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Seconde

Fonction carré

Conseils
Fonction carré
Cours

Fonction carré

expliquée en vidéo

Définition de la fonction carré

Courbe de la fonction carré

Propriété La fonction carré est paire
Propriété La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Variations de la fonction carré

Cours

Savoir résoudre $x^2=k$ et $x^2\leqslant k$

$x^2=k$
Pour résoudre des équations du type $x^2=k$ et des inéquations du type $x^2\geqslant k$
Cours

Savoir encadrer $x^2$ et comparer $a^2$ et $b^2$

Pour encadrer $x^2$ et comparer des carrés
Cours

position relative des courbes d'équation $y=x$ et $y=x^2$

Ce qu'il faut savoir
Cours

Démonstration des variations de la fonction carré

Exercice 1: Calcul d'image par la fonction carré

Calculer:
$\color{red}{\textbf{a. }} (-3)^2$ $\color{red}{\textbf{a. }} -3^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} (\sqrt 5)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} (2\sqrt 7)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} (2+\sqrt 7)^2$ $\color{red}{\textbf{d. }} (-3\sqrt 2)^2$

Exercice 2: Calcul d'image par la fonction carré

Calculer l'image de chacun des nombres suivants par la fonction carré:
$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 23$ $\color{red}{\textbf{b. }} -\dfrac 57$ $\color{red}{\textbf{c. }} 10^3$ $\color{red}{\textbf{d. }} 3^7$ $\color{red}{\textbf{e. }} 0,01$

Exercice 3: antécédent par la fonction carré

Déterminer les antécédents de chacun des nombres suivants par la fonction carré:
$\color{red}{\textbf{a. }} 9$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1$ $\color{red}{\textbf{c. }} 0$ $\color{red}{\textbf{d. }} 2$ $\color{red}{\textbf{e. }} 5$ $\color{red}{\textbf{f. }} \dfrac 94$

Exercice 4: Comparer $a^2$ et $b^2$ un carré

Sans calculatrice, remplacer les pointillés par $\lt$, $\gt$ ou $=$:
$\color{red}{\textbf{a. }} (-8)^2~...~(-5)^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1,14^2~...~1,135^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} (-3,24)^2~...~2^2$ $\color{red}{\textbf{d. }} {\pi}^2~...~(-3)^2$

Exercice 5: équation du type x^2=a - fonction de carré

Résoudre les équations suivantes:
$\color{red}{\textbf{a. }} x^2=7$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2=25$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^2=-1$ $\color{red}{\textbf{d. }} x^2=0$

Exercice 6: équation du type x^2=k - fonction de carré

Résoudre les équations suivantes:
$\color{red}{\textbf{a. }} x^2=5$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2+3=1$ $\color{red}{\textbf{c. }} 7x^2+8=8$

Exercice 7: équation du type x^2=k - fonction de carré

Résoudre les équations suivantes:
$\color{red}{\textbf{a. }} x^2-16=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2=\dfrac 49$ $\color{red}{\textbf{c. }} 10-x^2=1$ $\color{red}{\textbf{d. }} 2x^2=\dfrac 12$

Exercice 8: équation du type x^2=k - fonction de carré

Résoudre les équations suivantes:
$\color{red}{\textbf{a. }} 2x^2=32$ $\color{red}{\textbf{b. }} -x^2+4=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} (x-7)^2=0$

Exercice 9: équation du type x^2=k - fonction de carré

Résoudre les équations suivantes:
$\color{red}{\textbf{a. }} x^2=49$ $\color{red}{\textbf{b. }} (2x-1)^2=9$

Exercice 10: inéquation avec x^2 carré - fonction de carré

Résoudre les inéquations suivantes:
$\color{red}{\textbf{a. }} x^2\lt 3$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2\geqslant 4$ $\color{red}{\textbf{c. }} 10-x^2\leqslant 1$ $\color{red}{\textbf{d. }} 1+x^2\gt 0$

Exercice 11: inéquation avec x^2 carré - fonction de carré

Résoudre les inéquations suivantes:
$\color{red}{\textbf{a. }} 1\leqslant x^2\leqslant 16$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2-36\geqslant 0$ $\color{red}{\textbf{c. }} -2(5-x^2)\leqslant 8$

Exercice 12: Encadrer $x^2$ un carré

Donner un encadrement de $x^2$ dans chacun des cas suivants:
$\color{red}{\textbf{a. }} -2\leqslant x\leqslant 5$ $\color{red}{\textbf{b. }} x\in [-3;2]$

Exercice 13: Donner un encadrement de $x^2$ un carré

Soit $x\in[-4;1]$. Encadrer $5-2x^2$.

Exercice 14: Vrai/Faux fonction carré logique

Dans chaque cas, dire si la proposition est vraie ou fausse. Donner un contre-exemple pour les propositions fausses.
  1. Si $-2\leqslant x\leqslant 5$ alors $4\leqslant x^2\leqslant 25$.
  2. Si $x\leqslant 5$ alors $x^2\leqslant 25$.
  3. Si $x\gt 5$ alors $x^2\gt 25$.
  4. Si $-5\leqslant x\leqslant -2$ alors $4\leqslant x^2\leqslant 25$.

Exercice 15: Vrai/Faux fonction carré logique

Dans chaque cas, dire si la proposition est vraie ou fausse. Donner un contre-exemple pour les propositions fausses.
  1. Si $x^2=y^2$ alors $x=y$.
  2. Si $x=y$ alors $x^2=y^2$.
  3. Pour tout réel $x$, $x^2$ est supérieur ou égal à $x$.

Exercice 16: démonstration cours fonction carré

Démontrer que la fonction carré est paire.

Exercice 17: Position relative des courbes d'équation $y=x$ et $y=x^2$

  1. Déterminer graphiquement la position relative des courbes d'équation $y=x$ et $y=x^2$.
  2. Démontrer votre conjecture

Exercice 18: démonstration variations fonction carré

  1. Démontrer que la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$.
  2. En déduire les variations de la fonction carré sur $]-\infty;0]$.

Exercice 19: Problème d'encadrement - fonction carré

Un cylindre de hauteur 20 cm a un rayon R compris entre 0,8 cm et 0,9 cm.
En déduire sans calculatrice un encadrement volume du cylindre en cm$^3$.


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