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Terminale S

Vecteur normal
Equation cartésienne de plan


Orthogonal - Perpendiculaire

♦ Comprendre la différence entre orthogonal et perpendiculaire, explications en vidéo Cours de math en vidéo
  • 2

    vecteurs sont orthogonaux

    $\Leftrightarrow$ 
    2 vecteurs $\vec u $ et $\vec v$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow$ $\vec u\cdot\vec v=0$
  • 2

    droites sont orthogonales

    $\Leftrightarrow$ 
    2 droites sont orthogonales $\Leftrightarrow$ leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

    Dans les exercices, pour montrer que 2 droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D'}$ sont orthogonales:
        1) Chercher un vecteur directeur de chaque droite.
        2) Vérifier que le produit scalaire des vecteurs directeurs vaut 0.

    Remarque:
    Si $\mathscr{D}$ est perpendiculaire à un plan qui contient $\mathscr{D'}$ alors $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D'}$ sont orthogonales.

    (FB) est perpendiculaire au plan (ABC) qui contient la droite (AC)
    donc (FB) et (AC) sont orthogonales
  • 2 droites sont perpendiculaires $\Leftrightarrow$ 
    2 droites sont perpendiculaires $\Leftrightarrow$ elles sont orthogonales et sécantes.

    (EA) et (BC) sont
    orthogonales mais pas sécantes
    donc (EA) et (BC) ne sont pas perpendiculaires
    (EA) et (AD) sont
    orthogonales et sécantes
    donc (EA) et (AD) sont perpendiculaires

    Dans les exercices, pour montrer que 2 droites sont perpendiculaires:
        1) On montre que les 2 droites sont orthogonales:
            - Chercher un vecteur directeur de chaque droite.
            - Vérifier que le produit scalaire des vecteurs directeurs vaut 0.
        2) On montre que les 2 droites sont sécantes:
            - Chercher une représentation paramétrique de chaque droite.
    Choisir une lettre différente pour les paramètres

            - Résoudre le système formé par les représentations paramétrique pour savoir si elles sécantes ou pas.
  • Une droite est orthogonale à un plan $\Leftrightarrow$ 
    une droite est orthogonale à un plan $\Leftrightarrow$ elle est orthogonale à toute droite du plan
    Remarque:
    Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est aussi perpendiculaire à ce plan,
    puisqu'elle le coupe.
  • Comment montrer qu'une

    droite est orthogonale à un plan

     
    Si une droite $\mathscr{D}$ est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan

    $\Downarrow$
    $\mathscr{D}$ est orthogonale à toute droite du plan
    $\mathscr{D}$ est donc orthogonale au plan

    Démonstration importante expliquée en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête


    Dans les exercices, pour savoir si une droite $\mathscr{D}$ est orthogonale à un plan:
    1) Chercher un vecteur directeur de $\mathscr{D}$, noté $\vec u$.
    2) Chercher deux vecteurs directeurs du plan, notés $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$.
    3) Calculer $\vec u\cdot\vec {v_1}$ et $\vec u\cdot\vec {v_2}$
    Si $\vec u\cdot\vec {v_1}=0$ et $\vec u\cdot\vec {v_1}=0$ alors $\mathscr{D}$ est orthogonale au plan.
    Sinon $\mathscr{D}$ n'est pas orthogonale au plan.




Vecteur normal à un plan - équation cartésienne d'un plan

♦ Vecteur normal et équation cartésienne de plan expliqués en vidéo Cours de math en vidéo
  • On n'étudie les équations cartésiennes de plan que dans des repères orthonormés 
  • On appelle vecteur normal à un plan 
    tout vecteur directeur d'une

    droite perpendiculaire au plan

    .
    un vecteur normal est toujours non nul.

    $\vec n$ est normal à un plan
    $\Updownarrow$
    $\vec n$ est orthogonal à 2 vecteurs directeurs du plan.
  • M appartient à un plan $\Leftrightarrow$ 
    M appartient au

    plan $\mathscr{P}$ passant par A et de vecteur normal

    $\vec n$
    $\Updownarrow$
    $\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \vec n=0$

    $\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \vec n=0$
    M appartient au plan $\mathscr{P}$.
    $\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \vec n\ne 0$
    M n'appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
  • Un plan peut être défini par  
    un point et 2 vecteurs directeurs:
    M appartient au plan passant par A et vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\alpha \vec u+\beta \vec v$
    $\alpha$ et $\beta$ réels


    trois points non alignés:
    M appartient au plan ABC $\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
    $\alpha$ et $\beta$ réels


    un point et un vecteur normal:
    M appartient au plan passant par A et vecteur normal $\vec n$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \vec n=0$

  • Si un plan a pour vecteur normal $\vec n(a;b;c)$ alors 
    Ce plan admet une équation cartésienne de la forme :
    $ax+by+cz+d=0$
    dans un repère orthonormé.
  • L'ensemble des point M($x;y;z$) tels que

    $ax+by+cz+d=0$

     
    L'ensemble des point M($x;y;z$) tels que $ax+by+cz+d=0$
    avec $a$, $b$, $c$ non tous nuls

    est un plan de vecteur normal $\vec n$($a;b;c$)
    dans un repère orthonormé.


    L'ensemble des point M($x;y;z$) tels que $y=2x+1$
    est un plan dans l'espace!
    En effet $y=2x+1=0\Leftrightarrow 2x-y+0z+1=0$
    On reconnait une équation cartésienne de plan
  • Comment trouver une

    équation cartésienne de plan

     
    1) On cherche un vecteur $\vec n$($a;b;c$) normal au plan.
    2) On déduit qu'une équation cartésienne du plan est $ax+by+cz+d=0$.
    3) Pour trouver $d$, on cherche un point A du plan et on remplace $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de A.
  • Si on n'est pas dans un repère orthonormé 
    $ax+by+cz+d=0$ est bien une équation cartésienne de plan,
    mais on ne peut pas dire que $\vec n$($a;b;c$) est normal au plan.
♦ Comment trouver un vecteur normal à un plan Cours de math en vidéo
  • Comment vérifier qu'un vecteur est normal à un plan  
    Pour savoir si $\vec n$ est normal à un plan P:
    $\vec n$ doit être non nul!

    • Si on connait une équation cartésienne de P:
        si $\vec n$($x;y;z$) et P a pour équation $ax+by+cz+d=0$
        vérifier que ($x;y;z$) et ($a;b;c$) sont proportionnels.
    •Sinon chercher 2 vecteurs directeurs de P, $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$:
        vérifier que $\vec n \cdot\vec{u_1}=0$ et $\vec n \cdot\vec{u_2}=0$.
    $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ doivent être non colinéaires.
  • Comment trouver un vecteur normal à un plan  
    Quand on connait une équation cartésienne du plan:
    Si l'équation est $ax+by+cz+d=0$ alors un vecteur normal est $\vec n$($a;b;c$)
    dans un repère orthonormé
  • Comment trouver un vecteur normal à un plan (ABC) 
    Quand on ne connait pas d'équation cartésienne du plan:
    dans un repère orthonormé

    1) On cherche $\vec n$($x;y;z$). On écrit que $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \vec n=0$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \vec n=0$
    2) On obtient un système d'inconnue $x$, $y$, $z$.
         On résout le système.
    Bien vérifier: $\vec n$ doit être non nul!
    c'est à dire avoir au moins 1 coordonnée non nulle.
  • Comment trouver une

    équation cartésienne de plan

     
    1) On cherche un vecteur $\vec n$($a;b;c$) normal au plan.
    2) On déduit qu'une équation cartésienne du plan est $ax+by+cz+d=0$.
    3) Pour trouver $d$, on cherche un point A du plan et on remplace $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de A.
  • Si on n'est pas dans un repère orthonormé 
    $ax+by+cz+d=0$ est bien une équation cartésienne de plan,
    mais on ne peut pas dire que $\vec n$($a;b;c$) est normal au plan.
♦ Comment utiliser dans les exercices, vecteur normal et équation cartésienne de plan Cours de math en vidéo
  • Comment savoir si un point appartient à un plan 
    Si on connait une équation cartésienne du plan:
    remplacer dans l'équation $x$, $y$, $z$ par les coordonnées du point
    Si l'équation est vérifiée, le point appartient au plan.
    Sinon le point n'appartient pas au plan.
  • Comment obtenir un point d'un plan 
    Si on connait une équation cartésienne du plan:
    Chercher $x$, $y$, $z$ qui vérifie cette équation.
    Penser à choisir 2 coordonnées, par exemple $x$ et $y$,
    les remplacer dans l'équation pour trouver $z$.
  • Comment étudier la

    position relative de 2 plans

     
    Etudier la position relative de 2 plans c'est savoir si ces 2 plans sont parallèles ou sécants.
    Pour cela, on pense à utiliser leurs vecteurs normaux $\vec {n_1}$ et $\vec {n_2}$.
    • Si $\vec {n_1}$ et $\vec {n_2}$ sont colinéaires alors les plans sont parallèles
    La réciproque est vraie:
    Si les plans sont parallèles, alors leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

    • Sinon les plans sont sécants selon une droite
    La réciproque est vraie:
    Si les plans sont sécants, alors leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

    • De plus si $\vec {n_1} \cdot \vec {n_2}=0$ alors les plans sont perpendiculaires.
    La réciproque est vraie:
    Si les plans sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
  • Comment étudier la

    position relative d'une droite et d'un plan

     
    Etudier la position relative d'un plan et d'une droite
    c'est savoir si cette droite est parallèle ou sécante au plan.
    Pour cela, on pense à utiliser $\vec {n}$ un vecteur normal du plan et $\vec {u}$ un vecteur directeur de la droite .
    • Si $\vec {n} \cdot \vec {u}=0$ alors la droite est parallèle au plan.
    • Si $\vec {n} \cdot \vec {u}\ne 0$ alors la droite est sécante au plan.
    • Si $\vec {n}$ et $\vec {u}$ sont colinéaires alors la droite est perpendiculaire au plan.
  • Comment déterminer l'

    intersection d'une droite et d'un plan

     
    1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite.
    2) Déterminer une équation cartésienne du plan.
    3) Remplacer dans l'équation cartésienne du plan $x$, $y$, $z$ à l'aide de la représentation paramétrique.
    4) Trouver la valeur du paramètre.
    5) Remplacer cette valeur dans la représentation paramétrique.
  • Comment déterminer l'

    intersection de 2 plans

     
    1) Déterminer une équation cartésienne de chaque plan.
    2) Exprimer 2 des coordonnées en fonction de la 3ieme.
    Par exemple, exprimer $x$ et $y$ en fonction de $z$.

    3) Puis conclure.




Projeté orthogonal et applications

♦ Porjeté orthogonal sur un plan et applications, expliqué en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dire que H est le

    projeté orthogonal de A sur un plan

    $\Leftrightarrow$ 
    H est le point d'intersection de ce plan avec la perpendiculaire à ce plan passant par A.
  • Comment trouver le projeté orthogonal 
    Pour déterminer le projeté orthogonal d'un point A sur un plan:
    Notons $\mathscr{D}$ la perpendiculaire à ce plan passant par A.

    1) Chercher un vecteur normal à ce plan, noté $\vec n$.
    2) Déterminer une représentation paramétrique de $\mathscr{D}$
    $\mathscr{D}$ a pour vecteur directeur $\vec n$.

    3) Déterminer l'intersection de ce plan avec $\mathscr{D}$
    Résoudre le système formé par:
    une équation cartésienne du plan
    et une représensation paramètrique de $\mathscr{D}$.
  • Distance d'un point à un plan

     
    Pour déterminer la distance d'un point A à un plan :
    1) Déterminer H le projeté orthogonal de A sur ce plan.
    2) Déterminer la distance AH.

    Remarque:
    il y a une formule qui donne la distance d'un point à un plan,
    mais elle n'est pas au programme.
  • Intersection d'une sphère et d'un plan

     
    Pour savoir si un plan coupe ou pas une sphère de centre A et de rayon r:
    1) Déterminer H le projeté orthogonal de A sur le plan.
    2) Calculer la distance AH.
        Si $r<AH$ alors le plan ne coupe pas la sphère.
        Si $r=AH$ alors le plan est tangent à la sphère.
        Si $r>AH$ alors le plan coupe la sphère selon un cercle.

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Exercices 1:

Vecteur normal - équation cartésienne d'un plan


ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
On se place dans le repère (A$;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}$).
1) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ est normal au plan (EBG).
2) En déduire une équation cartésienne du plan (EBG).


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Exercices 2:
ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
I est le milieu du segment [AE].
On se place dans le repère (A$;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}$).
1) Déterminer un vecteur normal au plan (CHI).
2) En déduire une équation cartésienne du plan (CHI).

Exercices 3:
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$:
1) le plan $\mathscr{P}$ passe par le point A(1;2;-4) et a pour vecteur normal $\vec n$(2;-1;1).
2) le plan $\mathscr{P}$ passe par les points A(1;1;4), B(1;-1;2) et C(-1;2;1).
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Exercices 4:
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
1) Justifier que $y=2x+1$ est l'équation cartésienne d'un plan $\mathscr{P}$.
     Donner un point et un vecteur normal du plan $\mathscr{P}$.
2) Déterminer 2 vecteurs directeurs du plan $\mathscr{P}$. En déduire une représentation paramétrique de $\mathscr{P}$.
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Exercices 5: Droite perpendiculaire à un plan
Deux cubes d'arête 1, sont disposés comme indiqué sur la figure.
M est le milieu du segment [GK].
La droite (DL) est-elle perpendiculaire au plan (FMI)?



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Exercices 6: Intersection d'une droite et d'un plan
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x=1-t \\ y=2t\\ z=-1\\ \end{array} \right.$ où $t\in \mathbb{R}$
Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne $2x-y+z-3=0$.
1) Justifier que $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$ sont sécants en un point I.
2) Déterminer les coordonnées de I.
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Exercice 7: Intersection de 2 plans
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ d'équations respectives $ 2x + 3y –z +3= 0$ et $x + y +z -1 = 0$.
1) Démontrer que $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont sécants selon une droite $\mathscr{D}$.
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.
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Exercice 8: Plan perpendiculaire
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ d'équations respectives $x-2y+z+5=0$ et $4x+y-z-2=0$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ perpendiculaire à $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ passant par le point A(2;-1;1).
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Exercice 9:

Distance d'un point à une droite par 2 méthodes


Dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$), on considère le point A(-1;1;2)
et la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique      $\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=-1\\ z=1-2t\\ \end{array} \right.$ où $t\in \mathbb{R}$
L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance du point A à la droite $\mathscr{D}$,
c'est à dire la plus petite des longueurs AM lorsque M décrit la droite $\mathscr{D}$.
Méthode 1
     1) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=AM$ où M est un point de $\mathscr{D}$ de paramètre $t$.
          Déterminer $f(t)$ en fonction de $t$ puis le minimum de $f$. Conclure.
Méthode 2
     2.a) Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ perpendiculaire à $\mathscr{D}$ passant par A.
     2.b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$.
     2.c) Conclure.
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Exercice 10:

Distance d'un point à un plan


On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère le point A(-7;0;4) et le plan d'équation cartésienne $x+2y-2z-3=0$.
L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance du point A au plan $\mathscr{P}$,
c'est à dire la plus petite des longueurs AM lorsque M décrit le plan $\mathscr{P}$.
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ passant par A et perpendiculaire à $\mathscr{P}$.
2) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$.
3) Conclure.
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Exercice 11:

Perpendiculaire commune à deux droites de l'espace


Dans un repère orthonormé, on considère la droite $\mathscr{D}_1$ passant par $A_1$(-1;0;-1) et de vecteur directeur
$\vec{u}_1$(1;2;3), et la droite $\mathscr{D}_2$ de représentation paramétrique: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+t\\ y=-2t\\ z=2\\ \end{array} \right.$ où $t\in\mathbb{R}$.
1) Déterminer un vecteur directeur de $\mathscr{D}_2$, noté $\vec{u}_2$.
2) Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec v$ non nul orthogonal à $\vec{u}_1$ et à $\vec{u}_2$.
3) On considère le plan $\mathscr{P}$($A_1;\vec{u}_1;\vec v$).
     a) Montrer que le vecteur $\vec n$(17;-22;9) est normal à $\mathscr{P}$. En déduire une équation cartésienne de $\mathscr{P}$.
     b) Déterminer les coordonnées du point I, intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}_2$.
     c) Démontrer que la droite $\Delta$ passant par I et de vecteur directeur $\vec v$ est perpendiculaire à $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$.
Corrigé en vidéo
Exercice 12:

Intersection de sphère et de plan


Dans un repère orthonormé, on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation $2x-y+3z+15=0$ et le point S(1;4;5).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $\mathscr{P}$ passant par le point S.
2) Déterminer les coordonnées du point K, intersection de $\mathscr{P}$ et $\Delta$.
3) Le plan $\mathscr{P}$ coupe-t-il la sphère de centre S et de rayon 7? Justifier.
Corrigé en vidéo
Exercice 13:

équation de sphère dans l'espace - plan tangent à une sphère


Dans un repère orthonormé, on considère l'ensemble (E) d'équation: $x^2-6x+y^2+z^2+10z-2=0$.
1) Démontrer que (E) est une sphère $\mathscr{S}$ dont on donnera les coordonnées du centre S et le rayon $r$.
2) On considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $2x-y-2z+2=0$.
    Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par S et perpendiculaire à $\mathscr{P}$.
3) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de $\Delta$ et $\mathscr{P}$.
4) Le plan $\mathscr{P}$ est-il tangent à la sphère $\mathscr{S}$ ? Justifier.
Corrigé en vidéo
Exercice 14: Intersection de sphère et de droite
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère la droite $\Delta$ passant par le point A(4;1;3) et de vecteur directeur $\vec u$(1;-2;1).
Déterminer l'intersection de la droite $\Delta$ avec la sphère $\mathscr{S}$ de centre $\Omega$(1;2;-1) et de rayon $\sqrt{14}$.
Exercice 15:
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier.
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
1. Si deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont perpendiculaires à un troisième plan $\mathscr{P}_3$ alors $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont parallèles.
2. Si deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont perpendiculaires à une troisième droite $\mathscr{D}_3$ alors $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont parallèles.
3. Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l'un est orthogonale à toute droite de l'autre.
4. La droite passant par A(3;-1;2) et de vecteur directeur $\vec u$ (1;1;-2)
    est parallèle au plan d'équation cartésienne $2x-y+z-1=0$.
5. Les plans d'équations cartésiennes $2x-z+1=0$ et $x-y+z-3=0$ sont perpendiculaires.
Exercice 16:
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier.
Dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$), on donne les points A(2 ; 0; -3), B(1 ;2 ; -1) et C(-2 ;1 ; 3).
1. La droite (AB) appartient au plan d'équation cartésienne $2x-y+z-1=0$.
2. Le point H(2;-1;2) est le projeté orthogonal du point A(4;-3;2) sur le plan d'équation cartésienne $x-y=3$.
3. A, B et C définissent un plan qui a pour équation cartésienne $x+2y+z+1=0$.
Exercice 17:
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier.
Dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$), on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $x-y+3z +1 = 0$,
et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\left\{ \begin{array}{l} x=2t\\ y=1+t\\ z=-5+3t\\ \end{array} \right.$ où $t\in\mathbb{R}$.
On donne les points A(1 ; 1; 0), B(3 ;0 ; -1) et C(7 ;1 ; -2).
1. Une représentation paramétrique de la droite (AB) est $\left\{ \begin{array}{l} x=5-2t\\ y=-1+t\\ z=-2+t\\ \end{array} \right.$ où $t\in\mathbb{R}$.
2. Les droites $\mathscr{D}$ et (AB) sont orthogonales.
3. La droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $\mathscr{P}$ au point E de coordonnées (8; -3; -4).
4. Les plans $\mathscr{P}$ et (ABC) sont parallèles.
Corrigé en vidéo
Exercice 18: Équation de plan dépendant d'un paramètre - Bac S Nouvelle calédonie 2016
Dans le repère orthonormé $({\rm O};\vec i;\vec j;\vec k)$ de l’espace, on considère pour tout réel $m$, le plan ${\rm P}_m$ d’équation \[ \frac 14 m^2x+(m-1)y+\frac 12 mz-3=0\]
  • Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point $\rm A(1 ; 1 ; 1)$ appartient-il au plan ${\rm P}_m$ ?
  • Montrer que les plans ${\rm P}_1$ et${\rm P}_{-4}$ sont sécants selon la droite $\rm (d)$ dont on donnera une représentation paramétrique.
  • Montrer que l’intersection entre ${\rm P}_0$ et $\rm (d)$ est un point noté $\rm B$ dont on déterminera les coordonnées.
  • Justifier que pour tout réel $m$, le point $\rm B$ appartient au plan ${\rm P}_m$.
  • Montrer que le point $\rm B$ est l’unique point appartenant à ${\rm P}_m$ pour tout réel $m$.
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Exercice 19: Équation de plan et section d'un cube par un plan - Bac S Pondichéry 2017 Exercice 5
ABCDEFGH est un cube.
Dans le repère $\left( \rm A;\overrightarrow{\rm AB};\overrightarrow{\rm AD};\overrightarrow{\rm AE}\right)$, on note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + \dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0$.
Construire, sur la figure ci-dessous, la section du cube par le plan $\mathcal{P}$, en justifiant.

Vecteur normal, équation cartésienne de plan : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
Agrégé de Mathématiques
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Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie