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Terminale S

Représentation paramétrique de droite, plan


Représentation paramétrique d'une droite

♦ Savoir déterminer une représentation paramétrique d'une droite :cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Une droite est définie par un point par lequel elle passe et un vecteur non nul, appelé vecteur directeur.
    M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur $\vec u \Leftrightarrow$
    $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t\vec u$ où $t\in \mathbb{R}$.

    M appartient à la droite (AB) $\Leftrightarrow$
    $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ où $t\in \mathbb{R}$.
    Bien comprendre que la droite (AB) passe par A et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

    M appartient au segment [AB] $\Leftrightarrow$
    $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ où $t\in [0;1]$.

    M appartient à la demi-droite [AB) $\Leftrightarrow$
    $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ où $t\in [0;+\infty[$.
  • Une représentation paramétrique de la droite passant par A$\begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ est :
    $\left\{ \begin{array}{l} x= x_A+at\\ y = y_A+bt\\ z=z_A+ct \end{array} \right.$ où $t\in \mathbb{R}$

    Pour retenir ce résultat:
    Pour trouver une représentation paramétrique d'une droite $D$ passant par A et de vecteur directeur $\vec u$:
    1) Ecrire que : $M\in D \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=t\vec u$ où $t\in \mathbb{R}$
    2) Traduire $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t\vec u$ où $t\in \mathbb{R}$ à l'aide des coordonnées
    t s'appelle le paramètre. Evidement, on peut utiliser d'autres lettres pour le paramétre.
  • Quand on connait une représentation, on en déduit un point de la droite, et un vecteur directeur
  • Une droite n'a pas qu'une seule représentation paramétrique:
    Si on choisit un autre point de la droite, ou un autre vecteur directeur,
    on obtient une autre représentation paramétrique de la droite.
  • Pour savoir si un point A appartient à une droite :
    Avec une représentation paramétrique:
    1) On remplace $x$, $y$, $z$ par les coordonnées de A dans une représentation paramétrique.
    2) On vérifie qu'on obtient la même valeur de $t$ dans les 3 équations.
    Sans représentation paramétrique:
    Pour savoir si $C\in(AB)$: on regarde si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires:
    Technique 1: On décompose le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, jusqu'à obtenir $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=... \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
    Technique 2: On regarde si les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont proportionnelles
♦ Savoir déterminer position relative de deux droites :cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Déterminer la position relative de deux droites :
    C'est dire si ces deux droites sont: sécantes, parallèles ou non coplanaires.
  • Pour savoir si 2 droites sont parallèles :
    On regarde si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires:
    Pour savoir si (AB) et (CD) sont parallèles:
    Avec les coordonnées: on regarde si les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ sont proportionnelles
    Si les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
    sont proportionnelles
    alors (AB)//(CD).
    Sinon (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
    Sans les coordonnées: On décompose le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, jusqu'à obtenir $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=... \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
  • Pour déterminer l'intersection de 2 droites:
    On résout le système formé par les représentations paramétriques des 2 droites.
    Choisir une lettre différente
    pour les paramétres de chaque droite.
    Si le système a des solutions, alors les droites sont sécantes.
    Sinon les droites ne sont pas sécantes.
  • Pour savoir si deux droites sont coplanaires:
    1) Regarder si les deux sont parallèles.
    Si c'est le cas, les droites sont coplanaires.
    2) Si les deux droites ne sont pas parallèles
    Chercher l'intersection des 2 droites:
    Si les droites sont sécantes, alors elles sont coplanaires.
    Sinon les deux droites n'étant ni parallèles, ni sécantes,
    elles sont non coplanaires.




Représentation paramétrique d'un plan

♦ Savoir déterminer une représentation paramétrique d'un plan :cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Un plan est défini par un point par lequel il passe et deux vecteurs non colinéaires, appelés vecteurs directeurs.
    M appartient au plan passant par A et de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ $\Leftrightarrow$
    $ \overrightarrow{\mathrm{AM}}=t\vec u+t'\vec v$ où $t\in \mathbb{R}$ et $t'\in \mathbb{R}$.

    M appartient au plan (ABC) $\Leftrightarrow$
    $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t'\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ où $t\in \mathbb{R}$ et $t'\in \mathbb{R}$.
    Bien comprendre que le plan (ABC) passe par A et a pour vecteurs directeurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
  • Une représentation paramétrique du plan passant par A$\begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, $\vec v \begin{pmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{pmatrix}$ est :
    $\left\{ \begin{array}{l} x= x_A+at+a't'\\ y = y_A+bt+b't'\\ z=z_A+ct+c't' \end{array} \right.$ où $t\in \mathbb{R}$ et $t'\in \mathbb{R}$

    Pour retenir ce résultat:
    Pour trouver une représentation paramétrique d'un plan $P$ passant par A et de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$:
    1) Ecrire que : $M\in P \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=t\vec u+t'\vec v$ où $t\in \mathbb{R}$ et $t'\in \mathbb{R}$
    2) Traduire le 1) à l'aide des coordonnées
    t et t' s'appellent les paramètres. Evidement, on peut utiliser d'autres lettres pour les paramétres.

  • Un plan n'a pas qu'une seule représentation paramétrique:
    Si on choisit un autre point du plan, ou d'autres vecteurs directeurs,
    on obtient une autre représentation paramétrique de la droite.
  • Pour savoir si un point A appartient à un plan :
    Avec une représentation paramétrique
    1) On remplace $x$, $y$, $z$ par les coordonnées de A dans une représentation paramétrique. 2) On vérifie qu'on obtient les mêmes valeurs de $t$ dans les 3 équations, et pareil pour t'. Sans représentation paramétrique:
    Pour savoir si M appartient au plan (ABC): on regarde si $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont coplanaires : On essaye d'exprimer $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ en fonction $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$. Technique 1: on décompose les vecteurs jusqu'à obtenir: $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=..\overrightarrow{\mathrm{AB}}+..\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ Technique 2: on cherche α et β tels que $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ On écrit cette égalité vectorielle en coordonnée, on obtient un système, puis on résout. Si le système a des solutions, M appartient au plan (ABC). Sinon, M n'appartient pas au plan (ABC). On verra une autre technique, plus rapide, avec l'équation cartésienne d'un plan, au chapitre produit scalaire.
  • Pour savoir si une droite est parallèle à un plan :
    Pour savoir si la droite (MN) est parallèle au plan (ABC):
    on regarde si les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ sont coplanaires:
    On essaye d'exprimer $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ en fonction $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$. Technique 1: on décompose les vecteurs jusqu'à obtenir: $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=..\overrightarrow{\mathrm{AB}}+..\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ Technique 2: on cherche α et β tels que $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ On écrit cette égalité vectorielle en coordonnée, on obtient un système, puis on résout. Si le système a des solutions, (MN) est parallèle au plan (ABC). Sinon, (MN) n'est pas parallèle au plan (ABC). On verra une autre technique, plus rapide, avec l'équation cartésienne d'un plan, au chapitre produit scalaire.
  • Pour savoir si une droite est incluse dans un plan :
    Pour savoir si la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC):
    On regarde si le point M appartient au plan (ABC) en appliquant la méthode "A appartient à un plan".
    Puis on refait pareil avec le point N.
    Si les 2 points M et N appartiennent au plan (ABC), alors la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC).
    Dans les autres cas, la droite (MN) n'est pas incluse dans le plan (ABC).
  • Pour savoir si 2 plans $P_1$ et $P_2$ sont parallèles :
    Méthode 1: on cherche 2 droites sécantes de $P_1$ qui soient parallèles à 2 droites de $P_2$.

    Méthode 2: Pour savoir si les plans $P_1(A;\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{v}})$ et $P_2(B;\overrightarrow{\mathrm{u'}};\overrightarrow{\mathrm{v'}})$ sont parallèles:
    on regarde si $\overrightarrow{\mathrm{u}}$, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{u'}}$ sont coplanaires puis si $\overrightarrow{\mathrm{u}}$, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v'}}$ sont coplanaires.
    On verra une autre technique, plus rapide, avec le vecteur normal, au chapitre produit scalaire.
  • Pour déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan:
    On résout le système formé par les 2 représentations paramétriques.
    Attention: Choisir des lettres différentes pour les paramétres de la droite et du plan.
    On verra une autre technique, plus rapide, avec l'équation cartésienne d'un plan, au chapitre produit scalaire.

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Exercices 1:

Représentation paramétrique d'une droite


ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [BF].
On se place dans le repère (A\(;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)).
1) Préciser quel est l'ensemble des points M(\(x;y;z\)) tels que \(\left\{ \begin{array}{l} x=1-t \\ y=t\\ z=t\\ \end{array} \right.\) où \(t\in\mathbb{R}\).
    Tracer cet ensemble sur la figure.
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DI).
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Exercices 2:
L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)). On considère les points A(1;-1;4) et B(-1;3;2).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
2) Le point C(5;8;9) appartient-il à la droite (AB)? Justifier.
3) La droite (AB) admet-elle pour représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{l} x=-3+4t\\ y=7-8t\\ z=4t\\ \end{array} \right.\) où \(t\in\mathbb{R}\) ? Justifier.
4) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par C et parallèle à (AB).
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Exercices 3:

Position relative de deux droites de l'espace - Comment savoir si 2 droites sont parallèles, sécantes ou non coplanaires


L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)).
On considère les droites \(D_1\) et \(D_2\) de représentations paramétriques:
     \(D_1\) : \[\left\{ \begin{array}{l} x=3+t\\ y=-4-3t\\ z=-3-3t\\ \end{array} \right.\] où \(t\in\mathbb{R}\)      et      \(D_2\) : \[\left\{ \begin{array}{l} x=2s\\ y=-4+3s\\ z=-1+s\\ \end{array} \right.\] où \(s\in\mathbb{R}\).
1) \(D_1\) et \(D_2\) sont-elles parallèles? Justifier.
2) \(D_1\) et \(D_2\) sont-elles sécantes? Justifier. Si oui, préciser les coordonnées du point d'intersection.
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Exercices 4: Position relative de deux droites de l'espace
L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)).
On considère les points A(0;-2;7), B(1;-3;10), C(1;3;2), D(-3;1;3).
Étudier la position relative des droites (AB) et (CD).
Exercices 5:

Droites coplanaires


ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu de [AB] et J celui de [EH].
les droites (IJ) et (BG) sont-elles coplanaires? Justifier.
Penser à introduire un repère





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Exercices 6: Représentation paramétrique d'un plan
L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)).
1) Justifier que les points A(1;2;-1), B(4;0;1), C(2;1;1) définissent un plan.
2) Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC).
3) Le point M(5;-4;2) appartient-il au plan (ABC)? Justifier.
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Exercice 7: Montrer qu'un point appartient à un plan de l'espace par 2 méthodes : décomposition - repère
ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [BC].
On considère le point M défini par \(\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}-2\overrightarrow{\mathrm{CD}}\).
1) Démontrer que le point M appartient au plan (ACD) sans utiliser de repère.
2) Refaire la question 1) en utilisant un repère bien choisi.


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Exercice 8:

Position relative d'une droite et d'un plan


ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BF].
1) Démontrer que la droite (GJ) est parallèle au plan (HIC)
    à l'aide d'une décomposition.
2) Refaire la question 1) à l'aide d'un repère judicieusement choisi.



Exercice 9:

Droite incluse dans un plan


L'espace est muni d'un repère (\(O; \vec i; \vec j; \vec k\)).
On considère les points A(1;1;2), B(-1;2;1), C(0;1;1), D(1;2;3), E(2;0;2).
1) Justifier que les points C, D et E définissent un plan.
2) La droite (AB) est-elle incluse dans le plan (CDE)?
Exercice 10:

Intersection d'une droite et d'un plan


ABCDEFGH est un parallélépipède. I est le milieu de [CG].
1) Justifier que les points D, F et I définissent un plan.
2) Démontrer que la droite (BH) et le plan (DFI) sont sécants
    en un point K dont on donnera les coordonnées.
Penser à introduire un repère


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Exercice 11:

distance d'un point à un plan et volume d'un tétraèdre


ABCDEFGH est parallélépipède rectangle tel que AB=2 et AD=AE=1.
1) Déterminer le volume V du tétraèdre EFGB.
2) Démontrer que le triangle EBG est isocèle.
3) En calculant d'une autre manière, le volume V,
    en déduire la distance de F au plan EBG.

Exercice 12:

Déterminer un lieu de points


ABCDEFGH est un cube.
Pour tout \(t\in \mathbb{R}\), on définit les points M et N par:
         \(\overrightarrow{\mathrm{HM}}=t~\overrightarrow{\mathrm{HA}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{DN}}=t~\overrightarrow{\mathrm{DB}}\).
1) Que décrivent les points M et N lorsque \(t\) décrit \(\mathbb{R}\)?
2) On appelle I le milieu de [MN].
    Que décrit le point I lorsque \(t\) décrit \(\mathbb{R}\)?
3) Représenter sur la figure le lieu des points I lorsque \(t\) décrit \(\mathbb{R}\).
Exercice 13: Distance minimale
ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
Pour tout \(k\in [0;1]\), on définit les points M et N par:
         \(\overrightarrow{\mathrm{HM}}=k~\overrightarrow{\mathrm{HB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{CN}}=k~\overrightarrow{\mathrm{CF}}\).
1) Que décrivent les points M et N lorsque \(k\) décrit l'intervalle [0;1]?
2) On se place dans le repère (A\(;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)).
    Déterminer les coordonnées des points M et N en fonction de \(k\).
3) Pour quelle valeur de \(k\) la distance MN est-elle minimale? Justifier.
Exercice 14: Angle maximum
ABCDEFGH est un cube d'arête 1. I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [CD].
M est un point quelconque du segment [EC]. On se place dans le repère orthonormal (A\(;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)).
1) Déterminer les coordonnées des points I et J.
2) Justifier que les coordonnées de M peuvent s'écrire (\(1-t;1-t;t\)) où \(t\) appartient à l'intervalle [0;1].
3) Démontrer que le triangle IMJ est isocèle en M.
4) Exprimer \(\mathrm{IM}^2\) en fonction de \(t\).
5) On note \(\alpha\) la mesure en radian de l'angle \(\widehat{IMJ}\). On admet que \(\alpha\in [0;\pi]\).
    Démontrer que \(\alpha\) est maximum lorsque \(\sin\frac {\alpha}2\) est maximal.
6) En déduire que \(\alpha\) est maximum lorsque la longueur \(\mathrm{IM}\) est minimale.
7) Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur [0;1] par \[f(t)=3t^2-t+\frac 14\].
8) En déduire qu'il existe un unique point \(M_0\) de [EC] tel que la mesure de l'angle \(\widehat{IMJ}\) soit maximale.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 21 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie