nombres premiers - arithmétique spé Maths - définition propriétés exercice

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Exercices 1:

Nombres premiers : reconnaître un nombre premier - Arithmétique - Spé Maths

Soit $n$ un entier naturel avec $n \geqslant 2$.
1) Montrer que si $n$ n'est pas premier alors il possède un diviseur $d$ qui vérifie : $1 < d \leqslant \sqrt{n}$.
2) Déterminer "à la main" si $409$ est un nombre premier.

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Exercices 2:

Nombres premiers : nombre de diviseurs d'un entier - Arithmétique - Spé Maths

On considère l'entier $n=19~992$.

Décomposer $n$ en facteurs premiers.
Soit $d$ un diviseur (positif) de $n$, justifier que la décomposition de $d$ en produit de facteurs premiers ne comporte pas d'autre nombre premier que ceux présents dans la décomposition de $n$.
Déterminer le nombre de diviseurs positifs de $n$.

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Exercices 3:

infinitude des nombres premiers - Arithmétique - Spé Maths Expert

L'objectif de cet exercice est de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers en raisonnant par l'absurde.
On suppose donc qu'il existe un nombre fini $n$ de nombres premiers qu'on note : $p_1,\, p_2,\, p_3,\, \dots \, p_n$.
On pose $N = p_1 \times p_2 \times p_3 \times \cdots \times p_n + 1$.
1) Montrer que pour tout entier $i$ (avec $1 \leqslant i \leqslant n$), l'entier $N$ n'est pas divisible par $p_i$.
2) Conclure.

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Exercices 4:

Nombres premiers : PGCD et PPCM - Arithmétique - Spé Maths

On pose $a = 588$ et $b = 616$.

Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
En déduire PGCD$(a~;~b)$.
Déduire également de la première question PPCM$(a~;~b)$
(c'est à dire le plus petit multiple commun à $a$ et à $b$).

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Exercices 5:

Nombres premiers et factorielle : les zéros de $100 !$ - Arithmétique - Spé Maths

$$10~! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10 = 3~628~800$$ L'écriture décimale de $10~!$ (se lit : "factorielle $10$ ") se termine donc par deux zéros.
Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de $100~!$ ?

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Exercices 6:

Nombres premiers : un multiple ... carré ! - Arithmétique - Spé Maths

Décomposer $7~425$ en produit de facteurs premiers.
En déduire que $7~425$ n'est pas un carré parfait (c'est à dire qu'il n'est pas égal au carré d'un entier naturel). Justifier.
Trouver le plus petit carré parfait multiple de $7~425$.

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Exercices 7:

Nombres premiers : exploiter la décomposition en facteurs premiers - Arithmétique - Spé Maths

Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(n~;~m)$ tels que : \[3 \times 6^n = 2 \times 18^m \]

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Exercices 8:

Racine de 2 irrationnel - Démonstration de cours - mathématiques racine carré - Arithmétique - Spé Maths

L'objectif de cet exercice est de démontrer que racine de 2 est irrationnel.
On rappelle que si $a^2$ est pair alors $a$ est pair.
Supposons que $\sqrt 2$ est rationnel, c'est à dire qu'il existe $p$ et $q$ entiers tels que: $\displaystyle\sqrt 2=\frac pq$ avec $\displaystyle\frac pq$ irréductible.
1) Démontrer qu'alors $p$ est pair.
2) En déduire que $q$ est pair.
3) Conclure.

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Exercices 9:

Raisonnement par récurrence et Arithmétique - Spé Maths

Le but de cet exercice est de fournir une nouvelle preuve de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$.
On raisonne par l'absurde et on suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel, c'est à dire qu'il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$.

Justifier que $a^2 = 2 b^2$.
Dans la décomposition en facteurs premiers de $2b^2$, quelle est la parité de l'exposant de $2$?
En déduire une contradiction et conclure.

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Exercices 10:

Nombres parfaits - Arithmétique - Spé Maths

On appelle nombre parfait un entier dont la somme de ses diviseurs stricts est égale à lui-même.

Euclide donne la règle suivante pour trouver des nombres parfaits :
" Si un nombre $a$ s'écrit sous la forme $2^n(2^{n+1} - 1)$ avec $n$ un entier et si $2^{n+1} - 1$ est premier, alors $a$ est parfait ".
Trouver trois nombres parfaits.
On pose $a = 2^n(2^{n+1} - 1)$ avec $n$ un entier naturel et supposons $2^{n+1} - 1$ premier.
1. Quelle est la décomposition de $a$ en facteurs premiers ?
2. En déduire la liste des diviseurs de $a$.
3. Démontrer alors que la somme des diviseurs stricts de $a$ est égale à $a$.

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Exercices 11:

Nombres premiers : un problème ouvert - Arithmétique - Spécialité Maths

Trouver tous les nombres premiers $p$ tels que le nombre $2^p + p^2$ soit lui-même un nombre premier.