Diagonalisation d'un endomorphisme, d'une matrice

Les matrices suivantes de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ sont-elles diagonalisables? Justifier.

Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.
Dire si $\rm A$ est-elle diagonalisable ?

1. à l'aide du déterminant.
2. à l'aide du rang.

On considère une matrice ${\rm A}\in \mathscr{M}_n{(\mathbb{R})}$ telle que ${\rm A}^3=-4{\rm A}+5{\rm I}_n$ et $1$ n'est pas valeur propre de $\rm A$.

1. ${\rm A}$ est-elle diagonalisable dans $\mathscr{M}_n{(\mathbb{R})}$?
2. Justifier que ${\rm A}$ est inversible puis donner son inverse.
3. Déterminer un polynôme annulateur de ${\rm A}$ de degré $2$.
4. En déduire une autre expression de l'inverse de ${\rm A}$.
5. Démontrer par $2$ méthodes que $n$ est pair.
6. Déterminer la trace et le déterminant de $\rm A$ en fonction de $n$.

Soit ${\rm A}\in {\mathscr{M}}_3(\mathbb{R})$ diagonalisable telle que $\textbf{dim}(\textbf{Ker}({\rm A}))=2$.
Soit ${\rm B}=\begin{pmatrix} \alpha {\rm A} & \beta {\rm A} \\ \gamma {\rm A} & 0 \end{pmatrix}$ avec $\alpha+\beta=\gamma$ et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ non nuls.

1. Montrer que : $\chi_{B}=\chi_{\gamma {\rm A}}\times \chi_{-\beta {\rm A}}$
2. Démontrer que $\textbf{dim}(\textbf{Ker}({\rm B}))=2~\textbf{dim}(\textbf{Ker}({\rm A}))$
3. Justifier que pour $\alpha=-1$, $\beta=3$, $\rm B$ est diagonalisable puis la diagonaliser.

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel E de dimension finie.

1. Démontrer que si $u$ et $v$ commutent alors les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$.
2. Soit ${\rm F}\ne\{0\}$ un sous-espace vectoriel de E stable par $u$. Démontrer que si $u$ est diagonalisable alors $u_{|\rm F}$ est aussi diagonalisable.
3. Démontrer que si $u$ et $v$ sont diagonalisables et $u\circ v=v\circ u$ alors il existe une base de E dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément diagonales.