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Terminale S

Produit scalaire dans l'espace


Définition

♦ Comprendre la définition expliquée en vidéo Cours de math en vidéo
  • Définition: Pour calculer le produit scalaire de 2 vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\):
    1) On trouve 3 points A, B, C tels que \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec u\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec v\).
    2) Par définition, le produit scalaire \(\vec u \cdot \vec v\) dans l'espace est égal au produit scalaire \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) dans le plan.

  • Calculer un produit scalaire dans l'espace revient à 
    calculer un produit scalaire dans le plan
    car les 3 points A, B et C sont toujours dans un plan.
  • Le produit scalaire ne dépend pas 
    du choix des 3 points.
  • Le résultat d'un produit scalaire est toujours 
    un nombre.
    Scalaire veut dire nombre, par opposition à vecteur.
♦ 6 techniques pour calculer un produit scalaire dans l'espace
  • Utiliser la définition 
    Pour calculer le produit scalaire \(\vec u\cdot \vec v\):
    Penser à choisir deux représentants de \(\vec u\) et \(\vec v\) qui soient dans un même plan.
  • Si on connait des longueurs 
    Si on connait les longueurs des 3 côtés du triangle ABC:
    \[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac 12(\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2)\]

    \[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac 12(25+16-4)=\frac{37}2\]

    Cela vient de la propriété:
    \[\vec u \cdot\vec v=\frac12(||\vec u||^2+||\vec v||^2-||\vec u-\vec v||^2)\]
  • Si on connait un angle 
    \[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\cdot\cos(\alpha)\]


    Cas particuliers:
    Si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) sont colinéaires et de même sens : \[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\]
    car alors \(\alpha=0\) et donc \(\cos(\alpha)=1\)
    Si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) sont colinéaires et de sens contraires : \[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\]
    car alors \(\alpha=\pi\) et donc \(\cos(\alpha)=-1\)

  • Avec un projeté orthogonal 
    2 façons de projeter:

    • Projeter C sur la droite (AB)
    \[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}\]
    Pour conclure, utiliser le fait que:
    \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) sont colinéaires
    • Projeter B sur la droite (AC)
    \[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AK}}\]
    Pour conclure, utiliser le fait que:
    \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AK}}\) sont colinéaires
  • Avec une décomposition 
    Décomposer les vecteurs en utilisant des angles droits

    \[\overrightarrow{\mathrm{JB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{JC}}=(\overrightarrow{\mathrm{JA}}+ \overrightarrow{\mathrm{AB}})(\overrightarrow{\mathrm{JD}}+ \overrightarrow{\mathrm{DC}})\]
    puis développer
  • Avec les coordonnées 
    Si on est dans un repère orthonormé:
    \(\vec u\cdot \vec v=xx'+yy'+zz'\)
    où \(\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}\)


    S'il n'y a pas de repère, penser à en choisir un orthonormé
    Avec un cube, on peut choisir le repère orthonormé (\(A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}\))




Propriétés du produit scalaire

  • \(\vec u\cdot\vec v=\)
    \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\)
    On dit que le produit scalaire est commutatif
  • \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\)
    \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\)
    On dit que le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition
  • \((\lambda\vec u)\cdot\vec v=\)
    \((\lambda\vec u)\cdot\vec v=\vec u\cdot (\lambda\vec v)=\lambda (\vec u\cdot\vec v)\)
  • \(||\vec u||^2=\)
    \(||\vec u||^2=\vec u\cdot \vec u\)

    Par exemple: \(||\vec u+\vec v||^2=(\vec u+\vec v)(\vec u+\vec v)\) puis développer.
  • \(\vec u\cdot \vec u=\)
    \(\vec u\cdot \vec u=||\vec u||^2\)

    Par exemple: \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{AB}^2\).




Déterminer un

angle à l'aide du produit scalaire

  • Pour déterminer l'angle $\widehat{BAC}$ 

    1) On calcule $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
    2) On trouve le cosinus grâce à : \[\cos\widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}}\].
    3) Puis connaissant le cosinus, on trouve l'angle.

Corrigé en vidéo
Exercices 1 - Rappel: Comment

calculer un produit scalaire dans le plan

: les 6 techniques
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ dans chacun des cas suivants:
Corrigé en vidéo
Exercices 2 -

calculer un produit scalaire dans l'espace

avec et sans repère
ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{DF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BG}}$:
     1) sans utiliser de repère.
     2) à l'aide d'un repère.

Corrigé en vidéo
Exercices 3 -

produit scalaire dans l'espace avec un tétraèdre


ABCD est un tétraèdre régulier d'arête $a$.
I, J et K sont les milieux respectifs de [AB], [BC] et [AD].
Déterminer les produits scalaires suivants:
     1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
     2) $\overrightarrow{\mathrm{BI}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AJ}}$
     3) $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
     4) $\overrightarrow{\mathrm{JK}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
Corrigé en vidéo
Exercices 4 -

produit scalaire dans l'espace avec un tétraèdre


ABCD est un tétraèdre régulier d'arête $a$.
J est le milieu de [BC].
Déterminer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{JA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{JD}}$


Corrigé en vidéo
Exercices 5 -

produit scalaire dans l'espace avec un tétraèdre


ABCD est un tétraèdre régulier d'arête $a$.
Déterminer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DA}}$



Corrigé en vidéo
Exercices 6 -

produit scalaire dans l'espace avec une pyramide


ABCDE est une pyramide à base carrée de sommet E.
Toutes les arêtes sont de même longueur $a$.
Déterminer les produits scalaires suivants:
    $\overrightarrow{\mathrm{EA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EB}}$         $\overrightarrow{\mathrm{EA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EC}}$         $\overrightarrow{\mathrm{EA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DC}}$         $\overrightarrow{\mathrm{ED}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DB}}$         $\overrightarrow{\mathrm{DB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EC}}$



Corrigé en vidéo
Exercices 7 -

calculer un angle avec un produit scalaire


ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.
I et J sont les milieux respectifs de [AE] et [BC].
Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{HIJ}$ à 0.1° près.



Exercices 8 - calculer

un angle avec un produit scalaire


ABCD est un tétraèdre régulier de côté $a$.
J est le milieu de [BC].
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{AJD}$ à 0.1° près.



Corrigé en vidéo!
Exercices 9 -

angle maximum

dans l'espace - produit scalaire - Bac S Liban 2017
On considère un cube $\rm ABCDEFGH$ dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous.

Les arêtes sont de longueur 1. L’espace est rapporté au repère orthonormé $\rm \left(D;\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DH}\right)$.
À tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, on associe le point $\rm M$ du segment $\rm [DF]$ tel que $\overrightarrow{\rm DM}=x \overrightarrow{\rm DF}$.
On s’intéresse à l’évolution de la mesure $\theta$ en radian de l’angle $\rm \widehat{EMB}$ lorsque le point $\rm M$ parcourt le segment $\rm [DF]$. On a $0\le \theta \le \pi$.
1) Que vaut $\theta$ si le point $\rm M$ est confondu avec le point $\rm D$? avec le point $\rm F$?
2) Justifier que les coordonnées du point $\rm M$ sont $(x ; x ; x)$.
3) Montrer que $\cos(\theta) =\frac{ 3x^2 -4x +1}{3x^2-4x+2}$.
4) On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f: x\mapsto \frac{ 3x^2 -4x +1}{3x^2-4x+2}$.

     Pour quelles positions du point $\rm M$ sur le segment $\rm [DF]$ :
     a) le triangle $\rm MEB$ est-il rectangle en $\rm M$ ?
     b) l’angle $\theta$ est-il maximal?

produit scalaire dans l'espace : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
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