Exercice
1: Famille libre - famille liée - espace vectoriel
Dans chaque cas, indiquées si les familles sont libres dans $\mathbb{R}^3$:
$(u,v)$ avec $u=(1,3,2)$ et $v=(2,1,3)$
$(u,v,w)$ avec $u=(2,1,-1)$ , $v=(1,-1,0)$ et $w=(3,3,-2)$
Exercice
2: Famille libre de vecteur de R^3 - famille liée - espace vectoriel
Soit $t$ un réel, on considère les vecteurs $u_1$, $u_2$, $u_3$ de
$\mathbb{R}^3$ définis par $u_1=(1,-t,0)$, $u_2=(0,1,1)$ et $u_3=(t,-1,0)$.
Pour quelles valeurs de $t$, la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est-elle une famille libre dans
$\mathbb{R}^3$ ?
Exercice
3: Famille libre de vecteur dans un espace de fonction - famille
liée - espace vectoriel
$f$, $g$ et $h$ désignent trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$. Dans
chaque cas, dire si la famille $(f,g,h)$ est-elle une famille libre dans
$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$:
$f:x\mapsto \sin(x)$ , $g:x\mapsto \cos(x)$ et $h:x\mapsto e^x$
$f:x\mapsto \cos(2x)$ , $g:x\mapsto \cos^2(x)$ et $h:x\mapsto \sin^2(x)$
$f:x\mapsto \sin(2x)$ , $g:x\mapsto \sin(x)$ et $h:x\mapsto \cos(x)$
Exercice
4: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions -
exponentielle - famille liée - espace vectoriel
Pour tout $k\in\mathbb{N}$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto e^{kx}$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, la famille $(f_0,f_1,...,f_n)$ est libre dans
$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice
5: Famille libre de vecteur avec des polynômes -
- famille liée - espace vectoriel
Soit $n\in\mathbb{N}$. Pour $k\in[\![0;n]\!]$, on pose ${\rm P}_k={\rm X}^k(1-{\rm
X})^{n-k}$.
Montrer que la famille $({\rm P}_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est libre dans $\mathbb{R}_n[{\rm
X}]$.
Exercice
6: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions - sinus -
famille liée - espace vectoriel
Pour tout $k\in\mathbb{N}$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto
\sin^k(x)$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, la famille $(f_0,f_1,...,f_n)$ est une famille libre dans
$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice
7: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions - sinus -
famille liée - espace vectoriel
Pour tout $k\in\mathbb{N}^*$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto
\sin(kx)$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, la famille $(f_1,f_2,...,f_n)$ est libre dans
$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Est-ce encore vrai avec la famille $(f_0,f_1,f_2,...,f_n)$ ?
