j'ai compris mes maths
J'ai compris.com
Cours et exercices corrigés en vidéo comme en classe
lycée
collège
primaire
Manuel scolaire

Web


En construction

En construction

Terminale S

Nombres premiers


Nombres premiers

Nombres premiers - Cours en vidéo Cours de math en vidéo Programme Python pour savoir si un nombre est premier Cours de math en vidéo




Nombres premiers Spé Maths : Exercices à Imprimer
Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Nombres premiers : reconnaître un nombre premier - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ un entier naturel avec $n \geqslant 2$.
1) Montrer que si $n$ n'est pas premier alors il possède un diviseur $d$ qui vérifie : $1 < d \leqslant \sqrt{n}$.
2) Déterminer "à la main" si $409$ est un nombre premier.
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Nombres premiers : nombre de diviseurs d'un entier - Arithmétique - Spé Maths


On considère l'entier $n=19~992$.
  1. Décomposer $n$ en facteurs premiers.
  2. Soit $d$ un diviseur (positif) de $n$, justifier que la décomposition de $d$ en produit de facteurs premiers ne comporte pas d'autre nombre premier que ceux présents dans la décomposition de $n$.
  3. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de $n$.
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

infinitude des nombres premiers - Arithmétique - Spé Maths Expert


L'objectif de cet exercice est de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers en raisonnant par l'absurde.
On suppose donc qu'il existe un nombre fini $n$ de nombres premiers qu'on note : $p_1,\, p_2,\, p_3,\, \dots \, p_n$.
On pose $N = p_1 \times p_2 \times p_3 \times \cdots \times p_n + 1$.
1) Montrer que pour tout entier $i$ (avec $1 \leqslant i \leqslant n$), l'entier $N$ n'est pas divisible par $p_i$.
2) Conclure.
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Nombres premiers : PGCD et PPCM - Arithmétique - Spé Maths


On pose $a = 588$ et $b = 616$.
  1. Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
  2. En déduire PGCD$(a~;~b)$.
  3. Déduire également de la première question PPCM$(a~;~b)$
    (c'est à dire le plus petit multiple commun à $a$ et à $b$).
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Nombres premiers et factorielle : les zéros de $100 !$ - Arithmétique - Spé Maths


$$10~! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10 = 3~628~800$$ L'écriture décimale de $10~!$ (se lit : "factorielle $10$ ") se termine donc par deux zéros.
Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de $100~!$ ?
Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Nombres premiers : un multiple ... carré ! - Arithmétique - Spé Maths


  1. Décomposer $7~425$ en produit de facteurs premiers.
  2. En déduire que $7~425$ n'est pas un carré parfait (c'est à dire qu'il n'est pas égal au carré d'un entier naturel). Justifier.
  3. Trouver le plus petit carré parfait multiple de $7~425$.
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Nombres premiers : exploiter la décomposition en facteurs premiers - Arithmétique - Spé Maths


Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(n~;~m)$ tels que : \[3 \times 6^n = 2 \times 18^m \]
Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Racine de 2 irrationnel - Démonstration de cours - mathématiques racine carré - Arithmétique - Spé Maths


L'objectif de cet exercice est de démontrer que racine de 2 est irrationnel.
On rappelle que si $a^2$ est pair alors $a$ est pair.
Supposons que $\sqrt 2$ est rationnel, c'est à dire qu'il existe $p$ et $q$ entiers tels que: $\displaystyle\sqrt 2=\frac pq$ avec $\displaystyle\frac pq$ irréductible.
1) Démontrer qu'alors $p$ est pair.
2) En déduire que $q$ est pair.
3) Conclure.
Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Raisonnement par récurrence et Arithmétique - Spé Maths


Le but de cet exercice est de fournir une nouvelle preuve de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$.
On raisonne par l'absurde et on suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel, c'est à dire qu'il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$.
  1. Justifier que $a^2 = 2 b^2$.
  2. Dans la décomposition en facteurs premiers de $2b^2$, quelle est la parité de l'exposant de $2$?
  3. En déduire une contradiction et conclure.
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Nombres parfaits - Arithmétique - Spé Maths


On appelle nombre parfait un entier dont la somme de ses diviseurs stricts est égale à lui-même.
  1. Euclide donne la règle suivante pour trouver des nombres parfaits :
    " Si un nombre $a$ s'écrit sous la forme $2^n(2^{n+1} - 1)$ avec $n$ un entier et si $2^{n+1} - 1$ est premier, alors $a$ est parfait ".
    Trouver trois nombres parfaits.
  2. On pose $a = 2^n(2^{n+1} - 1)$ avec $n$ un entier naturel et supposons $2^{n+1} - 1$ premier.
    1. Quelle est la décomposition de $a$ en facteurs premiers ?
    2. En déduire la liste des diviseurs de $a$.
    3. Démontrer alors que la somme des diviseurs stricts de $a$ est égale à $a$.
Corrigé en vidéo
Exercices 11:

Nombres premiers : un problème ouvert - Arithmétique - Spécialité Maths


Trouver tous les nombres premiers $p$ tels que le nombre $2^p + p^2$ soit lui-même un nombre premier.


Ce site vous a été utile? Ce site vous a été utile
alors dites-le !


Merci à vous.
Contact

N'hesitez pas à envoyer un mail à:
jaicompris.com@gmail.com

Liens
Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 24 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 15 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie