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Terminale S

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ - Spé Maths


\[a\] divise \[b\]

Cours en vidéo: Définition et propriétés de $a$ divise $b$ Cours de math en vidéo
  • Dire que $a$ divise $b$ signifie 
    qu'il existe un entier $k$ tel que $b=k\cdot a$ 
    $a$ et $b$ sont des entiers relatifs

    $a$ qui divise, doit être différent de 0.


    Par exemple
    6 divise 18 car $18=3\cdot 6$
  • $a$ divise $b$ se note
    $a\mid b$ 
  • $a$ divise $b$ se dit aussi
    $a$ divise $b$
    $\Updownarrow$
    $b$ est divisible par $a$
    $\Updownarrow$
    $a$ est un diviseur de $b$
    $\Updownarrow$
    $b$ est un multiple de $a$
  • Attention : $9=2\times 4.5$
    Mais 2 ne divise pas 9 car 4.5 n'est pas entier.
  • 0 est divisible par
    0 est divisible par tout entier relatif non nul.
    Par exemple:
    3 divise 0 car $0=3\times 0$.
    De même 25 divise 0 car $0=25 \times 0$.

  • Les seuls diviseurs de 1 sont
    Les seuls diviseurs de 1 sont 1 et -1.
  • $a$ et $-a$ ont
    $a$ et $-a$ ont les mêmes diviseurs.
    $a$ est entier relatif.


    Si $b$ divise $a$ alors $b$ divise aussi $-a$
    Démonstration:
    Si $b$ divise $a$ alors il existe un entier $k$, tel que $a=b\times k$
    Donc $-a=b\times (-k)$
    Donc $b$ divise $-a$.






Propriétés de la divisibilité


♦ Comprendre les propriétés et savoir les démontrer en vidéo Cours de math en vidéo
  • Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors 
    Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$
    alors $c$ divise $a$ 
    $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs non nuls.


    Par exemple
    3 divise 9 et 9 divise 18 donc 3 divise 18.
    On dit que la divisibilité est transitive.

  • Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors
    Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors
    $a$ et $b$ sont égaux ou opposés.
    $a$ et $b$ sont des entiers relatifs non nuls.
  • Si $c$ divise $a$ et $b$ alors
    Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise $au+bv$
    $c$ est un entier relatif non nul.
    $u$ et $v$ sont des entiers relatifs quelconques.

    On dit que $c$ divise toute combinaison linéaire de $a$ et $b$.

    2 cas particuliers importants:
    Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise la somme $a+b$
    Appliquer la propriété précédente avec $u=1$ et $v=1$.

    Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise la différence $a-b$
    Appliquer la propriété précédente avec $u=1$ et $v=-1$.




Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Démontrer que la somme de 3 entiers consécutifs est divisible par 3.
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Démontrer les propriétés de la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


$a$, $b$, $c$ sont trois entiers relatifs non nuls. Démontrer les propriétés suivantes:
1) Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ alors $a$ divise $c$.
2) Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors $a$ et $b$ sont égaux ou opposés.
3) Si $c$ divise $a$ et $b$ alors pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $c$ divise $au+bv$.
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Exercice très classique sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


1) Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
2) Démontrer que lorsque $n$ est un entier impair, 8 divise $n^2-1$.
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Exercice très classique sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que si l'on soustrait à un entier naturel strictement inférieur à $100$, la somme de ses chiffres,
alors le résultat est toujours divisible par $9$.
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Raisonnement par récurrence et Arithmétique - Spé Maths


Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(7^n-1\) est divisible par 6.

Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique - Spé Maths


1) Donner la liste des diviseurs de $20$ dans $\mathbb{N}$.
2) En déduire tous les couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels solutions de l'équation :
                 $4x^2 - y^2 = 20$
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique - Spé Maths


1) Montrer que si un entier naturel $d$ divise $12n+7$ et $3n+1$ alors il divise $3$.
2) En déduire que la fraction $\dfrac{12n + 7}{3n + 1}$ est irréductible.

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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
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