Théorème de Gauss - Cours et exercices - arithmétique - spé Maths

j'ai compris mes maths
J'ai compris.com
Cours et exercices corrigés en vidéo comme en classe
lycée
collège
primaire
Manuel scolaire

Web


Jaicompris.com est soutenu par l'éducation nationale
et l'académie de Poitiers

Ce sera prêt pour 2018

Ce sera prêt pour 2017

Terminale S

Théorème de Gauss


Théorème de Gauss

Cours en vidéo: Comprendre et savoir démontrer le théorème de Gauss Cours de math en vidéo
  • Théorème de Gauss
    Si $\boldsymbol a$ divise le produit $\boldsymbol{bc}$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux
    $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs non nuls.

    $\Downarrow$
    $\boldsymbol a$ divise $\boldsymbol c$

    Le théorème de Gauss est très pratique
    pour résoudre des équations du type
    $\boldsymbol{3x=10y}$
    où $x$ et $y$
    sont des entiers relatifs.


    Si $3x=10y$
    alors 3 divise $10y$
    Or 3 est premier avec 10
    Donc d'après le théorème de Gauss,
    3 divise $y$
    Donc $\boldsymbol{y=3k}$
    En remplaçant $y$ par $3k$ dans l'équation, on obtient:
    $3x=10\times 3k$
    $\boldsymbol{x=10k}$
    On a simplifié par 3


    Finalement les solutions de l'équation
    sont de la forme
    $ \left \{ \begin{array}{l} x= 10k \\ y= 3k \\ \end{array} \right. $
    Bien vérifier que ces solutions conviennent.

Cours en vidéo: Corollaire du théorème de Gauss Cours de math en vidéo
  • Corollaire du théorème de Gauss
    Si $\boldsymbol b$ et $\boldsymbol c$ divise $\boldsymbol{a}$ et si $b$ et $c$ sont premiers entre eux
    $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs non nuls.

    $\Downarrow$
    $\boldsymbol bc$ divise $\boldsymbol a$

    Si $\boldsymbol 4$ et $\boldsymbol 15$ divisent $ \boldsymbol a$
    comme 4 et 15 sont premiers entre eux
    alors d'après le corollaire du théorème de Gauss
    $\boldsymbol{4\times 15}$ divise $\boldsymbol a$
    c'est à dire
    60 divise $ \boldsymbol a$.
Cours en vidéo: Equation diophantienne $ax+by=c$ Cours de math en vidéo



Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Equation diophantienne - Arithmétique - Spé Maths


  1. Justifier que l'équation : $15x-9y = 14$ n'admet aucun couple d'entiers $(x~;~y)$ solution.
  2. On souhaite maintenant résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $(E) : 13x + 9y = 2$.
    1. Justifier que $(E)$ possède au moins un couple d'entiers solution.
    2. Déterminer un couple $(x_0~;~y_0)$ d'entiers solution de $(E)$.
    3. Montrer que l'équation $(E)$ est équivalente à $(E') : 13(x-x_0) = -9(y-y_0)$.
    4. Montrer que si $(x~;~y)$ est un couple d'entiers solution de $(E)$ alors il existe un entier $k$ tel que : $x = -4 + 9k$ et $y= 6-13k$.
    5. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers solutions de l'équation $(E)$.
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Utilisation du corollaire du théorème de Gauss - Arithmétique - Nombre de Mersenne - Spé Maths


Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous:

Au vue des résultats, il affirme que $3$ divise $2^{33}-1$ et $4$ divise $2^{33}-1$ et que $12$ ne divise pas $2^{33}-1$.
1) En quoi cette affirmation est-elle contradictoire?
2) Justifier que, en réalité, $4$ ne divise pas $2^{33}-1$.
3) Montrer que $3$ ne divise pas $2^{33}-1$.
4) Démontrer que 7 divise $2^{33}-1$.
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Démonstration du théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


L'objectif de l'exercice est de démontrer le théorème de Gauss :

Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers non nuls.
Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.

1) Rappeler le théorème de Bézout.
2) Montrer qu'il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $acu + bcv = c$.
3) En déduire que $a$ divise $c$.
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Problème de dénombrement et théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


Un joueur a totalisé $200$ points en lançant sur une cible $25$ fléchettes.
La cible possède $3$ zones qui rapportent respectivement $0$, $5$ et $12$ points.
1) Montrer que le nombre de fléchettes qui ont touché la zone à $12$ points est divisible par $5$.
2) En déduire la répartition des fléchettes dans les différentes zones.
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Exercice d'application du théorème de Gauss - critère d'Eisenstein - Arithmétique - Spé Maths


Soient $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux. On considère l'équation (E): $3x^3 + 4x^2 +2x -4 = 0$
1)Montrer que si $\frac{p}{q}$ est une solution de l'équation (E) alors $p$ divise $4$ et $q$ divise $3$.
2) En déduire que l'équation $(E)$ admet une unique solution rationnelle.
Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Théorème de Gauss: points à coordonnées entières sur une droite - Arithmétique - Spé Maths


Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(7~;~2)$ et $B(-3~;~-4)$.
1) Montrer qu'un point $M(x~;~y)$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si: $$3(x-7)=5(y-2)$$ 2) En déduire l'ensemble des points du plan à coordonnées entières appartenant à la droite $(AB)$.
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Corollaire du théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


L'objectif de l'exercice est de démontrer le corollaire du théorème de Gauss :
Soient $a$, $b$ et $n$ trois entiers non nuls.
Si $a$ et $b$ divisent $n$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $ab$ divise $n$.

1) Montrer qu'il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que : $ka = k'b$.
2) Montrer que $a$ divise $k'$.
3) En déduire que $ab$ divise $n$.
Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Exercice d'application du corollaire du théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que le produit de $5$ entiers consécutifs est divisible par $120$.

Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Problème des restes chinois - Arithmétique - Spé Maths


1) On se propose de déterminer l'ensemble $\mathscr{S}$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} n &\equiv & 9 \quad [17]\\ n &\equiv &3 \quad [5] \end{array}\right.\]
a) On désigne par $(u~;~v)$ un couple d'entiers relatifs tel que $17u + 5v = 1$.
(i) Justifier l'existence d'un tel couple $(u~;~v)$.
(ii) On pose $n_{0} = 3 \times 17u + 9 \times 5v$. Démontrer que $n_{0}$ appartient à $\mathscr{S}$.
(iii) Donner un exemple d'entier $n_{0}$ appartenant à $\mathscr{S}$.
b) Soit $n$ un entier relatif appartenant à $\mathscr{S}$.
(i) Démontrer que $n - n_{0} \equiv 0\quad [85]$.
(ii) En déduire qu'un entier relatif $n$ appartient à $\mathscr{S}$ si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $n = 43 + 85k$ où $k$ est un entier relatif.
2) Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons ?
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Exercice d'application du théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


Soient $a$ et $b$ deux rationnels (tous deux non nuls) tels que $a+b$ et $ab$ sont des entiers.
On pose $a = \dfrac{p_1}{q_1}$ avec $p_1$ et $q_1$ deux entiers premiers entre eux (avec $q_1 >0$) et
$b = \dfrac{p_2}{q_2}$ avec $p_2$ et $q_2$ deux entiers premiers entre eux (avec $q_2 >0$).
1) Montrer que $q_1$ divise $q_2$.
2) En déduire que $q_1=q_2$.
3) Prouver que $a$ et $b$ sont des entiers.
Corrigé en vidéo
Exercices 11:

Chiffrement affine - Montrer qu'une clé peut ne pas être satisfaisante


On numérote les 26 lettres de l'alphabet de 0 pour A à 25 pour Z.
On choisit 2 entiers naturels $a$ et $b$ avec $a\ne 0$. Le couple $(a;b)$ s'appelle la clé de chiffrement.
Pour coder la lettre numéro $x$, on calcule $f(x)=ax+b$. Comme le résultat peut ne pas être compris entre 0 et 25, on prend son reste dans la division euclidienne par 26. Puis ce nombre est remplacé par la lettre correspondante.
1) A quel chiffrement affine correspond ce tableau ci-dessous?

2) Rose propose d'utiliser la clé $(4;7)$. Cette clé, est-elle satisfaisante?
Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Chiffrement affine - Montrer qu'une clé est satisfaisante


On numérote les 26 lettres de l'alphabet de 0 pour A à 25 pour Z.
On choisit 2 entiers naturels $a$ et $b$ avec $a\ne 0$. Le couple $(a;b)$ s'appelle la \textbf{clé} de chiffrement.
Pour coder la lettre numéro $x$, on calcule $f(x)=ax+b$. Comme le résultat peut ne pas être compris entre 0 et 25, on prend son reste dans la division euclidienne par 26. Puis ce nombre est remplacé par la lettre correspondante. Gaspard propose d'utiliser la clé $(3;9)$ pour coder un message.
     1) Coder la lettre H.
     2) Cette clé $(3;9)$ est-elle satisfaisante?
Corrigé en vidéo
Exercices 13:

Chiffrement affine - Cas général


On numérote les 26 lettres de l'alphabet de 0 pour A à 25 pour Z.
On choisit 2 entiers naturels $a$ et $b$ avec $a\ne 0$. Le couple $(a;b)$ s'appelle la clé de chiffrement.
Pour coder la lettre numéro $x$, on calcule $f(x)=ax+b$. Comme le résultat peut ne pas être compris entre 0 et 25, on prend son reste dans la division euclidienne par 26. Puis ce nombre est remplacé par la lettre correspondante. On dit qu'une clé est satisfaisante lorsque deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.
1) Montrer que si $a$ et $26$ sont premiers entre eux alors la clé $(a;b)$ est satisfaisante.
2) Dans la suite du problème, on choisit une clé $(a;b)$ avec $a$ et $26$ premiers entre eux.
     a) Montrer qu'il existe un entier relatif $u$ tel que $au\equiv 1~[26]$.
     b) Déterminer une fonction de décodage.
     c) Décoder le message ZSPS qui a été codé avec la clé $(15;2)$.
Corrigé en vidéo
Exercices 14:

Théorème de Gauss - Erreur à éviter vue dans des copies


On considère l'équation $3(x-2)=10(y+5)$ où $x$ et $y$ sont des entiers. Un élève écrit:
     Comme $\boldsymbol{3(x-2)=10(y+5)}$, donc 3 divise $\boldsymbol{10(y+5)}$.
     Or 3 ne divise pas 10 donc 3 divise $\boldsymbol{y+5}$. Donc $\boldsymbol{y+5=3}k$ avec $\boldsymbol{k\in \mathbb{Z}}$.

1. Corriger l'erreur de l'élève.
2. Trouver un exemple pour convaincre l'élève que son raisonnement est faux.
Corrigé en vidéo
Exercices 15:

Equation diophantienne - Erreurs à éviter vue dans des copies


On considère l'équation ${(\rm E)}:~14(x-6)=9(y+2)$ où $x$ et $y$ sont des entiers. Un élève écrit:

     Comme $14(x-6)=9(y+2)$, donc $14$ divise $9(y+2)$.
     Or $14$ et $9$ sont premiers entre eux donc $14$ divise $y+2$.
     Donc $y+2=14k$ et donc $y=-2+14k$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
     De même, $9$ divise $14(x-6)$. Or $9$ et $14$ sont premiers entre eux. Donc $9$ divise $x-6$.
     Donc $x-6=9k'$ c'est à dire $x=6+9k'$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
     Les solutions de l'équation $({\rm E})$ sont $(6+9k';-2+14k)$ avec $k$ et $k'$ entiers.


Corriger les erreurs de l'élève.

théorème de Gauss - arithmétique - Spé Maths - Terminale S : Exercices à Imprimer

Ce site vous a été utile? Ce site vous a été utile
alors dites-le !


Merci à vous.
Contact

N'hesitez pas à envoyer un mail à:
jaicompris.com@gmail.com

Liens
Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 22 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 13 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie