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Terminale S

Théorème de Gauss


Théorème de Gauss

Cours en vidéo: Comprendre et savoir démontrer le théorème de Gauss Cours de math en vidéo
  • Théorème de Gauss
    Si $\boldsymbol a$ divise le produit $\boldsymbol{bc}$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux
    $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs non nuls.

    $\Downarrow$
    $\boldsymbol a$ divise $\boldsymbol c$

    Le théorème de Gauss est très pratique
    pour résoudre des équations du type
    $\boldsymbol{3x=10y}$
    où $x$ et $y$
    sont des entiers relatifs.


    Si $3x=10y$
    alors 3 divise $10y$
    Or 3 est premier avec 10
    Donc d'après le théorème de Gauss,
    3 divise $y$
    Donc $\boldsymbol{y=3k}$
    En remplaçant $y$ par $3k$ dans l'équation, on obtient:
    $3x=10\times 3k$
    $\boldsymbol{x=10k}$
    On a simplifié par 3


    Finalement les solutions de l'équation
    sont de la forme
    $ \left \{ \begin{array}{l} x= 10k \\ y= 3k \\ \end{array} \right. $
    Bien vérifier que ces solutions conviennent.

Cours en vidéo: Corollaire du théorème de Gauss Cours de math en vidéo
  • Corollaire du théorème de Gauss
    Si $\boldsymbol b$ et $\boldsymbol c$ divise $\boldsymbol{a}$ et si $b$ et $c$ sont premiers entre eux
    $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs non nuls.

    $\Downarrow$
    $\boldsymbol bc$ divise $\boldsymbol a$

    Si $\boldsymbol 4$ et $\boldsymbol 15$ divisent $ \boldsymbol a$
    comme 4 et 15 sont premiers entre eux
    alors d'après le corollaire du théorème de Gauss
    $\boldsymbol{4\times 15}$ divise $\boldsymbol a$
    c'est à dire
    60 divise $ \boldsymbol a$.



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Exercices 1:

Démonstration du théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


L'objectif de l'exercice est de démontrer le théorème de Gauss :

Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers non nuls.
Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.

1) Rappeler le théorème de Bézout.
2) Montrer qu'il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $acu + bcv = c$.
3) En déduire que $a$ divise $c$.
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Exercices 2:

Problème de dénombrement et théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


Un joueur a totalisé $200$ points en lançant sur une cible $25$ fléchettes.
La cible possède $3$ zones qui rapportent respectivement $0$, $5$ et $12$ points.
1) Montrer que le nombre de fléchettes qui ont touché la zone à $12$ points est divisible par $5$.
2) En déduire la répartition des fléchettes dans les différentes zones.
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Exercices 3:

Exercice d'application du théorème de Gauss - critère d'Eisenstein - Arithmétique - Spé Maths


Soient $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux. On considère l'équation (E): $3x^3 + 4x^2 +2x -4 = 0$
1)Montrer que si $\frac{p}{q}$ est une solution de l'équation (E) alors $p$ divise $4$ et $q$ divise $3$.
2) En déduire que l'équation $(E)$ admet une unique solution rationnelle.
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Exercices 4:

Théorème de Gauss: points à coordonnées entières sur une droite - Arithmétique - Spé Maths


Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(7~;~2)$ et $B(-3~;~-4)$.
1) Montrer qu'un point $M(x~;~y)$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si: $$3(x-7)=5(y-2)$$ 2) En déduire l'ensemble des points du plan à coordonnées entières appartenant à la droite $(AB)$.
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Exercices 5:

Corollaire du théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


L'objectif de l'exercice est de démontrer le corollaire du théorème de Gauss :
Soient $a$, $b$ et $n$ trois entiers non nuls.
Si $a$ et $b$ divisent $n$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $ab$ divise $n$.

1) Montrer qu'il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que : $ka = k'b$.
2) Montrer que $a$ divise $k'$.
3) En déduire que $ab$ divise $n$.
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Exercices 6:

Exercice d'application du corollaire du théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que le produit de $5$ entiers consécutifs est divisible par $120$.

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Exercices 7:

Problème des restes chinois - Arithmétique - Spé Maths


1) On se propose de déterminer l'ensemble $\mathscr{S}$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} n &\equiv & 9 \quad [17]\\ n &\equiv &3 \quad [5] \end{array}\right.\]
a) On désigne par $(u~;~v)$ un couple d'entiers relatifs tel que $17u + 5v = 1$.
(i) Justifier l'existence d'un tel couple $(u~;~v)$.
(ii) On pose $n_{0} = 3 \times 17u + 9 \times 5v$. Démontrer que $n_{0}$ appartient à $\mathscr{S}$.
(iii) Donner un exemple d'entier $n_{0}$ appartenant à $\mathscr{S}$.
b) Soit $n$ un entier relatif appartenant à $\mathscr{S}$.
(i) Démontrer que $n - n_{0} \equiv 0\quad [85]$.
(ii) En déduire qu'un entier relatif $n$ appartient à $\mathscr{S}$ si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $n = 43 + 85k$ où $k$ est un entier relatif.
2) Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons ?
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Exercices 8:

Exercice d'application du théorème de Gauss - Arithmétique - Spé Maths


Soient $a$ et $b$ deux rationnels (tous deux non nuls) tels que $a+b$ et $ab$ sont des entiers.
On pose $a = \dfrac{p_1}{q_1}$ avec $p_1$ et $q_1$ deux entiers premiers entre eux (avec $q_1 >0$) et
$b = \dfrac{p_2}{q_2}$ avec $p_2$ et $q_2$ deux entiers premiers entre eux (avec $q_2 >0$).
1) Montrer que $q_1$ divise $q_2$.
2) En déduire que $q_1=q_2$.
3) Prouver que $a$ et $b$ sont des entiers.

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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
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Stephane Chenevière
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