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Terminale S

Nombres complexes


Qu'est-ce qu'un nombre complexe?
♦ Pourquoi avoir créé les

nombres complexes

Cours de math en vidéo et Cours de math en vidéo
Cours

sur les nombres complexes

en vidéo Cours de math en vidéo
  • Un nombre complexe est un nombre de la forme
    a+ib
    a et b sont des nombres réels

    et i un nombre tel que

    i² = -1


  • L'ensemble des nombres complexes est noté
    On

    calcule avec des nombres complexes

    comme
    avec les nombres réels
          sans oublier que

    i² = -1


  • Ecrire un nombre complexe sous

    forme algébrique

    c'est
    l'écrire sous la forme a+ib
    a est réel et s'appelle la

    partie réelle

    et est notée Re(z)
    b est réel et s'appelle la

    partie imaginaire

    et est notée Im(z)

    La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre
    réel
    Si z = 3+2i alors la partie imaginaire vaut 2 et pas 2i !

    Un nombre complexe est imaginaire pur lorsque
    sa partie réelle vaut 0
    $z=4i$ est imaginaire pur, on peut écrire $z=0+4i$, sa partie réelle est nulle.

    Un nombre complexe est réel lorsque
    sa partie imaginaire vaut 0
    $z=5$ est réel, on peut écrire $z=5+0\times i$, sa partie imaginaire est nulle.

  • Un nombre complexe n'a qu'une seule forme algébrique.
    Autrement dit a+ib = a'+ib'
    a = a' et b = b' 
    N'appliquer cette propriété qu'avec $a$, $b$, $a'$, $b'$ réels !

    Autrement dit 2 nombres complexes sont égaux si et seulement si
    ils ont même partie réelle et même partie imaginaire





Qu'est-ce que le

conjugué d'un nombre complexe?

♦ Pour le savoir et connaitre les

propriétés du conjugué

, regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Si $z=a+ib$       
    avec a et b réels!
    , le conjugué de $z$ est  
    noté $\overline z$ et $\overline z=a-ib$
  • $\overline {z+z'}=$  
    $\overline {z+z'}=\overline z+\overline {z'}$
    $\overline {z\times z'}=$  
    $\overline {z\times z'}=\overline z\times\overline {z'}$
    \[\overline {\left({\frac{z}{z'}}\right)}=\]  
    \[ \overline {\left({\frac{z}{z'}}\right)}=\frac{\overline z}{\overline {z'}}\]
  • Si $z=a+ib$       
    avec a et b réels!
    , alors $z\times \overline z=$  
    $z\times \overline z=a^2+b^2$
  • $z$ est réel
    $z=\overline z$
  • z est imaginaire pur ⇔
    $z=-\overline z$
  • Pour écrire \[\frac{z}{z'}\] sous forme algébrique  
    Penser à multiplier au numérateur et dénominateur par $\overline{z'}$
    puis développer.
  • Pour trouver la partie réelle et imaginaire  
    Penser à écrire le nombre sous forme algébrique
    Et donc à appliquer la méthode précédente



Exercices 1: Déterminer la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe
Trouver la partie réelle et imaginaire des nombres complexes suivants:
\[a)~-2i+5\] \[b)~-3\] \[c)~2i\] \[d)~i(-4-i)\] \[e)~(1-3i)^2\]
Exercices 2: Déterminer la partie réelle et imaginaire avec des fractions - quotient
Trouver la partie réelle et imaginaire des nombres complexes suivants:
\[a)~\frac 1i\] \[b)~\frac{2-i}{3-2i}\] \[c)~\frac{2-i}{4}\] \[d)~1+i+i^2+i^3\]
Exercices 3: Savoir si un complexe est réel ou imaginaire pur ou ni l'un ni l'autre
Soit $z$ un nombre complexe quelconque.
a) $z+\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
b) $z-\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
c) $z\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
d) $(z-2i)(\overline z+2i)$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
e) \[\frac 1z+ \frac 1{\overline z}\] est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Ecrire un quotient de nombre complexe sous forme algébrique
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
\[a)~\frac{2}{1-i}\] \[b)~\frac{i-3}{1+2i}\] \[c)~1+\frac 1i\] \[d)~\frac{(2-i)(3+2i)}{4}\] \[e)~\frac{(2-i)^2}{3+i}\]
Exercices 5: Conjugué d'un nombre complexe - Démonstrations de cours - ROC
a) Démontrer que $\overline{\overline z}=z$
b) Démontrer que $\overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2$
c) Démontrer que $\overline{z_1\times z_2}=\overline z_1\times\overline z_2$
d) Démontrer que si $z_2 \ne 0$, \[\overline{\left(\frac {z_1} {z_2}\right)}=\frac{\overline z_1}{\overline z_2}\]
e) Démontrer que $\overline{z^n}=(\overline z)^n$ où $n$ est un entier naturel.
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Déterminer la partie réelle et imaginaire en fonction de x et y
Soit $z$ un nombre complexe quelconque. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
Déterminer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes suivants en fonction de $x$ et $y$.
\[a)~2z+i\] \[a)~z\overline z\] \[a)~iz\] \[a)~(z-1)(\overline z+i)\]
Exercices 7: Déterminer l'inverse d'un nombre complexe
Déterminer les inverses des nombres suivants. On donnera le résultat sous forme algébrique.
\[a)~2-i\] \[b)~\frac{i}{2-3i}\] \[c)~2-i(4-2i)\] \[d)~(1-2i)(2+3i)\]
Exercices 8: Déterminer partie réelle - partie imaginaire
Soit $z$ un nombre complexe différent de $i$. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
On note \[z'=\frac{z+i}{z-i}\]. On appelle X et Y respectivement la partie réelle et imaginaire de $z'$.
Déterminer X et Y en fonction de $x$ et $y$.
Exercices 9: Déterminer partie réelle - partie imaginaire
Soit $z$ un nombre complexe non nul. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
On note \[z'=\frac{z-1}{i\overline z}\]. On appelle X et Y respectivement la partie réelle et imaginaire de $z'$.
Déterminer X et Y en fonction de $x$ et $y$.

Exercices: nombre complexe calcul : Imprimer



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Stephane Chenevière
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