produit scalaire dans l'espace

Définition

♦ Comprendre la définition expliquée en vidéo

Définition: Pour calculer le produit scalaire de 2 vecteurs $\vec u$ et $\vec v$:
1) On trouve 3 points A, B, C tels que $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec u$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec v$.
2) Par définition, le produit scalaire $\vec u \cdot \vec v$ dans l'espace est égal au produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ dans le plan.
Calculer un produit scalaire dans l'espace revient à

calculer un produit scalaire dans le plan
car les 3 points A, B et C sont toujours dans un plan.
Le produit scalaire ne dépend pas

du choix des 3 points.
Le résultat d'un produit scalaire est toujours

un nombre.
Scalaire veut dire nombre, par opposition à vecteur.

♦ 6 techniques pour calculer un produit scalaire dans l'espace

Utiliser la définition

Pour calculer le produit scalaire $\vec u\cdot \vec v$:
Penser à choisir deux représentants de $\vec u$ et $\vec v$ qui soient dans un même plan.
Si on connait des longueurs

Si on connait les longueurs des 3 côtés du triangle ABC:
\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac 12(\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2)\]

\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac 12(25+16-4)=\frac{37}2\]

Cela vient de la propriété:
\[\vec u \cdot\vec v=\frac12(||\vec u||^2+||\vec v||^2-||\vec u-\vec v||^2)\]

Si on connait un angle

\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\cdot\cos(\alpha)\]

Cas particuliers:

Si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires et de même sens :	\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\]	car alors $\alpha=0$ et donc $\cos(\alpha)=1$
Si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires et de sens contraires :	\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\]	car alors $\alpha=\pi$ et donc $\cos(\alpha)=-1$

Avec un projeté orthogonal

2 façons de projeter:

• Projeter C sur la droite (AB)	\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}\] Pour conclure, utiliser le fait que: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ sont colinéaires
• Projeter B sur la droite (AC)	\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AK}}\] Pour conclure, utiliser le fait que: $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AK}}$ sont colinéaires

Avec une décomposition

Décomposer les vecteurs en utilisant des angles droits

\[\overrightarrow{\mathrm{JB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{JC}}=(\overrightarrow{\mathrm{JA}}+ \overrightarrow{\mathrm{AB}})(\overrightarrow{\mathrm{JD}}+ \overrightarrow{\mathrm{DC}})\]

puis développer
Avec les coordonnées

Si on est dans un repère orthonormé:
$\vec u\cdot \vec v=xx'+yy'+zz'$

où $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$

S'il n'y a pas de repère, penser à en choisir un orthonormé

Avec un cube, on peut choisir le repère orthonormé ($A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}$)

Propriétés du produit scalaire

$\vec u\cdot\vec v=$

$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$

On dit que le produit scalaire est commutatif
$\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=$

$\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$

On dit que le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition
$(\lambda\vec u)\cdot\vec v=$

$(\lambda\vec u)\cdot\vec v=\vec u\cdot (\lambda\vec v)=\lambda (\vec u\cdot\vec v)$
$||\vec u||^2=$

$||\vec u||^2=\vec u\cdot \vec u$

Par exemple: $||\vec u+\vec v||^2=(\vec u+\vec v)(\vec u+\vec v)$ puis développer.
$\vec u\cdot \vec u=$

$\vec u\cdot \vec u=||\vec u||^2$

Par exemple: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{AB}^2$.

Déterminer un
angle à l'aide du produit scalaire

Pour déterminer l'angle $\widehat{BAC}$

1) On calcule $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
2) On trouve le cosinus grâce à : \[\cos\widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}}\].
3) Puis connaissant le cosinus, on trouve l'angle.

Corrigé en vidéo

Exercices 1 - Rappel: Comment

calculer un produit scalaire dans le plan

: les 6 techniques

Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ dans chacun des cas suivants:

Corrigé en vidéo

Exercices 2 -

calculer un produit scalaire dans l'espace

avec et sans repère

ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{DF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BG}}$:
1) sans utiliser de repère.
2) à l'aide d'un repère.

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Exercices 3 -

produit scalaire dans l'espace avec un tétraèdre

ABCD est un tétraèdre régulier d'arête $a$.
I, J et K sont les milieux respectifs de [AB], [BC] et [AD].
Déterminer les produits scalaires suivants:
     1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
     2) $\overrightarrow{\mathrm{BI}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AJ}}$
     3) $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
     4) $\overrightarrow{\mathrm{JK}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

Corrigé en vidéo

Exercices 4 -

produit scalaire dans l'espace avec un tétraèdre

ABCD est un tétraèdre régulier d'arête $a$.
J est le milieu de [BC].
Déterminer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{JA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{JD}}$

Corrigé en vidéo

Exercices 5 -

produit scalaire dans l'espace avec un tétraèdre

ABCD est un tétraèdre régulier d'arête $a$.
Déterminer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DA}}$

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Exercices 6 -

produit scalaire dans l'espace avec une pyramide

ABCDE est une pyramide à base carrée de sommet E.
Toutes les arêtes sont de même longueur $a$.
Déterminer les produits scalaires suivants:
$\overrightarrow{\mathrm{EA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EB}}$ $\overrightarrow{\mathrm{EA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EC}}$ $\overrightarrow{\mathrm{EA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ $\overrightarrow{\mathrm{ED}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ $\overrightarrow{\mathrm{DB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EC}}$

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Exercices 7 -

calculer un angle avec un produit scalaire

ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.
I et J sont les milieux respectifs de [AE] et [BC].
Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{HIJ}$ à un degré près.

Exercices 8 - calculer

un angle avec un produit scalaire

ABCD est un tétraèdre régulier de côté $a$.
J est le milieu de [BC].
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{AJD}$ à 0.1° près.

Corrigé en vidéo!

Exercices 9 -

angle maximum

dans l'espace - produit scalaire - Bac S Liban 2017

On considère un cube $\rm ABCDEFGH$ dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous.

Les arêtes sont de longueur 1. L’espace est rapporté au repère orthonormé $\rm \left(D;\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DH}\right)$.
À tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, on associe le point $\rm M$ du segment $\rm [DF]$ tel que $\overrightarrow{\rm DM}=x \overrightarrow{\rm DF}$.
On s’intéresse à l’évolution de la mesure $\theta$ en radian de l’angle $\rm \widehat{EMB}$ lorsque le point $\rm M$ parcourt le segment $\rm [DF]$. On a $0\le \theta \le \pi$.
1) Que vaut $\theta$ si le point $\rm M$ est confondu avec le point $\rm D$? avec le point $\rm F$?
2) Justifier que les coordonnées du point $\rm M$ sont $(x ; x ; x)$.
3) Montrer que $\cos(\theta) =\frac{ 3x^2 -4x +1}{3x^2-4x+2}$.
4) On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f: x\mapsto \frac{ 3x^2 -4x +1}{3x^2-4x+2}$.

     Pour quelles positions du point $\rm M$ sur le segment $\rm [DF]$ :
     a) le triangle $\rm MEB$ est-il rectangle en $\rm M$ ?
     b) l’angle $\theta$ est-il maximal?

Si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) sont colinéaires et de même sens :	\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\]	car alors \(\alpha=0\) et donc \(\cos(\alpha)=1\)
Si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) sont colinéaires et de sens contraires :	\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\]	car alors \(\alpha=\pi\) et donc \(\cos(\alpha)=-1\)

Produit scalaire dans l'espace

Définition

Propriétés du produit scalaire

angle à l'aide du produit scalaire

calculer un produit scalaire dans le plan

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