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Terminale S

Limite d'une fonction par le calcul


3 techniques
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Comprendre à quoi sert d'étudier une limite
      • Pour connaitre le comportement d'une fonction en $\pm\infty$
      • Pour connaitre le comportement d'une fonction autour d'une valeur interdite
    • Comprendre les tableaux des limites et quand on peut conclure directement Cours de math en vidéo
    • Savoir conclure avec une forme $\frac k0$
    • Connaitre les formes indéterminées
    • Connaitre les méthodes en fonction de la forme indéterminée
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ En décomposant la fonction, comme expliqué dans cette vidéo Cours de math en vidéo
• Limite d'une somme

Limite d'un produit

Limite d'un quotient

Limite d'une composée


♦ S'il y a une

forme indéterminée

Il y a 4 formes indéterminées:
$\infty-\infty$, $\displaystyle\frac \infty\infty$, $0\times \infty$, $\displaystyle\frac 00$

• Avec une forme indéterminée du type $\boldsymbol{\infty-\infty}$, $\displaystyle\boldsymbol{\frac \infty\infty}$, $\boldsymbol{0\times \infty}$ Cours de math en vidéo
Penser à mettre en facteur le terme prépondérant
Avec un polynôme,
le terme prépondérant
correspond au terme de plus haut degré

Avec un quotient
Penser à mettre en facteur le terme prépondérant du numérateur
et en facteur le prépondérant du dénominateur

Erreur classique avec $\boldsymbol{0\times\infty}$ Cours de math en vidéo
Quand on a une forme du type $0\times\infty$
Avec $\boldsymbol{0\times\infty}$
On peut obtenir n'importe quoi,
et pas forcement 0 !!!!
C'est pour cela que ça s'appelle une forme indéterminée.
Car on ne sait pas d'avance le résultat.
Et pour trouver la limite, il faut faire un calcul supplémentaire,
comme expliqué dans la vidéo précédente.

• Avec une forme indéterminée du type $\displaystyle\boldsymbol{\frac 00}$ Cours de math en vidéo
• Méthode 1: Penser à écrire la limite sous la forme $\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
puis utiliser la dérivation,
comme expliqué dans la vidéo.

• Méthode 2: Penser à factoriser par $(x-a)$ et simplifier puis chercher la limite.

♦ A l'aide d'une inégalité Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
• Si f(x) ≥ g(x) pour x ≥ A et si
lim x → +∞
g(x) = +∞
alors
lim x → +∞
f(x) = +∞

• Si f(x) ≤ g(x) pour x ≥ A et si
lim x → +∞
g(x) = -∞
alors
lim x → +∞
f(x) = -∞

• Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) pour x ≥ A et si g et h ont la même limite en +∞ alors
lim x → +∞
f(x) = ℓ
(

Théorème des gendarmes

)

On a les mêmes propriétés en -∞
Penser à utiliser: -1 ≤ cos(...) ≤ 1 et -1 ≤ sin(...) ≤ 1





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Exercice 1: Utiliser les tableaux pour trouver la limite d'une fonction - limite d'une somme - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x)+g(x)\) et de \(f(x)-g(x)\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=+\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty \\ \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -3}f(x)=+\infty \\ \lim\limits_{x \to -3}g(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\] d) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-4 \\ \end{array}\right.\]
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Exercice 2: Déterminer la limite d'un produit, d'un quotient - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x)\times g(x)\) et de \(\frac {f(x)}{g(x)}\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to 0}g(x)=+\infty \\ \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=-3 \\ \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=3 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\] d) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-\infty \\ \end{array}\right.\]
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Exercice 3: limite d'une fonction à l'aide des tableaux - Limite d'un quotient - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(f(x)\) et \(g(x)\) et le signe de \(g(x)\).
Déterminer si possible, la limite de \(f(x)\times g(x)\) et de \(\frac {f(x)}{g(x)}\) et indiquer les éventuelles asymptotes.
a) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=0 \\ g(x)>0 \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-4\\ \lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=0 \\ g(x)<0 \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=0 \\ g(x)>0 \end{array}\right.\]
Corrigé en vidéo
Exercice 4: Déterminer la limite d'une fonction - forme indéterminée - Asymptote
Déterminer les limites suivantes et interpréter graphiquement:
     a) \[\lim_{x \to -\infty} 2x^3-5x^2+1\]          b) \[\lim_{x \to +\infty} 2x^3-5x^2+1\]     
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Exercice 5: Déterminer la limite d'une fonction - Lever l'indétermination en factorisant par le terme de plus haut degré
Déterminer les limites suivantes. Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales:
a) \[\lim_{x \to +\infty} \frac 2 {1-x}\]         b) \[\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+x-1}{2x^2+x}\]         c) \[\lim_{x \to +\infty} (2x-3)\times \frac{1}{x+1}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 6: Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite
Déterminer les limites suivantes:
a) \[\lim_{\substack{x \to 0\\x<0}} \frac{1-3x}{2-x}\]         b) \[\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} \frac{1-3x}{2-x}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 7: Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite
Déterminer les limites suivantes. Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales:
a) \[\lim_{\substack{x \to 0\\x<0}} 4+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\]         b) \[\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} 4+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\]         c) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} 4+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 8: Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite - forme indéterminée
Déterminer les limites suivantes. Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales:
a) \[\lim_{\substack{x \to 1\\x>1}} \frac{2x+5}{1-x}\]         b) \[\lim_{\substack{x \to 1\\x<1}} \frac{2x+5}{1-x}\]         c) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac{2x+5}{1-x}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 9: Déterminer la limite d'une fonction - Limite à gauche - Limite à droite
Déterminer les limites suivantes:
a) \[\lim_{\substack{x \to 0\\x<0}} \frac{x+3}{x^2-1}\]         b) \[\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} \frac{x+3}{x^2-1}\]
Exercice 10: Déterminer la limite d'une fonction en a - limite à gauche et à droite
Déterminer les limites suivantes, en distinguant si besoin, la limite à gauche et à droite.
Indiquer les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales.
a) \[\lim_{\substack{x \to 2}} \frac1{(x-2)^2}\]         b) \[\lim_{\substack{x \to 2}} \frac1{x-2}\]         c) \[\lim_{\substack{x \to 1}} \frac x{x^2-1}\]         d) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac x{x^2-1}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 11: limite d'une fonction - limite d'une composée
Déterminer les limites suivantes:
     a) \[\lim_{x \to -\infty} \cos \left(\frac 1x\right)\]      b) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \sqrt \frac {4x+5}{x-2}\]      c) \[\lim_{\substack{x \to 2\\x>2}} \sqrt \frac {4x+5}{x-2}\]
Corrigé en vidéo Exercice 12: limite de fonction dans le cas \(\frac 00\) - Utiliser la dérivation
Déterminer les limites suivantes:
     a) \[\lim_{x \to 1} \frac {\sqrt x -1}{x-1}\]      b) \[\lim_{x \to 0} \frac {\sin x }{x}\]      c) \[\lim_{x \to -1} \frac {x^3-5x-4}{x+1}\]
1) Faire apparaitre: \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] en précisant f.
2) Conclure en utilisant la propriété:
     Si f est dérivable en a alors \[\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\]

Exercice 13: Démontrer qu'une fonction n'a pas de limite - limite de la fonction cosinus et sinus en +∞
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos(x)\).
1) Démontrer qu'on ne peut avoir \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)=+\infty\], ni \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)=-\infty\].
2) Calculer \(f(2\pi n)\) et \(f(2\pi n+\pi)\) où \(n\) est un entier naturel.
3) En déduire que \(f\) n'a pas de limite finie en \(+\infty\).
4) Que peut-on conclure?
5) Comment adapter cette méthode, pour montrer que la fonction sinus n'a pas de limite.
Exercice 14: Limite d'une fonction décroissante
On considère une fonction \(f\) définie et décroissante sur \(\mathbb{R}\). On sait de plus \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)=1\].
1) Quelle conjecture peut-on faire sur \(f\)?
2) Démontrer cette conjecture.
Corrigé en vidéo
Exercice 15: Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - sinus - cosinus - Théorème des gendarmes
Déterminer les limites suivantes:
a) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} x+\cos(x)\]       b) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac{3x-1}{x-2\sin(x)}\]       c) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac{\sin(x)}{x+\cos(x)}\]
Corrigé en vidéo
Exercice 16: Théorème de comparaison et des gendarmes pour trouver la limite d'une fonction
Dans chaque cas, on considère une fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ vérifiant une condition donnée.
Déterminer, si possible, la limite de $f$ en $+\infty$ et en 0:
1) Pour tout $x>0$, \[~f(x)\ge \frac 1x\]. 2) Pour tout $x\ge 1$, \[~\frac{x-1}{x+1}\le f(x)\le \frac 1x +1\]. 3) Pour tout $x>0$, \[~|6-2f(x)|\le \frac 1x\].
Exercice 17: Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - ...≤ f(x) ≤ ... - théorème des gendarmes
1) \(f\) est une fonction définie sur \(]0;+\infty[\) telle que \(f(x)\le \frac 1x\)
a) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. b) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to 0}}f(x)\] . Justifier votre réponse. 2) \(f\) est une fonction définie sur \(]0;+\infty[\) telle que \(f(x)\ge \frac 1x\)
a) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. b) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to 0}}f(x)\] . Justifier votre réponse. 3) \(f\) est une fonction définie sur \(]0;+\infty[\) telle que pour \(x\ge 1\), \(\frac 1{x^2} \le f(x)\le \frac 1x\)
a) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. b) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to 0}}f(x)\] . Justifier votre réponse. 4) \(f\) est une fonction définie sur \(]0;+\infty[\) telle que pour \(x\ge 1\), \(1-\frac 1{x} \le 2f(x)-5\le 1+\frac 1{x^2}\)
Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. 5) \(f\) est une fonction définie sur \([0;+\infty[\) telle que pour \(x\ge 0\), \(0 \le f(x)\le \sqrt{x}\)
a) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] . Justifier votre réponse. b) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to 0}}f(x)\] . Justifier votre réponse. c) Déterminer si possible \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{f(x)}{x}\] . Justifier votre réponse.
Exercice 18: Limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement - |f(x)-l| ≤ ...
On considère une fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\frac{x^2+x-1}{2x^2}\).
1) A l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite \(\ell\) de \(f\) en \(+\infty\).
2) Démontrer que pour \(x\ge 1\), \(|f(x)-\ell|\le \frac 1 {2x}\).
3) En déduire \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)\] .
4) Retrouver la limite de \(f\) en \(+\infty\) sans utiliser d'encadrement.
Exercice 19: Lecture limite graphiquement - limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une composée - asymptote
\(\mathscr{C}_1\), \(\mathscr{C}_2\),\(\mathscr{C}_3\) sont les courbes respectives de 3 fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) définies sur \(\mathbb{R}\).

1) Déterminer graphiquement les limites de \(f\), \(g\) et \(h\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
Indiquer les asymptotes horizontales ou verticales.
2)Déterminer si possible, les limites suivantes:
a) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)+g(x)\] b) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} g(x)\times h(x) \] c) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} f(x)\times h(x)\] d) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x)\times g(x) \]
e) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} g(x)+ h(x) \] f) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} h(x)-g(x) \] g) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac {h(x)}{g(x)} \] h) \[\lim_{\substack{x \to +\infty}} \frac {g(x)}{f(x)} \]
i) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac {h(x)}{g(x)} \] j) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} \frac {g(x)}{f(x)} \] k) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} f(-x) \] l) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}} f(g(x)) \]
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Exercice 20: Limite et tableau de variation - asymptote - limite de -f , 1/f et de |f|
On donne le tableau de variations d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{ -3 \}\).

  • Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.
    Indiquer les équations des éventuelles asymptotes.
  • Déterminer le tableau de variations des fonctions \(-f\), \(\frac 1f\) et \(|f|\).
    Préciser dans chaque cas, les limites aux bornes du domaine de définition.
Corrigé en vidéo
Exercice 21: Déterminer a,b,c - à l'aide du tableau de variation et des limites
On connait le tableau de variations d'une fonction \(f\):

On sait de plus qu'il existe trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que pour tout \(x\ne-3\), \(f(x)=\frac{ax+b}{x+c}\).
Déterminer les valeurs de \(a\), \(b\), \(c\) en justifiant.
Corrigé en vidéo
Exercice 22: Déterminer a,b,c tels que f(x)=ax+b+... - Etude complète d'une fonction - variation - limite - asymptote
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{ 2 \}\) par \(\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-3x-3}{x-2}\).
  • Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
  • Déterminer \[\lim_{\substack{x \to 2\\x>2}}f(x)\] et \[\lim_{\substack{x \to 2\\x<2}}f(x)\]
  • Déterminer \(f'(x)\).
  • Dresser le tableau de variation de \(f\)
    Préciser dans ce tableau les limites aux bornes du domaine de définition.
    Indiquer les équations des éventuelles asymptotes.
  • Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que pour tout \(x\ne 2\), \(\displaystyle f(x)=ax+b+\frac {c}{x-2}\).
  • Déterminer \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)-(ax+b)\]
    Quelle interprétation graphique peut-on en déduire?
    Vérifier cette interprétation à l'aide de la calculatrice.
Corrigé en vidéo Exercice 23: Limite et racine - quantité conjuguée
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-\sqrt{x^2+5}\).
1) Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
2) Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\). On pourra utiliser l'

expression conjuguée

.
L'expression conjuguée de:
\[a-\sqrt b\] est \[a+\sqrt b\]
1) Multiplier et diviser par l'expression conjuguée
2) Développer, arranger
3) Chercher la limite
Exercice 24: Déterminer une fonction connaissant les limites
Dans chaque cas, déterminer une fonction \(f\) vérifiant les conditions suivantes:
a) \[\lim_{\substack{x \to 1\\x<1}}f(x)=-\infty\] et \[\lim_{\substack{x \to 1\\x>1}}f(x)=+\infty\] et \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=0\]
b) \[\lim_{\substack{x \to 1\\x<1}}f(x)=-\infty\] et \[\lim_{\substack{x \to 1\\x>1}}f(x)=-\infty\] et \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=2\]
c) \[\lim_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=3\] et \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=2\]

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
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