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Diagonalisation d'un endomorphisme, d'une matrice

Conseils

Exercice 1: matrice diagonalisable - polynôme caractéristique - déterminant - rang - trace

Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.
Dire si $\rm A$ est-elle diagonalisable ?
  1. à l'aide du déterminant.
  2. à l'aide du rang.

Exercice 2: matrice diagonalisable - polynôme caractéristique - déterminant - rang - trace

On considère une matrice ${\rm A}\in \mathscr{M}_n{(\mathbb{R})}$ telle que ${\rm A}^3=-4{\rm A}+5{\rm I}_n$ et $1$ n'est pas valeur propre de $\rm A$.
  1. ${\rm A}$ est-elle diagonalisable dans $\mathscr{M}_n{(\mathbb{R})}$?
  2. Justifier que ${\rm A}$ est inversible puis donner son inverse.
  3. Déterminer un polynôme annulateur de ${\rm A}$ de degré $2$.
  4. En déduire une autre expression de l'inverse de ${\rm A}$.
  5. Démontrer par $2$ méthodes que $n$ est pair.
  6. Déterminer la trace et le déterminant de $\rm A$ en fonction de $n$.

Exercice 3: diagonalisation simultanée • sous-espaces stables

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel E de dimension finie.
  1. Démontrer que si $u$ et $v$ commutent alors les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$.
  2. Soit ${\rm F}\ne\{0\}$ un sous-espace vectoriel de E stable par $u$. Démontrer que si $u$ est diagonalisable alors $u_{|\rm F}$ est aussi diagonalisable.
  3. Démontrer que si $u$ et $v$ sont diagonalisables et $u\circ v=v\circ u$ alors il existe une base de E dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément diagonales.


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