \lim\limits_{x \to -3}g(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\] d) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-4 \\ \end{array}\right.\]
Exercice 2: Déterminer la limite d'un produit, d'un quotient - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x)\times g(x)\) et de \(\frac {f(x)}{g(x)}\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to 0}g(x)=+\infty \\ \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=-3 \\ \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=3 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\] d) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\]
Exercice 3: limite d'une fonction à l'aide des tableaux - Limite d'un quotient - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\) et le signe de \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x)\times g(x)\) et de \(\frac {f(x)}{g(x)}\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=0 \\ g(x)>0 \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-4\\ \lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=0 \\ g(x)<0 \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=0 \\ g(x)>0 \end{array}\right.\]
Corrigé en vidéo
Exercice 4: Déterminer la limite d'une fonction - forme indéterminée - Asymptote
Déterminer les limites suivantes et interpréter graphiquement:
     a) \[\lim_{x \to -\infty} 2x^3-5x^2+1\]          b) \[\lim_{x \to +\infty} 2x^3-5x^2+1\]     
Corrigé en vidéo
Exercice 5: Déterminer la limite d'une fonction - Lever l'indétermination en factorisant par le terme de plus haut degré
Déterminer les limites suivantes. Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales:
a) \[\lim_{x \to +\infty} \frac 2 {1-x}\]         b) \[\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+x-1}{2x^2+x}\]         c) \[\lim_{x \to +\infty} (2x-3)\times \frac{1}{x+1}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 6: Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite
Déterminer les limites suivantes. Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales:
a) \[\lim_{\substack{x \to 0\\x<0}} 4+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\]         b) \[\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} 4+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\]         c) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} 4+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 7: Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite - forme indéterminée
Déterminer les limites suivantes. Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales:
a) \[\lim_{\substack{x \to 1\\x>1}} \frac{2x+5}{1-x}\]         b) \[\lim_{\substack{x \to 1\\x<1}} \frac{2x+5}{1-x}\]         c) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac{2x+5}{1-x}\]
Exercice 8: Déterminer la limite d'une fonction en a - limite à gauche et à droite
Déterminer les limites suivantes, en distinguant si besoin, la limite à gauche et à droite.
Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales.
a) \[\lim_{\substack{x \to 2}} \frac1{(x-2)^2}\]         b) \[\lim_{\substack{x \to 2}} \frac1{x-2}\]         c) \[\lim_{\substack{x \to 1}} \frac x{x^2-1}\]         d) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac x{x^2-1}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 9: limite d'une fonction - limite d'une composée
Déterminer les limites suivantes:
     a) \[\lim_{x \to -\infty} \cos \left(\frac 1x\right)\]      b) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \sqrt \frac {4x+5}{x-2}\]      c) \[\lim_{\substack{x \to 2\\x>2}} \sqrt \frac {4x+5}{x-2}\]
Corrigé en vidéo Exercice 10: limite de fonction dans le cas \(\frac 00\) - Utiliser la dérivation
Déterminer les limites suivantes:
     a) \[\lim_{x \to 1} \frac {\sqrt x -1}{x-1}\]      b) \[\lim_{x \to 0} \frac {\sin x }{x}\]      c) \[\lim_{x \to -1} \frac {x^3-5x-4}{x+1}\]
1) Faire apparaitre: \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] en précisant f.
2) Conclure en utilisant la propriété:
     Si f est dérivable en a alors \[\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\]

Exercice 11: Démontrer qu'une fonction n'a pas de limite - limite de la fonction cosinus et sinus en +∞
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos(x)\).
1) Démontrer qu'on ne peut avoir \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)=+\infty\], ni \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)=-\infty\].
2) Calculer \(f(2\pi n)\) et \(f(2\pi n+\pi)\) où \(n\) est un entier naturel.
3) En déduire que \(f\) n'a pas de limite finie en \(+\infty\).
4) Que peut-on conclure?
5) Comment adapter cette méthode, pour montrer que la fonction sinus n'a pas de limite.
Exercice 12: Limite d'une fonction décroissante
On considère une fonction \(f\) définie et décroissante sur \(\mathbb{R}\). On sait de plus \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)=1\].
1) Quelle conjecture peut-on faire sur \(f\)?
2) Démontrer cette conjecture.
Corrigé en vidéo
Exercice 13: Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - sinus - cosinus - Théorème des gendarmes
Déterminer les limites suivantes:
a) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} x+\cos(x)\]       b) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac{3x-1}{x-2\sin(x)}\]       c) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac{\sin(x)}{x+\cos(x)}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 14: Théorème de comparaison et des gendarmes pour trouver la limite d'une fonction
Dans chaque cas, on considère une fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ vérifiant une condition donnée.
Déterminer, si possible, la limite de $f$ en $+\infty$ et en 0:
1) Pour tout $x>0$, \[~f(x)\ge \frac 1x\]. 2) Pour tout $x\ge 1$, \[~\frac{x-1}{x+1}\le f(x)\le \frac 1x +1\]. 3) Pour tout $x>0$, \[~|6-2f(x)|\le \frac 1x\].
Exercice 15: Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - ...≤ f(x) ≤ ... - théorème des gendarmes
1) \(f\) est une fonction définie sur \(]0;+\infty[\) telle que \(f(x)\le \frac 1x\)
a) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. b) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to 0}}f(x)\] . Justifier votre réponse. 2) \(f\) est une fonction définie sur \(]0;+\infty[\) telle que \(f(x)\ge \frac 1x\)
a) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. b) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to 0}}f(x)\] . Justifier votre réponse. 3) \(f\) est une fonction définie sur \(]0;+\infty[\) telle que pour \(x\ge 1\), \(\frac 1{x^2} \le f(x)\le \frac 1x\)
a) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. b) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to 0}}f(x)\] . Justifier votre réponse. 4) \(f\) est une fonction définie sur \(]0;+\infty[\) telle que pour \(x\ge 1\), \(1-\frac 1{x} \le 2f(x)-5\le 1+\frac 1{x^2}\)
Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. 5) \(f\) est une fonction définie sur \([0;+\infty[\) telle que pour \(x\ge 0\), \(0 \le f(x)\le \sqrt{x}\)
a) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. b) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to 0}}f(x)\] . Justifier votre réponse. c) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{f(x)}{x}\] . Justifier votre réponse.
Exercice 16: Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - |f(x)-l| ≤ ...
On considère une fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\frac{x^2+x-1}{2x^2}\).
1) A l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite \(\ell\) de \(f\) en \(+\infty\).
2) Démontrer que pour \(x\ge 1\), \(|f(x)-\ell|\le \frac 1 {2x}\).
3) En déduire \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] .
4) Retrouver la limite de \(f\) en \(+\infty\) sans utiliser d'encadrement.
Exercice 17: Lecture limite graphiquement - limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une composée - asymptote
\(\mathscr{C}_1\), \(\mathscr{C}_2\),\(\mathscr{C}_3\) sont les courbes respectives de 3 fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) définies sur \(\mathbb{R}\).

1) Déterminer graphiquement les limites de \(f\), \(g\) et \(h\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
Indiquer les asymptotes horizontales ou verticales.
2)Déterminer si possible, les limites suivantes:
a) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)+g(x)\] b) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} g(x)\times h(x) \] c) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} f(x)\times h(x)\] d) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)\times g(x) \]
e) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} g(x)+ h(x) \] f) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} h(x)-g(x) \] g) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac {h(x)}{g(x)} \] h) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac {g(x)}{f(x)} \]
i) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac {h(x)}{g(x)} \] j) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac {g(x)}{f(x)} \] k) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} f(-x) \] l) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} f(g(x)) \]
Corrigé en vidéo
Exercice 18: Limite et tableau de variation - asymptote - limite de -f , 1/f et de |f|
On donne le tableau de variations d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{ -3 \}\).

  • Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.
    Indiquer les équations des éventuelles asymptotes.
  • Déterminer le tableau de variations des fonctions \(-f\), \(\frac 1f\) et \(|f|\).
    Préciser dans chaque cas, les limites aux bornes du domaine de définition.
Corrigé en vidéo
Exercice 19: Déterminer a,b,c - à l'aide du tableau de variation et des limites
On connait le tableau de variations d'une fonction \(f\):

On sait de plus qu'il existe trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que pour tout \(x\ne-3\), \(f(x)=\frac{ax+b}{x+c}\).
Déterminer les valeurs de \(a\), \(b\), \(c\) en justifiant.
Exercice 20: Déterminer a,b,c tels que f(x)=ax+b+... - asymptote
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{ 2 \}\) par \(f(x)=\frac{2x^2-3x-3}{x-2}\).
  • Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
  • Déterminer \[\lim_{\substack{x \to 2\\x>2}}f(x)\] et \[\lim_{\substack{x \to 2\\x<2}}f(x)\]
  • Déterminer \(f'(x)\).
  • Dresser le tableau de variation de \(f\)
    Préciser dans ce tableau les limites aux bornes du domaine de définition.
    Indiquer les équations des éventuelles asymptotes.
  • Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que pour tout \(x\ne 2\), \(f(x)=ax+b+\frac {c}{x-2}\).
  • Déterminer \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)-(ax+b)\]
    Quelle interprétation graphique peut-on en déduire?
    Vérifier cette interprétation à l'aide de la calculatrice.
Corrigé en vidéo Exercice 21: Limite et racine - quantité conjuguée
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-\sqrt{x^2+5}\).
1) Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
2) Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\). On pourra utiliser l'

expression conjuguée

.
L'expression conjuguée de:
\[a-\sqrt b\] est \[a+\sqrt b\]
1) Multiplier et diviser par l'expression conjuguée
2) Développer, arranger
3) Chercher la limite
Exercice 22: Déterminer une fonction connaissant les limites
Dans chaque cas, déterminer une fonction \(f\) vérifiant les conditions suivantes:
a) \[\lim_{\substack{x \to 1\\x<1}}f(x)=-\infty\] et \[\lim_{\substack{x \to 1\\x>1}}f(x)=+\infty\] et \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=0\]
b) \[\lim_{\substack{x \to 1\\x<1}}f(x)=-\infty\] et \[\lim_{\substack{x \to 1\\x>1}}f(x)=-\infty\] et \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=2\]
c) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=3\] et \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=2\]

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 21 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie