Corrigé Bac 2024 Centres étrangers - spé maths - Suite Un+1=f(Un) - Exercice 2
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x) = 2x e^{-x}$.
On admet que $f$ est dérivable sur $[0;1]$.
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Résoudre sur $[0;1]$, l'équation $f (x) = x$.
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Montrer que pour tout $x\in [0;1]$, $f'(x) = 2(1-x)e^{-x}$.
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Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0;1]$.
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f
(u_n)$.
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Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant
u_n\lt u_{n+1}\leqslant 1$.
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En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
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Démontrer que la limite de la suite $(u_n)$ est $\ln(2)$.
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Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
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Compléter le script Python ci-dessous afin qu'il renvoie une valeur approchée
de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y
parvenir. On rappelle qu'en Python, $\log(2)$ désigne $\ln(2)$.
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Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction
$\textbf{seuil()}$.
