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Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ - Spé Maths


\[a\] divise \[b\]

Cours en vidéo: Définition et propriétés de $a$ divise $b$ Cours de math en vidéo
  • Dire que $a$ divise $b$ signifie 
    qu'il existe un entier $k$ tel que $b=k\cdot a$ 
    $a$ et $b$ sont des entiers relatifs

    $a$ qui divise, doit être différent de 0.


    Par exemple
    6 divise 18 car $18=3\cdot 6$
  • $a$ divise $b$ se note
    $a\mid b$ 
  • $a$ divise $b$ se dit aussi
    $a$ divise $b$
    $\Updownarrow$
    $b$ est divisible par $a$
    $\Updownarrow$
    $a$ est un diviseur de $b$
    $\Updownarrow$
    $b$ est un multiple de $a$
  • Attention : $9=2\times 4.5$
    Mais 2 ne divise pas 9 car 4.5 n'est pas entier.
  • 0 est divisible par
    0 est divisible par tout entier relatif non nul.
    Par exemple:
    3 divise 0 car $0=3\times 0$.
    De même 25 divise 0 car $0=25 \times 0$.

  • Les seuls diviseurs de 1 sont
    Les seuls diviseurs de 1 sont 1 et -1.
  • $a$ et $-a$ ont
    $a$ et $-a$ ont les mêmes diviseurs.
    $a$ est entier relatif.


    Si $b$ divise $a$ alors $b$ divise aussi $-a$
    Démonstration:
    Si $b$ divise $a$ alors il existe un entier $k$, tel que $a=b\times k$
    Donc $-a=b\times (-k)$
    Donc $b$ divise $-a$.


  • $n$ pair impair
    Dans les exercices, lorsqu'on sait que:
    • $n$ est pair, penser à l'écrire $n=\boldsymbol{2k}$
    avec $k$ est entier relatif.


    • $n$ est impair, penser à l'écrire $n=\boldsymbol{2k+1}$
    avec $k$ est entier relatif.





Propriétés de la divisibilité


♦ Comprendre les propriétés et savoir les démontrer en vidéo Cours de math en vidéo
  • Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors 
    Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$
    alors $c$ divise $a$ 
    $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs non nuls.


    Par exemple
    3 divise 9 et 9 divise 18 donc 3 divise 18.
    On dit que la divisibilité est transitive.

  • Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors
    Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors
    $a$ et $b$ sont égaux ou opposés.
    $a$ et $b$ sont des entiers relatifs non nuls.
  • Si $c$ divise $a$ et $b$ alors
    Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise $au+bv$
    $c$ est un entier relatif non nul.
    $u$ et $v$ sont des entiers relatifs quelconques.

    On dit que $c$ divise toute combinaison linéaire de $a$ et $b$.

    Attention: la réciproque est fausse!
    3 divise 5+7
    Et pourtant 3 ne divise ni 5, ni 7!

    Quand on utilise cette propriété,
    on ne raisonne donc pas par équivalence!


    Cas particuliers très utiles:
    1) Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise la somme $a+b$
    Appliquer la propriété précédente avec $u=1$ et $v=1$.

    2) Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise la différence $a-b$
    Appliquer la propriété précédente avec $u=1$ et $v=-1$.

    3) si $c$ divise $a+b$ et $a$ alors $c$ divise $b$
    D'après la propriété 2)

    3) si $c$ divise $a$ et mais pas $b$ alors $c$ ne divise pas $a+b$
    Exemple:
    3 divise $3n$ et ne divise pas $7$
    Donc 3 ne divise pas $3n+7$!
    Cours de math en vidéo



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Exercices 1:

Pair - Impair - Arithmétique - Spé Maths


Que peut-on dire du carré d'un nombre impair ? Démontrer le.

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Exercices 2:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Démontrer que la somme de 3 entiers consécutifs est divisible par 3.

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Exercices 3:

Démontrer les propriétés de la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


$a$, $b$, $c$ sont trois entiers relatifs non nuls. Démontrer les propriétés suivantes:
1) Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ alors $a$ divise $c$.
2) Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors $a$ et $b$ sont égaux ou opposés.
3) Si $c$ divise $a$ et $b$ alors pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $c$ divise $au+bv$.
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Exercices 4:

$n^2$ pair alors $n$ pair - contraposée - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.

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Exercices 5:

Exercice très classique sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


1) Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
2) Démontrer que lorsque $n$ est un entier impair, 8 divise $n^2-1$.
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Exercices 6:

Exercice très classique sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que si l'on soustrait à un entier naturel strictement inférieur à $100$, la somme de ses chiffres,
alors le résultat est toujours divisible par $9$.
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Exercices 7:

divisibilité et combinaisons linéaires - Arithmétique - Spé Maths


Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on $n+8$ divisible par $n$?

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Exercices 8:

Raisonnement par récurrence et Arithmétique - Spé Maths


Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(7^n-1\) est divisible par 6.

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Exercices 9:

Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique - Spé Maths


1) Donner la liste des diviseurs de $20$ dans $\mathbb{N}$.
2) En déduire tous les couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels solutions de l'équation :
                 $4x^2 - y^2 = 20$
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Exercices 10:

Divisibilité de $a+b$ - Les différents cas possibles - Arithmétique - Spécialité Maths


$a$, $b$ sont des entiers relatifs. $c$ est un entier relatif non nul.
Rappel: Si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise $\left\{ \begin{array}{c} a+b\\ \mbox{et}\\ a-b \end{array} \right.$
Que peut-on dire des affirmations suivantes. Justifier par un raisonnement:
1) Si $c$ divise $a$ mais pas $b$, alors $c$ ne divise pas $a+b$
2) Si $c$ ne divise ni $a$, ni $b$ alors $c$ ne divise pas $a+b$.
3) $3$ ne divise pas $3n+1$ où $n$ est un entier naturel.
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Exercices 11:

Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique - Spé Maths


1) Montrer que si un entier naturel $d$ divise $12n+7$ et $3n+1$ alors il divise $3$.
2) En déduire que la fraction $\dfrac{12n + 7}{3n + 1}$ est irréductible.
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Exercices 12:

Démontrer qu'une fraction est irréductible - Arithmétique - Spé Maths


Déterminer toutes les valeurs de l'entier relatif $n$ telles que $\displaystyle\frac{10n-4}{3n+1}$ soit un entier relatif.

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Exercices 13:

Démontrer que ... ne divise pas .... - Arithmétique - Spé Maths


Le nombre $n$ désigne un entier naturel.
1. Démontrer que $n + 1$ divise $n^2 + 5n + 4$ et $n^2 + 3n + 2$.
2. Déterminer l'ensemble des valeurs de $n$ pour lesquelles $3n^2 + 15n + 19$ est divisible par $n + 1$.
3. En déduire que, quel que soit $n$, $3n^2 + 15n + 19$ n'est pas divisible par $n^2 + 3n + 2$.
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Exercices 14: Démontrer par récurrence que ... est divisible - multiple - Les erreurs à éviter
Pour tout entier naturel \(n\), on considère les deux propriétés suivantes:
\(P_n: 10^n-1\) est divisible par 9 \(Q_n: 10^n+1\) est divisible par 9
  • Démontrer que si \(P_n\) est vraie alors \(P_{n+1}\) est vraie.
  • Démontrer que si \(Q_n\) est vraie alors \(Q_{n+1}\) est vraie.
  • Un élève affirme: " Donc \(P_n\) et \(Q_n\) sont vraies pour tout entier naturel \(n\)".
    Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
  • Démontrer que \(P_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
  • Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \(Q_n\) est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Exercices 15: Démontrer par récurrence que ... est divisible - multiple
Soit \(P(n)\) la propriété définie sur \(\mathbb{N}\) par:
\(4^n+1\) est divisible par 3. 1) Démontrer que si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie.
2) Que peut-on conclure?
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Exercices 16: Raisonnement par récurrence et divisibilité
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(3^{2n}-1\) est un multiple de 8.

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Exercices 17: Raisonnement par récurrence et divisibilité
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(4^{n}+15n-1\) est divisible par 9.

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Exercices 18: Divisibilité : une équation de Pell-Fermat
On considère l'équation $(E)$ : $a^2 - 2b^2 = 1$ et $(a~;~b)$ un couple d'entiers solution de cette équation.
    1. Montrer que $a$ est impair.
    2. Montrer que $b$ est pair.
  1. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
  2. Montrer que le couple $(3a+4b~;~2a+3b)$ est aussi un couple solution de l'équation $(E)$.
  3. A l'aide d'une solution évidente, trouver un couple solution avec des entiers supérieurs à $100$.
  4. Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de trouver un couple solution avec des entiers supérieurs à un seuil fixé à l'avance.
Exercices 19:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ un entier, montrer que les entiers $3n+2$ et $9n +5$ n'ont pas de diviseurs communs hormis $1$ (et $-1$).

Exercices 20:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Les affirmations suivantes sont-elles ou vraies ou fausse ? Justifier
    1) $42$ a plus de diviseurs que $40$.
    2) Le produit d'un nombre pair par un nombre impair est pair.
    3) Un entier naturel différent de $0$ et de $1$ a toujours un nombre pair de diviseurs positifs.
    4) Soit $a$, $b$ et $c$ trois entiers tels que $a \mid c$ et $b \mid c$ alors $ab \mid c$.
    5) $3$ divise $n(n^2-1)$ où $n$ est un entier relatif.
Exercices 21:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


On décide de former des nombres dans le système décimal en écrivant de gauche à droite quatre chiffres consécutifs dans l'ordre croissant puis en permutant les deux premiers chiffres de gauche.
Par exemple, à partir de 4567 on obtient 5467, à partir de 2345 on obtient 3245.
Démontrer que tous les entiers naturels ainsi obtenus sont multiples de $11$.
Exercices 22:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Deux nombres entiers $n$ et $m$ sont dits amicaux si la somme des diviseurs de $n$ ($n$ non compris) vaut $m$ et la somme des diviseurs de $m$ ($m$ non compris) vaut $n$. Montrer que $220$ et $284$ sont amicaux.
Exercices 23:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


On considère un entier de $3$ chiffres. On appelle renversé de cet entier le nombre qui s'écrit en échangeant les chiffres des centaines et des unités.
Par exemple, le renversé de $158$ est $851$.
Montrer que la différence entre un entier de $3$ chiffres et son renversé est divisible par $99$.
Exercices 24:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


1) Vérifier que 2016 2016 est divisible par $73$ et $137$.
2) Essayer avec d'autres entiers obtenus en juxtaposant deux entiers à $4$ chiffres et démontrer qu'il en sera toujours ainsi.
Exercices 25:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


On considère l'écriture en base $10$ d'un entier $n=\overline{cdu}$ .
1) Montrer que si $2d+u$ est un multiple de $4$ alors $n$ est un multiple de $4$.
2) Montrer que la réciproque est également vraie.
Exercices 26:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Trouver tous les couples d'entiers naturels $(x~;~y)$ qui vérifient :
a) $x(y + 1) = 14$ b) $(x + 2y)(2x - 3y) = 15$ c) $x^2 - y^2 = 20$ d) $2x^2 = 4y + 1$
Exercices 27:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que l'équation $4x^2 = 33 + y^2$ n'admet aucun couple d'entiers $(x~;~y)$ comme solution.

Exercices 28:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


On souhaite résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation $(E) : n^3 + 4n = 240$.
1) Montrer qu'une solution $n$ de $(E)$ ne peut pas être un entier impair.
2) Résoudre l'équation $(E)$.
Exercices 29:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


On considère l'équation (E) : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5} $ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs non nuls.
1) Montrer que (E) est équivalente à $(x - 5)(y - 5) = 25$ avec $x$ et $y$ non nuls.
2) En déduire les solutions de (E).
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Exercices 30:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Le plan est muni d'un repère $(\mathrm{O}~;~ \vec{i}~;~\vec{j})$.
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.
1) Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$.
2) Existe-il au moins un point de la droite $\Delta$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
Exercices 31:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n \in \mathbb{Z}$. Pour quelles valeurs de $n$, $\dfrac{2n-29}{n +2}$ est-il un entier relatif?

Exercices 32:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ un entier naturel.
1) Vérifier que $2n^2 - n - 6 = (n + 3)(2n - 7) + 15$.
2) En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles la fraction $\dfrac{2n^2 - n - 6}{n + 3}$ est un entier relatif.
Exercices 33:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que pour tout entier naturel $n$, la fraction $\dfrac{12n + 7}{3n + 1}$ est irréductible.
Exercices 34:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, la fraction $\dfrac{9n - 8}{3n+1}$ n'est jamais un entier.
Exercices 35:

Exercice simple sur la divisibilité - Arithmétique - Spé Maths


Soit $n$ est un entier naturel.
1) Démontrer que quel que soit $n$, $n +2$ divise $n^2 +3n +2$.
2) En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles $n +2$ divise $4n^2 +12n +20$.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie