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application linéaire - noyau image rang

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Déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire • Ker(f) • Im(f)

Exercice 1: Montrer qu'une application est linéaire - espace vectoriel - Algèbre linéaire

Soit l'application $f$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par $f(x, ~y, ~z)=(2x+y-z,~x+y)$. Démontrer que $f$ est linéaire.

Exercice 2: noyau et image d'une application linéaire - Ker(f) Im(f) espace vectoriel - Algèbre linéaire

Soit l'application linéaire $f$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par $f(x, ~y, ~z)=(2x+y-z,~x+y)$.
Déterminer son noyau, son image. $f$ est-elle injective ? surjective ?

Exercice 3: noyau et image d'une application linéaire - Ker(f) Im(f) espace vectoriel - Algèbre linéaire

Soit $f\in \mathcal{L}(~\mathbb{R}^4,~\mathbb{R}^3)$ définie par $f(x, ~y, ~z,~t)=(x+2y+3z-2t,~y+z-t,~x-y+t)$.
Déterminer son noyau, son image. $f$ est-elle injective ? surjective ?

Exercice 4: rang d'une application linéaire - dimension de Ker(f) Im(f) - théorème du rang - espace vectoriel - Algèbre linéaire

Soit $f\in \mathcal{L}(~\mathbb{R}^3)$ tel que $f^2=0$ et $f\ne 0$.
Déterminer le rang de $f$.

Exercice 5: rang d'une application linéaire fog dimension de Ker(f) Im(f) - théorème du rang - espace vectoriel - Algèbre linéaire

Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel E de dimension finie.
Démontrer que : ${\rm rg}(g\circ f)\leqslant {\rm min}({\rm rg}(f),~{\rm rg}(g))$.


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