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Terminale S

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ - Spé Maths


\[a\] divise \[b\]

Cours en vidéo: Définition et propriétés de $a$ divise $b$ Cours de math en vidéo
  • Dire que $a$ divise $b$ signifie 
    qu'il existe un entier $k$ tel que $b=k\cdot a$ 
    $a$ et $b$ sont des entiers relatifs

    $a$ qui divise, doit être différent de 0.


    Par exemple
    6 divise 18 car $18=3\cdot 6$
  • $a$ divise $b$ se note
    $a\mid b$ 
  • $a$ divise $b$ se dit aussi
    $a$ divise $b$
    $\Updownarrow$
    $b$ est divisible par $a$
    $\Updownarrow$
    $a$ est un diviseur de $b$
    $\Updownarrow$
    $b$ est un multiple de $a$
  • Attention : $9=2\times 4.5$
    Mais 2 ne divise pas 9 car 4.5 n'est pas entier.
  • 0 est divisible par
    0 est divisible par tout entier relatif non nul.
    Par exemple:
    3 divise 0 car $0=3\times 0$.
    De même 25 divise 0 car $0=25 \times 0$.

  • Les seuls diviseurs de 1 sont
    Les seuls diviseurs de 1 sont 1 et -1.
  • $a$ et $-a$ ont
    $a$ et $-a$ ont les mêmes diviseurs.
    $a$ est entier relatif.


    Si $b$ divise $a$ alors $b$ divise aussi $-a$
    Démonstration:
    Si $b$ divise $a$ alors il existe un entier $k$, tel que $a=b\times k$
    Donc $-a=b\times (-k)$
    Donc $b$ divise $-a$.






Propriétés de la divisibilité


♦ Comprendre les propriétés et savoir les démontrer en vidéo Cours de math en vidéo
  • Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors 
    Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$
    alors $c$ divise $a$ 
    $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs non nuls.


    Par exemple
    3 divise 9 et 9 divise 18 donc 3 divise 18.
    On dit que la divisibilité est transitive.

  • Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors
    Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors
    $a$ et $b$ sont égaux ou opposés.
    $a$ et $b$ sont des entiers relatifs non nuls.
  • Si $c$ divise $a$ et $b$ alors
    Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise $au+bv$
    $c$ est un entier relatif non nul.
    $u$ et $v$ sont des entiers relatifs quelconques.

    On dit que $c$ divise toute combinaison linéaire de $a$ et $b$.

    Attention: la réciproque est fausse!
    3 divise 5+7
    Et pourtant 3 ne divise ni 5, ni 7!

    Quand on utilise cette propriété,
    on ne raisonne donc pas par équivalence!


    2 cas particuliers importants:
    Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise la somme $a+b$
    Appliquer la propriété précédente avec $u=1$ et $v=1$.

    Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise la différence $a-b$
    Appliquer la propriété précédente avec $u=1$ et $v=-1$.




Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Démontrer que la somme de 3 entiers consécutifs est divisible par 3.
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Démontrer les propriétés de la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


$a$, $b$, $c$ sont trois entiers relatifs non nuls. Démontrer les propriétés suivantes:
1) Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ alors $a$ divise $c$.
2) Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors $a$ et $b$ sont égaux ou opposés.
3) Si $c$ divise $a$ et $b$ alors pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $c$ divise $au+bv$.
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Exercice très classique sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


1) Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
2) Démontrer que lorsque $n$ est un entier impair, 8 divise $n^2-1$.
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Exercice très classique sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que si l'on soustrait à un entier naturel strictement inférieur à $100$, la somme de ses chiffres,
alors le résultat est toujours divisible par $9$.
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

divisibilité et combinaisons linéaires - Arithmétique - Spé Maths


Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on $n+8$ divisible par $n$?

Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Raisonnement par récurrence et Arithmétique - Spé Maths


Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(7^n-1\) est divisible par 6.

Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique - Spé Maths


1) Donner la liste des diviseurs de $20$ dans $\mathbb{N}$.
2) En déduire tous les couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels solutions de l'équation :
                 $4x^2 - y^2 = 20$
Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Divisibilité de $a+b$ - Les différents cas possibles - Arithmétique - Spécialité Maths


$a$, $b$ sont des entiers relatifs. $c$ est un entier relatif non nul.
Rappel: Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise $\left\{ \begin{array}{c} a+b\\ \mbox{et}\\ a-b \end{array} \right.$
Que peut-on dire des affirmations suivantes. Justifier par un raisonnement:
1) Si $c$ divise $a$ mais pas $b$, alors $c$ ne divise pas $a+b$
2) Si $c$ ne divise ni $a$, ni $b$ alors $c$ ne divise pas $a+b$.
3) $3$ ne divise pas $3n+1$ où $n$ est un entier naturel.
Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique - Spé Maths


1) Montrer que si un entier naturel $d$ divise $12n+7$ et $3n+1$ alors il divise $3$.
2) En déduire que la fraction $\dfrac{12n + 7}{3n + 1}$ est irréductible.
Corrigé en vidéo!
Exercices 10: Démontrer par récurrence que ... est divisible - multiple - Les erreurs à éviter
Pour tout entier naturel \(n\), on considère les deux propriétés suivantes:
\(P_n: 10^n-1\) est divisible par 9 \(Q_n: 10^n+1\) est divisible par 9
  • Démontrer que si \(P_n\) est vraie alors \(P_{n+1}\) est vraie.
  • Démontrer que si \(Q_n\) est vraie alors \(Q_{n+1}\) est vraie.
  • Un élève affirme: " Donc \(P_n\) et \(Q_n\) sont vraies pour tout entier naturel \(n\)".
    Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
  • Démontrer que \(P_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
  • Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \(Q_n\) est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Exercices 11: Démontrer par récurrence que ... est divisible - multiple
Soit \(P(n)\) la propriété définie sur \(\mathbb{N}\) par:
\(4^n+1\) est divisible par 3. 1) Démontrer que si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie.
2) Que peut-on conclure?
Exercices 12:Raisonnement par récurrence et divisibilité
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(3^{2n}-1\) est un multiple de 8.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Professeur en S, ES et STI depuis 21 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
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