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Théorème de Bézout


Théorème de Bézout

  • Théorème de Bézout:
         Si $ {\rm PGCD}(a;b)=1$
    Si ${\rm PGCD}(a;b)=1$
    Autrement dit
    Si $\boldsymbol a$ et $ \boldsymbol b$ sont premiers entre eux

    $\Downarrow$
    il existe $ \boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ tels que $\boldsymbol{ au+bv=1}$
    $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont des des entiers relatifs
    $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ ne sont pas uniques!


    Par exemple:
    PGCD(7;20)=1
    Donc il existe $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ entiers relatifs
    tels que $7\boldsymbol u+20\boldsymbol v=1$

    Avec $\boldsymbol{u=3}$ et $\boldsymbol{v=-1}$, on a bien $7\times 3+20\times(-1)=1$
    Avec $\boldsymbol{u=-17}$ et $\boldsymbol{v=6}$, on a bien $7\times(-17)+20\times6=1$


    Le théorème de Bézout permet de justifier l'existence de $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$.
    Mais il ne donne pas les valeurs de $u$ et $v$.
    Pour savoir trouver $u$ et $v$,
    voir un peu plus loin

         Si $au+bv=1$
    Si $\boldsymbol{au+bv=1}$
    où $\boldsymbol a$, $\boldsymbol b$, $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont des entiers relatifs

    $\Downarrow$
    $\boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)=1$
    Autrement dit $\boldsymbol a$ et $\boldsymbol b$ sont premiers entre eux.


    Par exemple, on peut écrire que
    ${\bf 17}\times 3-2\times {\bf 25}=51-50=1$
    Donc $\boldsymbol{\rm PGCD}(17;25)=1$
    Autrement dit $\boldsymbol {17}$ et $\boldsymbol {25}$ sont premiers entre eux.

         Conclusion
    $\boldsymbol{au+bv=1}\Leftrightarrow \boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)=1$
    La propriété s'applique dans les deux sens!
  • Si on remplace 1 par D dans Bézout?
         Si ${\rm PGCD}(a;b)={\rm D}$
    Si $\boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)={\rm D}$
    $\Downarrow$
    il existe $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ tels que $\boldsymbol{au+bv={\rm D}}$
    $\boldsymbol a$, $\boldsymbol b$, $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont des entiers relatifs.


    Par exemple:
    ${\rm PGCD}(\boldsymbol 8;\boldsymbol{34})=2$
    Donc il existe $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ entiers relatifs tels que
    $\boldsymbol{8u+34v=2}$

    Avec $\boldsymbol{u=-4}$ et $\boldsymbol{v=1}$, on a bien
    $8\times (-4)+34\times 1=-32+34=2$

         Si $au+bv={\rm D}$
    Si $\boldsymbol{au+bv={\rm D}}$
    On ne peut pas conclure que D est le PGCD de $a$ et $b$.
    On peut juste conclure que le PGCD($a$;$b$) divise $\rm D$ .

    Par exemple, on peut écrire que:
    $\boldsymbol {14}\times 3-\boldsymbol 6\times 5=\boldsymbol{12}$
    Mais on ne peut pas conclure que 12 est le PGCD de 14 et 6
    On peut juste conclure que PGCD(14;6) divise 12!
  • Important
    $\boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)=1\Leftrightarrow \boldsymbol{au+bv=1}$
    La propriété s'applique dans les deux sens!


    $\boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)=D\Rightarrow \boldsymbol{au+bv=D}$
    Mais la réciproque est fausse.
    Elle est vraie lorsque $\boldsymbol{{\rm D}=1}$ !
    c'est à dire dans le cas du théorème de Bézout!
  • Comment trouver $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$
    Lorsqu'on a
    $a\boldsymbol u+b\boldsymbol v={\rm D}$
    avec $\boldsymbol {\rm D}={\rm PGCD}(a;b)$


    Comment trouver $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ ?

    Méthode 1: Par tatônnements
    Quand les nombres $\boldsymbol a$ et $\boldsymbol b$ sont petits
    On essaye des valeurs pour $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$.

    Par exemple, on a
    $\boldsymbol{ {\rm PGCD}(12;42)=6}$
    On cherche $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ tels que $\boldsymbol{12u+42v=6}$

    Pour cela, on cherche les multiples de 12: 12,24,36,$\boldsymbol{48}$.
    On cherche si besoin, les multiples de $\boldsymbol{42}$.
    On cherche un écart de $\boldsymbol 6$ entre ces multiples.
    On remarque qu'entre 48 et 42, on a bien un écart de 6!
    Donc 48-42=6 donc $4\times 12+42\times (-1)=6$
    donc $\boldsymbol{u=4}$ et $\boldsymbol{v=-1}$


    Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide
    Conseil
    Avant d'utiliser l'algorithme d'Euclide,
    essayer déjà la méthode par tatônnements
    souvent plus rapide!

    $\boldsymbol{{\rm PGCD}(87,123)=3}$
    Cherchons $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ tels que
    $\boldsymbol{87u+123v=3}$
    On applique l'algorithme d'Euclide:

    $123=1\times \boldsymbol{87}+\boldsymbol{36}$
    $\boldsymbol{87}=2\times \boldsymbol{36}+\boldsymbol{15}$
    $\boldsymbol{36}=2\times \boldsymbol{15}+\boldsymbol{6}$
    $\boldsymbol{15}=2\times \boldsymbol{6}+\boldsymbol{3}$
    $\boldsymbol{6}=2\times \boldsymbol{3}+\boldsymbol{0}$
    Puis on remonte les calculs, comme expliqué dans la vidéo
    $\boldsymbol{3}=15-2\times 6$
    $\boldsymbol{3}=15-2\times (36-2\times 15)$
    $\boldsymbol{3}=15-2\times 36+4\times 15$
    $\boldsymbol{3}=5\times 15-2\times 36$
    $\boldsymbol{3}=5\times(87-2\times 36)-2\times 36$
    $\boldsymbol{3}=5\times 87-12\times 36$
    $\boldsymbol{3}=5\times 87-12\times (123-87)$
    $\boldsymbol{3}=17\times 87-12\times 123$
    Donc $\boldsymbol{u=17}$ et $\boldsymbol{v=-12}$

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  • Anecdote historique
    Le théorème de Bézout a en fait été énoncé par Bachet de Méziriac.
    Bézout a généralisé ce théorème aux polynômes.



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Exercices 1:

Comment trouver les coefficients de Bézout - Arithmétique - Spé Maths


A l'aide de l'algorithme d'Euclide, montrer que $368$ et $117$ sont premiers entre eux.
En déduire deux entiers $u$ et $v$ tels que $368u + 117v =1$.
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Exercices 2:

Théorème de Bézout: $a$ et $b^2$ premiers entre eux - Arithmétique - Spé Maths


Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels (tous deux non nuls).
1)Montrer à l'aide du théorème de Bézout que si $a$ et $b^2$ sont premiers entre eux alors $a$ et $b$ sont
premiers entre eux.
2)Montrer (toujours à l'aide du théorème de Bézout) que réciproquement,
si $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors $a$ et $b^2$ sont premiers entre eux.
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Exercices 3:

Théorème de Bézout: montrer que deux entiers sont premiers entre eux - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que pour tout entier $n$, les entiers $2n^2 + 10n + 13$ et $n+3$ sont premiers entre eux.
 
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Exercices 4:

Inverse modulo $n$ - Application pour résoudre $ax\equiv b~ [n]$ - Arithmétique - Spé Maths


On dit qu'un entier $a$ admet un inverse modulo $n$ s'il existe un entier $b$ tel que $ab\equiv1 ~[n]$.
1) Démontrer que $a$ admet un inverse modulo $n$ si et seulement si $a$ et $n$ sont premiers entre eux.
2) Application:
     a) 7 admet-il un inverse modulo 22? Dans l'affirmative, en donner un.
     b) Résoudre $7x\equiv 5 ~[22]$.
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Exercices 5:

Théorème de Bézout : inverse modulo $n$ - Arithmétique - Spé Maths


Soient $a$ et $n$ deux entiers non nuls, on dit que $a$ admet un inverse modulo $n$ ou encore qu'il est inversible modulo $n$ s'il existe un entier $b$ tel que : \[a b \equiv 1\, [n] \]
1)Montrer que $a$ est inversible modulo $n$ si et seulement si $a$ et $n$ sont premiers entre eux.
2)Montrer que si $a$ est inversible modulo $n$, il existe un unique entier $r$ compris entre $1$ et $n-1$ tel que $a r \equiv 1\, [n]$. On dit alors que $r$ est l'inverse de $a$ modulo $n$
3)$15$ est-il inversible modulo $26$ ? Si oui, déterminer son inverse. Même question avec $8$.
Exercices 6:

Théorème de Bézout - Arithmétique - Spé Maths


  1. Énoncer le théorème de Bézout.
    1. Montrer que pour tous entiers $a$, $b$, $u$ et $v$, on a :
      $(au + bv)^2 = (a + b)(au^2 + bv^2) + ab(2uv - u^2 - v^2)$
    2. En déduire que si deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors $a+b$ et $ab$ sont aussi premiers entre eux.
  2. Réciproquement, soient $a$ et $b$ deux entiers, montrer que si $a + b$ et $ab$ sont premiers entre eux alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
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Exercices 7:

Théorème de Bézout et PGCD - Arithmétique - Spé Maths


Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls avec $a$ et $c$ premiers entre eux.
Montrer que ${\rm PGCD}(a;bc)={\rm PGCD}(a;b)$.
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Exercices 8:

Théorème de Bézout et PGCD d'entiers dépendants de $n$ - Arithmétique - Spé Maths


Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $5$,
on considère les deux entiers $a = n^3 - n^2 - 12n$ et $b = 2n^2 - 7n - 4$.
1) Montrer que $a$ et $b$ sont divisibles par $n-4$.
2) On pose $\alpha = 2n+1$ et $\beta = n+3$ et on note $d$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$.
     a) Etablir une relation entre $\alpha$ et $\beta$ indépendante de $n$.
     b) Démontrer que $d$ est un diviseur de $5$.
     c) Démontrer que $\alpha$ et $\beta$ sont divisibles par $5$ si et seulement si $n-2$ est divisible par $5$.
3) Montrer que $2n+1$ et $n$ sont premiers entre eux.
4) Discuter en fonction de $n$ du PGCD de $a$ et $b$.
5) Vérifier vos résultats pour $n=6$ et $n=7$.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
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